(解析版)福建省三明一中2015-2016学年高一上学期第二

2015-2016学年福建省三明一中高一（上）第二次月考数
学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={2，3，4}，N={0，1，2，3}，则图中阴
影部分所表示的集合为（）
A．{2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{0，1}
2．已知α角的终边过点（﹣1，），则tanα=（）
A．B．﹣C．﹣D．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，则下列等式中成立的是（）
A．+=B．﹣=C．=（+）D．=
4．sinx=，则sin（+x）•tan（π﹣x）的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
5．下列函数是奇函数，且在定义域内是增函数的是（）
A．y=x3B．y=2x C．y=sinx D．y=tanx
6．函数f（x）=e x﹣2x﹣2的零点个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）
A．f（x）=2sin（πx+）B．f（x）=2sin（πx+）
C．D．y=2sin（πx﹣）
8．函数y=log a（x+1）（a＞0且a≠1）的图象恒过点为（）
A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，0）
9．y=cos（﹣）（﹣π≤x≤π）的值域为（）
A．[﹣，]B．[﹣1，1]C．[﹣，1]D．[﹣，]
10．f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b
为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）
A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+1
11．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
12．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，
f（x）=2x，则f（）=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣19 D．19
二、填空题：本大题共4小题中，每小题3分，共12分.请把答案写在答题卷相应位置上．
13．若tanα=2，计算：=．
14．已知函数f（x）=ax2+bsinx﹣acosx为偶函数，其定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=．
15．函数f（x）=lg（sinx﹣）的定义域为．
16．下面五个命题中，其中正确的命题序号为．
①函数的最小正周期T=2π；
②函数的图象关于点对称；
③函数的图象关于直线对称；
④在内方程tanx=sinx有3个解；
⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知全集U=R，A={x|≤2x≤8}，B={x|x＞0}，C={x|m＜x＜m+2}
（Ⅰ）求A∩（∁U B）；
（Ⅱ）若A∩C=∅，求实数m的取值范围．
18．（Ⅰ）计算：1.10+﹣0.5﹣2+lg25+2lg2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinA+cosA=，求sinA•cosA的值，并判断三角形ABC
的形状．
19．已知f（x）=2sin（2x+），
（Ⅰ）求f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图
象，请写出函数g（x）的解析式；
（Ⅲ）请通过列表、描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数g（x）在[0，π]上的简图．
20．某车间生产一种仪器的固定成本是7500元，每生产一台该仪器需要增加投
入100元，已知总收入满足函数：H（x）=，其中x
是仪器的月产量．（利润=总收入﹣总成本）．
（Ⅰ）将利润表示为月产量x的函数；
（Ⅱ）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？
21．已知函数f（x）=sin（2ωx+φ）（x∈R），其中ω＞0，|φ|＜，f（x）满
足以下两个条件：①两条相邻对称轴之间的距离为π；②f（0）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（Ⅲ）若方程f（x）+a=0在内有2个不等实根，求实数a的取值范
围．
22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（Ⅲ）若对任意的x∈[0，1]，不等式f（4x﹣1）+f（a•2x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年福建省三明一中高一（上）第二次月
考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={2，3，4}，N={0，1，2，3}，则图中阴
影部分所表示的集合为（）
A．{2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{0，1}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】图中阴影部分对应的集合为N∩（∁R M ），然后根据集合的基本运算
即可得到结论．
【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为N∩（∁R M ），
∵M={2，3，4}，N={0，1，2，3}，
∴∁R M={0，1}，
∴N∩（∁R M ）={{0，1}，
故选：D．
2．已知α角的终边过点（﹣1，），则tanα=（）
A．B．﹣C．﹣D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】直接利用三角函数的定义求解即可．
【解答】解：α角的终边过点（﹣1，），则tanα==．
故选：C．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，则下列等式中成立的是（）
A．+=B．﹣=C．=（+）D．=
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则，平行四边形法则判断即可．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，
∴=（+），=，=，=﹣，
故A，B，D不正确，C正确．
故选：C．
4．sinx=，则sin（+x）•tan（π﹣x）的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用诱导公式化简所求的表达式，代入求解即可．
【解答】解：sinx=，sin（+x）•tan（π﹣x）=﹣cosxtanx=﹣sinx=．故选：B．
5．下列函数是奇函数，且在定义域内是增函数的是（）
A．y=x3B．y=2x C．y=sinx D．y=tanx
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数进行判断即可．【解答】解：对于A，函数y=x3是定义域R上的奇函数，且在定义域内是增函数，满足题意；
对于B，函数y=2x在定义域R上非奇非偶，不满足题意；
对于C，函数y=sinx是定义域R上的奇函数，但在定义域内不是单调函数，故不满足题意；
对于D，函数y=tanx是定义域上的奇函数，但在定义域内不是单调函数，故不满足题意．
故选：A．
6．函数f（x）=e x﹣2x﹣2的零点个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由f（x）=e x﹣2x﹣2=0得e x=2x+2，分别作出函数y=e x和y=2x+2的图象，利用数形结合进行判断即可．
【解答】解：由f（x）=e x﹣2x﹣2=0得e x=2x+2，
分别作出函数y=e x和y=2x+2的图象，
由图象知两个函数有2个交点，
即函数f（x）有2个零点，
故选：C
7．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图
所示，则f （x ）的解析式为（ ）
A ．f （x ）=2sin （πx+）
B ．f （x ）=2sin （πx+）
C ．
D ．y=2sin （πx ﹣
）
【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由图象可得A 值和周期，代入点（，2）可得φ值，可得解析式．
【解答】解：由图象可得A=2，周期T=4（﹣
）=2，
∴ω==π，∴f （x ）=2sin （πx+φ），
代入点（，2）可得2=2sin （
+φ），
∴
+φ=2k π+
，解得φ=2k π+
，k ∈Z
再由|φ|＜可得φ=
，
∴f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （πx+），
故选：A ．
8．函数y=log a（x+1）（a＞0且a≠1）的图象恒过点为（）
A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，0）
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由对数的性质令x+1=1解得x值，再计算对数可得．
【解答】解：∵a＞0且a≠1，∴由对数的性质可得log a1=0，
故当x+1=1即x=0时，y=0，
∴函数的图象恒过定点（0，0），
故选：D．
9．y=cos（﹣）（﹣π≤x≤π）的值域为（）
A．[﹣，]B．[﹣1，1]C．[﹣，1]D．[﹣，]
【考点】余弦函数的图象．
【分析】由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得y=cos（﹣）（﹣π≤x≤π）的值域．
【解答】解：对于y=cos（﹣），∵﹣π≤x≤π，∴﹣∈[﹣，），
∴y=cos（﹣）∈[﹣，1]，
故选：C．
10．f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b
为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）
A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+1
【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】根据已知可得f（x）为奇函数，由f（0）=0，可得：b=﹣1，进而根据当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）得到x＜0时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为定义域R，图象关于原点对称，
∴f（x）为奇函数，
f（0）=20+b=0，
解得：b=﹣1，
当x＜0时，﹣x＞0，
∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x﹣1，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+2x+1，
故选：B．
11．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】奇函数．
【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，
然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，
最后结合f（x）的单调性解出答案．
【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异
号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；
当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；
当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；
所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．
故选D．
12．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，
f（x）=2x，则f（）=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣19 D．19
【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．
【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．
【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（）=f（2×4+）=f（）=﹣f（﹣），
又∵函数f（x）为R上的奇函数，且当x∈[0，1]时，有f（x）=2x，
∴f（﹣）=﹣f（）=﹣1，
∴f（）=1．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题中，每小题3分，共12分.请把答案写在答题卷相应位置上．
13．若tanα=2，计算：=2．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】对要求的式子分子分母同除以cosα化为正切，代值计算可得．
【解答】解：∵tanα=2，∴cosα≠0，
对要求的式子分子分母同除以cosα可得
====2
故答案为：2
14．已知函数f（x）=ax2+bsinx﹣acosx为偶函数，其定义域为[a﹣1，2a]，则
a+b=．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性的性质，建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：一函数f（x）是偶函数，定义域[a﹣1，2a]，
∴a﹣1+2a=0，则a=，
由f（﹣x）=f（x）得ax2+bsinx﹣acosx=ax2﹣bsinx﹣acosx，
即bsinx=﹣bsinx，
则b=﹣b，得b=0，
则a+b=，
故答案为：．
15．函数f（x）=lg（sinx﹣）的定义域为
．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域
【解答】解：要使函数有意义，
则sinx﹣＞0，
即sinx＞，
解得：+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z，
即函数的定义域为（+2kπ，+2kπ），k∈Z，
故答案为：．
16．下面五个命题中，其中正确的命题序号为①②⑤．
①函数的最小正周期T=2π；
②函数的图象关于点对称；
③函数的图象关于直线对称；
④在内方程tanx=sinx有3个解；
⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．
【分析】由条件利用三角函数的周期性、三角函数图象的对称性及交点个数、正弦定理，得出结论．
【解答】解：①函数的最小正周期T=2π，正确；
由于当x=﹣时，f（x）=4cos（2x﹣）=0，故②函数的
图象关于点对称，正确；
由于当x=﹣时，y=4cos（2x+）=4，为最大值，故③函数的
图象关于直线对称，正确；
在内，函数y=tanx 和函数y=sinx的图象仅有一个交点，故方程
tanx=sinx有一个解，故④错误；
⑤在△ABC中，若A＞B，则由大角对大边可得a＞b，再由正弦定理可得sinA ＞sinB，故正确，
故答案为：①②⑤．
三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知全集U=R，A={x|≤2x≤8}，B={x|x＞0}，C={x|m＜x＜m+2}
（Ⅰ）求A∩（∁U B）；
（Ⅱ）若A∩C=∅，求实数m的取值范围．
【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．
【分析】（Ⅰ）先求出集合A和C U B，由此能求出A∩（∁U B）．
（Ⅱ）由A∩C=∅，得m+2≤﹣1或m≥3，由此能示出m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵A={x|≤2x≤8}={x|﹣1≤x≤3}…，
B={x|x＞0}，
∴C U B={x|x≤0}…
A∩（∁U B）={x|﹣1≤x≤0}．…
（Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x≤3}，C={x|m＜x＜m+2}，A∩C=∅，
∴m+2≤﹣1或m≥3．
∴m的取值范围为{m|m≤﹣3或m≥3}．…
18．（Ⅰ）计算：1.10+﹣0.5﹣2+lg25+2lg2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinA+cosA=，求sinA•cosA的值，并判断三角形ABC
的形状．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；对数的运算性质．
【分析】（Ⅰ）由条件利用对数、指数函数幂的运算性质，求得所给式子的值．（Ⅱ）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinAcosA的值，再根据三角函数在各个象限中的符号判断A为钝角，从而得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）原式=1+8﹣4+2lg5+2lg2=5+2（lg5+lg2）=5+2lg10=7．
（Ⅱ）∵sinA+cosA=，∴，
∴，即．
又∵0＜A＜π，∴sinA＞0，而sinAcosA＜0，所以cosA＜0．
∴＜A＜π，即A为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
19．已知f（x）=2sin（2x+），
（Ⅰ）求f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图
象，请写出函数g（x）的解析式；
（Ⅲ）请通过列表、描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数g（x）在[0，π]上的简图．
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）根据三角函数的对称性即可求f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象即可求出函数g（x）的解析式；
（Ⅲ）利用五点法进行求解作图即可．
【解答】解：（Ⅰ）令2x+=kπ+，k∈Z，得x=+，
k∈Z …
即函数f（x）图象的对称轴方程为x=+，k∈Z …
（Ⅱ）将将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，
即g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）．…
（Ⅲ）因为0≤x≤π，所以﹣≤2x﹣≤．
…
20．某车间生产一种仪器的固定成本是7500元，每生产一台该仪器需要增加投
入100元，已知总收入满足函数：H（x）=，其中x
是仪器的月产量．（利润=总收入﹣总成本）．
（Ⅰ）将利润表示为月产量x的函数；
（Ⅱ）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？
【考点】分段函数的应用．
【分析】（Ⅰ）设月产量为x台时的利润为f（x）．则总成本t=7500+100x，由f （x）=H（x）﹣t，可得答案；
（Ⅱ）根据（I）中函数的解析式，分类讨论得到函数的性质，进而可得最值．
【解答】解：（Ⅰ）设月产量为x台时的利润为f（x）．
则总成本t=7500+100x，
又∵f（x）=H（x）﹣t，
∴利润f（x）=…
（Ⅱ）当0≤x≤200时，f（x）=﹣（x﹣150）2+15000，
∴f（x）ma x=f=﹣100x+32500在上是减函数，
∴f（x）＜f取最大，最大为15000元．
答：当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是15000元．…
21．已知函数f（x）=sin（2ωx+φ）（x∈R），其中ω＞0，|φ|＜，f（x）满
足以下两个条件：①两条相邻对称轴之间的距离为π；②f（0）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（Ⅲ）若方程f（x）+a=0在内有2个不等实根，求实数a的取值范
围．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由周期求出ω，有特殊点的坐标求出φ，可得函数的解析式．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在[0，π]内的单调递增区间．
（Ⅲ）由题意利用函数的单调性求得函数的值域，可得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵T==2π，所以ω=1，∴函数f（x）=sin（2x+φ）．
又f（0）=sinφ=1，∴sinφ=，结合|φ|＜，可得φ=．
∴．
（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
又因为0≤x≤π，函数f（x）在[0，π]内的单调递增区间为[0，]和[，π]．
（Ⅲ）由题意知：函数y=f（x）与y=﹣a图象在内有两个交点，
由（Ⅱ）可知函数f（x）在[0，]上是增函数，在上是减函数．
又f（0）=1，，，所以，即．
22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（Ⅲ）若对任意的x∈[0，1]，不等式f（4x﹣1）+f（a•2x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0，即可求b的值；（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（Ⅲ）利用函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化，利用换元法转化为一元二次函数恒成立问题进行求解即可．
【解答】解（Ⅰ）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，，∴b=1．
经检验，当b=1时f（x）=是奇函数．∴b=1．…
（Ⅱ）f（x）===1﹣，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，…
证明如下：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则
=．
∵x1＜x2，所以﹣＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．…
（Ⅲ）∵f（4x﹣1）+f（a•2x）＜0，
∴f（4x﹣1）＜﹣f（a•2x）．
而f（x）是奇函数，
∴f（4x﹣1）＜f（﹣a•2x）．
又∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，
所以4x﹣1＜﹣a•2x，即4x+a•2x﹣1＜0在[0，1]上恒成立．…
令t=2x，则1≤t≤2，
∴t2+at﹣1＜0在[1，2]上恒成立．
设h（t）=t2+at﹣1，由图象可是，即，
即．∴a＜﹣
∴a的取值范围为（﹣∞，﹣）．
2016年7月3日。