北京市2020年中考数学模拟试卷三含答案

北京市2020年中考数学模拟试卷三
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．
一个． 1．“蛟龙号”是一艘由中国自行设计、自主集成研制的载人潜水器，也是“863”计划中的一个重大研究专项．2010年5月至7月，“蛟龙号”在中国南海中进行了多次下潜任务，其中最大下潜深度超过了7 000米．将7 000用科学记数法表示为 A ．7 × 104
B ．7 × 103
C ．0.7 × 105
D ．70×102
2．如果2
350m m --=，那么代数式2
9().3
m m m m -+的值是
A ．﹣5
B ．﹣1
C ．1
D ．5
3．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A ．a+c >0
B ． |a|<|b|
C ．bc>1 D. ac >0 4．如图，正五边形ABCDE ，点F 是AB 延长线上的一点，则∠CBF 的度数是
A ． 60°
B ． 72°
C ． 108°
D ． 120°
5．京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介．在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是
A B C D
6．如图是北京地铁部分线路图.若车公庄坐标为（-3，3），崇文门站坐标为（8，-2），则雍和宫站的坐标为
A.（8，6）
B.（6，8）
C.（-6，-8）
D.（-8，-6）
7．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图：
根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加
B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 8．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断： ①抛物线开口向下； ②当x =－2时，y 取最大值；
③当m <4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =m 必有两 个不相等的实数根；
④直线y=kx+c (k ≠0)经过点A ，C ，当kx+c> ax 2＋bx ＋c 时， x 的取值范围是－4<x <0； 其中推断正确的是 (A) ①② (B) ①③ (C) ①③④ (D) ②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如图所示的网格是正方形网格,则线段AB 和CD 的长度关系为:AB___ CD （填“>”，“<”或“=”）
10．分式
2
x
x - 有意义，则x 的取值范围是____________. 11．如图，在△ABC 中，射线AD 交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，请补充一
个条件，使△BED ≌△CFD ，你补充的条件是 （填出一个即可）．
12．如果在多项式2
41a +中添加一个单项式，可使其成为一个完全平方式，那么添加的单
13．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AC 是⊙O 的直径，∠BAC =40°，则∠D 的度数是 ．
(第13题图) （第14题图）
14．如图，从一个边长为a 的正方形的一角上剪去一个边长为b （a>b ）的正方形，则剩余
（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是 （用含a ，b 的等式表示）．
15．.新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.某品牌新能源汽车2017年销售总额为
500万元，2018年销售总额为960万元，2018年每辆车的销售价格比2017年降低1万元，2018年销售量是2017年销售量的2倍.求2018年每辆车的销售价格是多少万元?若设2018年每辆车的销售价格x 万元，则可列出方为 . 16．顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这
A
B
C
D
项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B
6
21
那么最短交货期为 工作日．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28
题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，∠AOB ． 求作：∠AOB 的角平分线OP ． 作法：如图，
①在射线OA 上任取点C ； ②作∠ACD =∠AOB ；
③以点C 为圆心CO 长为半径画圆，交射线CD 于点P ； ④作射线OP ；
所以射线OP 即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务． （1）补全图形； （2）完成下面的证明：
证明：∵ ∠ACD =∠AOB ，
∴ CD ∥OB （____________）（填推理的依据）． ∴∠BOP =∠CPO ． 又∵ OC=CP ，
∴∠COP =∠CPO （____________）（填推理的依据）． ∴∠COP =∠BOP ． ∴ OP 平分∠AOB ．
O
B
A C
D
工 序
时
间
原料
18
．计算：1
16cos30()|2|2
-︒+ .
19．解不等式组 {4(x +1)≤7x +10
x −5≤x−8
3 ，并求该不等式组的所有非负整数解.
20．已知关于x 的一元二次方程2
(1)20x k x k +-+-=
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为正数，求实数k 的取值范围．
21．如图，在△ABD 中，∠ABD = ∠ADB ，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的
右侧作弧，两弧交于点C ，连接BC ，D C 和AC ，AC 与BD 交于点O ． （1）用尺规补全图形，并证明四边形ABCD 为菱形； （2）如果AB = 5，3
cos 5
ABD ∠=
，求B D 的长．
22．如图，AB 为⊙O 的直径，E 为OB 中点，过E 作AB 垂线与⊙O 交于C 、D 两点.过点
C 作⊙O 的切线CF 与DB 延长线交于点F. （1）求证：CF ⊥DF （2）若
OF 长.
D
B
A
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数6
y x
=
的图象交于点A （m ，3）和B （6-，n ），与x 轴交于点C ． （1）求直线y kx b =+的表达式； （2）如果点P 在x 轴上，且S △ACP =
3
2
S △BOC ，直接写出点P 的坐标．
24．费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，每4年评选一次，在国际数学家大会
上颁给有卓越贡献的年龄不超过40岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐1982年获得费尔兹奖．为了让学生了解费尔兹奖得主的年龄情况，我们查取了截止到2018年60名费尔兹奖得主获奖时的年龄数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a ．截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如下 （数据分成5组，各组是28≤x ＜31，31≤x ＜34，34≤x ＜37，37≤x ＜40，x ≥40）：
F
b．如图，在a的基础上，画出扇形统计图；
c．截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄在34≤x＜37这一组的数据是：3635343535343435363636363435
d．截止到2018年时费尔兹奖得主获奖时的年龄的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）依据题意，补全频数直方图；
（2）31≤x＜34这组的圆心角度数是度，并补全扇形统计图；
（3）统计表中中位数m的值是；
（4）根据以上统计图表试描述费尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征．
25. 如图，点P是⌒
AB所对弦AB上一动点，点Q是⌒
AB与弦AB所围成的图形的内部的一
定点，作射线PQ交⌒
AB于点C，连接BC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为x cm，
P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，x 的值为0）．
小平根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小平的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对
应值；
的值是 （保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，
(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△BCP 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm ．
26．已知抛物线2
2
24y x mx m =-+-，抛物线的顶点为P.
（1）求点P 的纵坐标.
（2）设抛物线x 轴交于A 、B 两点，1122(,),(,)A x y B x y ，21x x >.
①判断AB 长是否为定值，并证明.
②已知点M （0，-4），且MA≥5，求21-x x m +的取值范围.
27．在△ABC 中，∠ABC =120°，线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AD ，连接CD ，
BD 交AC 于P ．
（1）若∠BAC =α，直接写出∠BCD 的度数 （用含α的代数式表示）； （2）求AB ，BC ，BD 之间的数量关系； （3）当α=30°时，直接写出AC ，BD 的关系．
28．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一
个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”．
如图，M （1，2），N （4，2）．
（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ； （2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x
的取值范围；
（3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关
联点”，直接写出⊙O半径r的取值范围．
备用图
答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9． < 10.2x ≠
11．答案不唯一，如BD=DC ；
12．答案不唯一，如4x ． 13．60°
14．()()2
2
a b a b a b -=+-
15．
9601000
1
x x =+ 16．42； 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28
17．（1 (1)
（2）同位角相等，两直线平行； ································································ 3 等边对等角． ·················································································· 5 18．（本小题满分5分）
原式=1
1
6cos30()|2|2
-︒+
=622+ ..................................4分
=0 ..................................5分19．（本小题满分5分）
解：原不等式组为
()
41710
,
8
5
3
x x
x
x
⎧++
⎪
⎨-
-
⎪
⎩
≤
＜
解不等式①，得
x≥2
-．……………………………………1分解不等式②，得
7
2
x<．……………………………………2分∴该不等式组的解集为2
-≤x<
7
2
．……………………………………3分∴该不等式组的非负整数解为0，1，2，3．……………………5分20．（本小题满分5分）
解：(1)22148
k k k
∆=-+-+ (1)
()23
k
=- (2)
()230
k-≥
Q，
∴方程总有两个实数根． (3)
(2) ∵x=，
∴
1
1
x=-，
2
2
x k
=-． (4)
∵方程有一个根为正数，
∴20
k
->
2
k<． (5)
21．（本小题满分5分）
（1）补全的图形如图所示．…………1分证明：由题意可知BC = DC = AB．
∵在△ABD中，=
ABD ADB
∠∠，
∴AB = AD．
∴BC = DC = AD = AB．
①
②
∴ 四边形ABC D 为菱形． …………… 3分 （2）解：∵ 四边形ABC D 为菱形，
∴ BD ⊥AC ，O B=OD ． …………… 4分 在Rt △ABO 中，90AOB ∠=︒，AB =5，3
cos 5
ABD ∠=，
∴ cos 3OB AB ABD =⋅∠=．
∴ 2=6BD OB =． ………………… 5分
22．（本小题满分5分） 证明：连结OC.
∵AB 为⊙O 直径,CD 为弦，AB⊥CD 于E ∴CE=ED
又∵OE=EB ，∠CEO=∠BED ∴△OCE ≌△BDE ∴∠OCE=∠CDB ∵CF 切⊙O 于点C ∴∠OCF=90° ∴∠ODB+∠OCF =90° ∴∠CFD=90° 即CF⊥FD
.................................3分
(2) ∵1
,2OE OB OB OC =
= ∴12
OE OC =
∵在Rt △OEC 中，1sin 2
OCE ∠= ∴∠OCE=30° ∴∠CDF=30° ∴1
2
FC CD =
.................................6分
即
. 在Rt △OEC
中，2cos CE
OC OCE
=
=
=∠ 在Rt △OCF
中，OF =
23．（本小题满分6分）
解：（1）由题意可求：m = 2，n = -1． ……………………… 2分
将（2，3），B （-6，-1）带入y kx b =+，得 32,
16.
k b k b =+⎧⎨
-=-+⎩ 解得 1,
22.
k b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩ ∴ 直线的解析式为1
22
y x =
+. …………………… 3分 （2）（-2，0）或（-6，0）. …………………… 5分
24．（本小题满分6分）
（1）如图； …………………… 1分
（2）31≤x ＜34这组的圆心角度数是 78 度， ……………………… 2分
如图（画图1分，数据1分）； …………………… 4分 （3）统计表中中位数m 的值是 36 ； …………………… 5分 （4）答案不唯一，如：费尔兹奖得主获奖时年龄集中在37岁至40岁．…………6分
25．（本小题满分6分）
（1）3.0；…………………… 1分 （2）如图；…………………… 3分
（3）1.2或1.6或3.0．…………………… 6分
26．（本小题满分6分） (1)
2()4(,4)y x m P m =--∴-Q 即顶点P 的纵坐标为-4
…………………… 2分
（2）①AB 长为定值.
令y=0,则22
240x mx m -+-= 则2
()4x m -=
解得22x m x m =+=-或 AB 长为：2(2)4m m +--=
…………………… 4分
②当MA=5时，可求A 点坐标为（-3，0）或(3,0) ∵AB=4，
∴MA=5时,m=-1或m=1 ∵214x x m m -+=+
结合图象可知，21x x m -+的取值范围为
…………………… 6分
212115x x m x x m -+≤--+≥或
27．（本小题满分7分）
（1）∠BCD =120°－α．…………………… 2分 （2）解：
方法一：延长BA 使AE=BC ，连接DE ． ······ 3分 由（1）知△ADC 是等边三角形，
∴AD=CD ．
∵∠DAB +∠DCB =∠DAB +∠DAE =180°， ∴∠DAB =∠DAE ．
∴△ADE ≌△CDB ． ···················· 5分 ∴BD=BE ．
∴BD=AB+BC ． ·························· 5分
方法二：延长AB 使AF=BC ，连接CF ． ······ 3分
∠BDC =∠ADE ． ∵∠ABC =120°， ∴∠CBF =60°．
∴△BCF 是等边三角形． ∴BC=CF ．
∵∠DCA =∠BCF =60°，
∴∠DCA +∠ACB =∠BCF +∠ACB ． 即∠DCB =∠ACF ． ∵CA=CD ，
∴△ACF ≌△DCB ．····················· 4分 ∴BD=AF ．
∴BD=AB+BC ． ·························· 5分
（3）AC ，BD
的数量关系是：AC =
；……………………6分 位置关系是：AC ⊥BD 于点P ．……………………7分
28．（本小题满分7分）
（1）P 1和P 3； ………………………… 2分 （2）线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示，
∵ 直线1y x =+经过点M （1，2），
∴ x ≥1. ……………………… 3分 设直线1y x =+与P 4N 交于点A .
过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C .
由题意易知，在△AMN 中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°. 设AB = MB = a ，
∴ tan
AB ANM BN ∠=，即
tan303a a
︒=-，
解得a =
………………………
4分 ∴ 点A 的横坐标为
11x a =++=∴x …………………………5分 综上
1
x ≤ …………………… 6分 （33r ≤ ……………………… 7分
说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。