2022武汉高三四调数学答案

武汉市2022届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准
填空题：
13.014.||
2x−（答案不唯一，其它正确答案同样给分）
15. 16. ；②
2
（第一空2分，第二空3分）
解答题：
17.（10分）解：
（1）设{}
n
a公差为d，则13(1)(12)
d d d
−=−+，
化简得220
d d
−=，又0
d≠，所以2
d=.
16
59
a a d
=−=−，
1
(1)211
n
a a n d n
=+−=−.………………5分
（2）2
1
()10
2
n n
n
S a a n n
=+=−.
令210211
n n n
−<−，得212110
n n
−+<.
即(1)(11)0
n n
−−<，得111
n
<<
故满足
n n
S a
<成立的最大正整数n为10.………………10分
18.（12分）解：
（1）设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A.
则
3
9
3
10
7
()
10
C
P A
C
==………………4分（2）X可能取值为1，2，3
则
1
9
2
10
1
(1)
5
C
P X
C
===；
1
8
2
10
8
(2)
45
C
P X
C
===；
2
8
2
10
28
(3)
45
C
P X
C
===.
故X的分布列是
故
1
()123
5454545
E X=⨯+⨯+⨯=………………12分
（1）取AC 中点M ， 由题意，11PO =
，22
BC AB =
=， 又1PO ∥BC ，故1PO //=
1
2
BC .
又2O M //=
12
BC ，故1PO //=2O M ， 所以四边形12,,,P O O M 为平行四边形，则PM ∥12O O . 由12O O ⊥平面ABC ，故PM ⊥平面ABC ，
又PM ⊂面PAC ，故平面PAC ⊥平面ABC . ………………6分 （2）以2O 为坐标原点，2221,,O B O C O O 的方向为z y x ,,轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则有：1((,,2),(0,0,2)22
A B C P O −
.
1(2,0,2)AO =.
设平面PBC 的法向量 (,,)n x y z =
，(BC =
−
，(,2)22
CP =−
−.
120
22022
n BC n CP x y z ⎧⋅=−=⎪
⎨⋅=−
−+=⎪⎩，令1z =
，得(2,2,1)n =. 设所求角的大小为θ，则111|||2sin |cos ,
|15||||6AO n AO n AO n θ⋅=<>===
⋅
. 所以直线1AO
与平面PBC 所成角的正弦值为15
.
(12)
分
20.
（12分）解： （1）BC
==
，此时cos 3PC PCB
BC ∠=
==
，sin 3BP PCB BC ∠===.
在ABC ∆
中，2
22cos 26
AC BC AB ACB +−∠==，
又sin 0ACB ∠>，故
sin 6
ACB ∠==
所以sin sin()sin
cos cos sin ACP ACB PCB
ACB PCB ACB PCB ∠=∠−∠=∠∠−∠∠
263636
=
⋅−⋅= ………………6分
（2）设 (0)AP x x =>，在APB ∆中，22221
cos 24AP BP AB x APB AP BP x
+−−∠==⋅.
在APC ∆中，sin sin AP AC ACP APC =∠∠，代入得：1
sin 5APC x
∠=.
又32APB APC π∠+
∠=，故3cos cos(
)sin 2
APB APC
APC π
∠=−∠=−∠. 即211
45x x x −=−，解得：5x =，所以5
AP =. ………………12分
（1）设抛物线焦点(,0)2p F ，由题意||||QO QF =，故1
224
p =⨯，解得：1p =.
故抛物线的标准方程为22y x =. ………………4分 （2）由题意，直线AC 斜率存在且不为0，设直线AC 的方程为：y kx =， 设点11(,)A x y ，22(,)C x y .
22
(2)4
y kx x y =⎧⎨++=⎩，联立得：22
(1)40k x x ++=，由10x ≠，得1241x k −=+. 22y kx y x
=⎧⎨=⎩，联立得：22
20k x x −=，由20x ≠，得22
2x k =.
221|||AC x x =−=
因为AC BD ⊥，用1k −代替k
，得2232(1)
||BD +==
故四边形ABDC 面积222
22
6
62012(31)(3)||||12||(1)||||
k k k k S AC BD k k k k ++++=⋅==++. 令1
|| (2)||
k t t k +=≥，26886t S t t t +==+.
设函数8()6 (2)f t t t t =+≥，222
868
'()60t f t t t
−=−=>，故()f t 单调递增.
故当2t =，即||1k =时，S 取到最小值16，所以四边形ABCD 面积的最小值是16.
………………12分
22.（12分）解： （1）6
k π
=时，()()sin 6f x x x π=−，'()sin ()cos 6f x x x x π=+−，故1'()sin 662f ππ==.
故切线方程为1()26
y x π
=−，令0x =，12y π=−.
此时所求三角形的面积为2
1||212
6
144
πππ⨯−
⨯
=
. ………………4分
（2）'()sin ()cos f x x x k x =+−
当2
2
x π
π
−
<<
时，'()cos (tan )f x x x x k =⋅+−.
由函数tan y x x =+在区间(,)22
ππ
−上递增，且值域为R ， 故存在唯一0(,)22
x ππ
∈−，使得00tan x x k +=. 此时当02
x x π
−
<<时，'()0f x <，()f x 单调递减；
当02
x x π
<<
时，'()0f x >，()f x 单调递增，因此10x x =.
同理，存在唯一03'(,)22
x ππ
∈，使得00tan ''x x k +=. 此时当
0'2
x x π
<<时，'()0f x >，()f x 单调递增；
当03'2
x x π
<<
时，'()0f x >，()f x 单调递减，因此20'x x =. 由1'()0f x =，11tan x k x −=−，211111
sin 1
()cos cos cos x f x x x x =−=−
. 同理：222222
sin 1
()cos cos cos x f x x x x =−=−
. 由12()()0f x f x +=，整理得：1212
1
(cos cos )(1)0cos cos x x x x +−=.
又1232
2
2
x x π
π
π
−<<
<<
，故12cos cos 1x x ≠，则有122cos cos cos()x x x π=−=− 由222
x π
π
π−
<−<
，故12x x π=−或12()x x π=−−.
又1122tan tan k x x x x =+=+，当12x x π=−时，不满足，舍去.
所以12()x x π=−−，即12x x π+=，则1
122tan tan 22
x x x x k π
+++==. 综上所述，2
k π
=. ………………12分。