2018_2019学年江苏高中数学4.1.3球坐标系与柱坐标系学案苏教版

4.1.3 球坐标系与柱坐标系
1．球坐标系、柱坐标系的理解．
2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．
[基础·初探]
1．球坐标系与球坐标
(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．
图4­1­5
(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.
2．直角坐标与球坐标间的关系
图4­1­6
若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4­1­6所示．
x2＋y2＋z2＝r2，
x＝r sin_θcos_φ，
y＝r sin_θsin_φ，
z＝r cos_θ.
3．柱坐标系
建立了空间直角坐标系O ­xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .
图4­1­7
4．直角坐标与柱坐标之间的关系
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .
[思考·探究]
1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？
【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面
xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到
原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．
2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？
【提示】 在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．
常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
(1)已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4，4，则点M 的直角坐标为________．
(2)设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π6，7，则点M 的直角坐标为________．
【自主解答】 (1)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2sin 3π4·cos 3π
4
＝－1，
y ＝2×sin 3π4×sin 3π
4＝1， z ＝2×cos
3π
4
＝－ 2. 即M 点坐标为(－1,1，－2)． (2)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2×cos π
6
＝3，
y ＝2×sin π6
＝1，z ＝7.
即M 点坐标为(3，1,7)．
【答案】 (1)(－1,1，－2) (2)(3，1,7) [再练一题]
1．(1)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，则它的直角坐标为________．
(2)已知点P 的球坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫4，3π4，π4，则它的直角坐标为________． 【解析】 (1)由变换公式得：
x ＝4cos π
3
＝2，
y ＝4sin π3
＝23，z ＝8.
∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． (2)由变换公式得：
x ＝r sin θcos φ＝4sin 3π4cos π
4＝2， y ＝r sin θsin φ＝4sin 3π4sin π
4
＝2， z ＝r cos θ＝4cos
3π
4
＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22)．
【答案】 (1)(2,23，8) (2)(2,2，－22)
已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图4­1­8建立空间直角坐标系A —xyz ，
Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．
图4­1­8
【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．
【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)，
设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)， 其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，
由公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
z ＝z
及⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ
得⎩
⎪⎨⎪⎧
ρ＝x 2＋y 2
，tan θ＝y x
x
及⎩
⎪⎨⎪⎧
r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，
得⎩⎨
⎧
ρ＝2，tan θ＝1
及⎩
⎪⎨⎪⎧
r ＝3，cos φ＝3
3，
结合图形得θ＝π4，由cos φ＝3
3
得tan φ＝ 2.
∴点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π
4)，
其中tan φ＝2，0≤
φ≤π.
化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(ρ，θ，z )或球坐标(r ，θ，φ)，需要对公
式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z
以及⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝r sin θcos φ，y ＝r sin θsin φ，
z ＝r cos θ
进行逆向变换，
得到⎩⎪⎨⎪⎧
ρ＝x 2
＋y 2
，
tan θ＝y x
x
，
z ＝z
以及⎩⎪⎨
⎪⎧
r ＝x 2＋y 2＋z 2，
tan φ＝y x
x
，
cos θ＝z
r
.
提醒 在由三角函数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值．
[再练一题]
2．(1)设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标． (2)设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．
【导学号：98990006】
【解】 (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪
⎧
1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，
z ＝1，
解之得ρ＝2，θ＝π
4
.
因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1. (2)由坐标变换公式，可得
r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋
2
2
＝2.
由r cos θ＝z ＝2， 得cos θ＝
2
r
＝
22，θ＝π
4
. 又tan φ＝y x ＝1，φ＝π
4
(M 在第一象限)，
从而知M 点的球坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.
[真题链接赏析]
(教材第17页习题4.1第16题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为
3的正四面体的四个顶点．
结晶体的基本单位称为晶胞，如图4­1­9(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是
八个棱长为1
2的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如图4­1­9(2)，建立
空间直角坐标系O ­xyz 后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标．
(1) (2)
图4­1­9
【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用．
【解】 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22，π2，π4； 它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，π
4，0.
1．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为________．
【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，ρ＝1，θ＝0，z ＝1，故x ＝ρcos θ＝1，
y ＝ρsin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1)．
【答案】 (1,0,1)
2．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为________． 【解析】 由坐标变换公式，r ＝x 2
＋y 2
＋z 2
＝2. cos θ＝z r ＝22，θ＝π4.∵tan φ＝y
x
＝1， ∴φ＝54
π.
故M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4.
【答案】 ⎝
⎛⎭
⎪⎫2，π4，5π4
3．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，这两个点在空
间直角坐标系中点的坐标分别为________．
【导学号：98990007】
【解析】 设P (x ，y ，z )，则x ＝2cos π
4
＝1，
y ＝2sin π
4
＝1，z ＝5，
∴P (1,1,5)．
设B (x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ＝6sin π3sin π
6＝6
×
32×12＝32
4
， z ＝6·cos π
3＝6×12＝
62
. 故B (364，324，62
)．
【答案】 P (1,1,5)，B (364，324，6
2
)
4．把A (4，π6，2)、B (3，π
4，－2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距离为
________．
【解析】 点A 化为直角坐标为A (23，2,2)，点B 化为直角坐标为B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
322，322，－2.
AB 2＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫23－
3222＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－3222＋(2＋2)2
＝12＋92－66＋4＋92－62＋16＝41－6(6＋2)．
所以AB ＝41－6＋2.
【答案】
41－
6＋2
我还有这些不足：
(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。