ssch7_3单边z变换的性质(I)

X ( z)
-2 -1 - 2]
0
k
-1
0
k
0
k
-1 Z x[k - n]u[k ] z X ( z ) x[k ]z - k , 以此类推： k - n -n
|z| > Rx
[例] 求有限长序列RN[k]=u[k]-u[k-N]的z变换及收敛域。
z Rx
z Rx
单边z变换的性质
► 位移特性
-1 证明：Z x[k - n] u[k ] z X ( z) x[k ]z - k , k - n -n
z Rx
x[ k ]
Z X ( z)
-2 -1
x[k - 1]
0
k
-1
0
k
当x[k]向右平移一个单位， x[k]在k = -1处的值移动到了k = 0处
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单边z变换的性质
► 线性特性 ► 位移特性 ► 卷积特性 ► 求和特性
► 指数加权特性 ► z域微分特性 ► 初值和终值特性
单边z变换的性质
► 线性特性
Z x[k ] X ( z) ,
z Rx z Rx1 z Rx 2
Z x1[k ] X1 ( z ) , Z x2[k ] X 2 ( z) ,
Z {x[k - 2]u[k ]} z -2 X ( z) z -1x[-1] x[-2]
单边z变换的性质
► 位移特性
-1 证明：Z x[k - n] u[k ] z X ( z ) x[k ]z - k , k - n -n
z Rx
x[ k ]
Z ax1[k ] bx2[k ] aX1( z) bX 2 ( z) ,
z max(Rx1, Rx 2 )
单边z变换的性质
► 位移特性
※ 因果序列的位移
Z x[k - n]u[k - n] z -n X ( z) ,
z Rx
因果序列延时n，其相应z变换是原来的z变换乘以z-n
所以：
1 z2 X ( z ) Z x[k ] , -1 -1 (1 - 2 z )(1 - 3z ) ( z - 2)( z - 3)
z 3
[例] 若x[k]为因果序列，求序列 Z { x[n]} 的单边z变换。
n 0
k
解： 设
x[n] x[k ] * u[k ]
n 0
z Rx
x[ k ]
X ( z)
-2 -1
Z
x[k - 1]
x[ k - 2]
0
k
-1
0
k
0
k
当x[k]向右平移两个单位， x[k]在k = -2处的值移动到了k = 0处
x[k - 2]u[k ] x[k - 2]u[k - 2] x[-1] [k - 1] x[-2] [k ]
※ 非因果序列的位移
n -1 Z x[k n] u[k ] z X ( z ) - x[k ]z - k , k 0 -1 Z x[k - n] u[k ] z - n X ( z ) x[k ]z - k , k - n n
x[k - 1]u[k] x[k - 1]u[k - 1] x[-1][k]
Z {x[k - 1]u[k ]} z -1 X ( z) x[-1]
单边z变换的性质
► 位移特性
-1 证明：Z x[k - n] u[k ] z X ( z) x[k ]z - k , k - n -n
k
Z x[k ] X ( z) ,
z Rx
利用z变换的卷积特性，以及 1 Z u[k ] , -1 1- z 可得
z 1
z max( 1, Rx )
X ( z) k Z x[n] Z x[k ] Z u[k ] , -1 1- z n 0
解：根据z变换的卷积特性
Z x[k ] Z 2k u[k ] 3k u[k ] Z 2 k u[k ] Z 3k u[k ]
因为：Z 2k u[k ]
k
1 z , -1 1 - 2z z-2
z 2
z 3
1 z Z 3 u[k ] , -1 1 - 3z z-3
单边z变换的性质
► 求和特性
若 则
x[k ]u[k ] X ( z ) ,
1 x[i ] X ( z) , -1 1- z i 0
Z
k
Z
z Rx
z max(Rx ,1)
解：
u[k ]
Z
1 , -1 1- z
z 1
利用因果序列的位移特性和线性特性
1 z-N 1 - z -N X ( z) -1 -1 1 - z -1 1- z 1- z
由于RN[k]为有限长序列，故其收敛域为
|z| > 0
收敛域扩大
线性加权后序列z变换的收敛域可能比原序列z变换的收敛域增大。

n -

x1[n]Z x2 [k - n]u[k - n] X 2 ( z ) x1[n]z - n
n -
X1 ( z ) X 2 ( z ) ,
z max(Rx1, Rx 2 )
时域两序列卷积和的z变换等于原两个时域序列各自z变换的乘积。
[例] 利用z变换卷积特性, 计算 x[k ] 2k u[k ] 3k u[k ] 的z变换.
单边z变换的性质
► 卷积特性
Z x1[k ]u[k ] x2[k ]u[k ] X1 ( z ) X 2 ( z ) ,
z max(Rx1, Rx 2 )
Z x1[k ]u[k ] x2 [k ]u[k ] Z x1[n]u[n] x2 [k - n]u[k - n] n-