宁夏银川九中2018届高三上学期第五次月考数学试卷文科

2018-2018学年宁夏银川九中高三（上）第五次月考数学试卷（文
科）
一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知i为虚数单位，复数满足（1+i）z=1﹣i，则||=（）
A．B．C．D．2
2．集合A={x|ln（x﹣l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=（）
A．（2，3）B．[2，3）C．（2，3]D．[2，3]
3．设命题p：函数y=cos2x的最小正周期为；命题q：函数f（x）=sin（x+）的图象
的一条对称轴是x=对称．则下列判断正确的是（）
A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假
4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
5．已知F1，F2分别是双曲线x2﹣的=1左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF1|，
|PF2|，|F1F2|构成公差为正数的等差数列，则△F1PF2的面积为（）
A．24 B．22 C．18 D．12
6．已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）
A．﹣B．C．﹣D．
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值（）A．7 B．8 C．10 D．23
8．过点（4，0）且斜率为﹣的直线交圆x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则•
的值为（）
A．6 B．8 C．D．4
9．已知数列{a n}为等差数列，S n是它的前n项和，若a1=2，S4=20，则S6=（）A．32 B．36 C．40 D．42
10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离
心率等于（）
A．B．C．D．
11．若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
12．设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0
有5个不同的实数解x i（i=1，2，3，4，5），则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=（）
A．B．C．2 D．1
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是．
14．已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率
为．
15．设数列{a n}是首项为1，公比为﹣3的等比数列a1+|a2|+a3+|a4|+a5=．
16．已知函数f（x）=ax2﹣x（x∈R，a≠0），g（x）=lnx．若函数h（x）=f（x）﹣g（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）
17．等比数列{a n}的前n项和为S n，，且．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和T n．
18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC= a，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）若E是PC的中点，求二面角E﹣BD﹣C的正切值．
19．已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．
（1）求t，p的值；
（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．
20．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．
21．已知函数．（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4--1：几何证明选讲
22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．
（1）求证：△APM∽△ABP；
（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．
选修4--4：极坐标与参数方程选讲
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的
动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的
交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
选修4--5：不等式选讲
24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．
2018-2018学年宁夏银川九中高三（上）第五次月考数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知i为虚数单位，复数满足（1+i）z=1﹣i，则||=（）
A．B．C．D．2
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的模的性质化简求解即可．
【解答】解：因为||=|z|，（1+i）z=1﹣i，
所以|1+i||z|=|1﹣i|，
可得|z|=．则||=．
故选：C．
2．集合A={x|ln（x﹣l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=（）
A．（2，3）B．[2，3）C．（2，3]D．[2，3]
【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．
【分析】集合A与B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|ln（x﹣l）＞
0}={x|}={x|x＞2}，B={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，能求出A∩B．
【解答】解：∵A={x|ln（x﹣l）＞0}={x|}={x|x＞2}，
B={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，
∴A∩B={x|2＜x≤3}=（2，3]．
故选C．
3．设命题p：函数y=cos2x的最小正周期为；命题q：函数f（x）=sin（x+）的图象
的一条对称轴是x=对称．则下列判断正确的是（）
A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假
【考点】余弦函数的图象；正弦函数的图象．
【分析】利用周期公式和对称轴公式计算两个函数的周期和对称轴，判断命题p，q的真假．
【解答】解：函数y=cos2x的最小正周期为，所以命题p为假命题．
f（）=sin=1，∴直线x=是f（x）的一条对称轴，即命题q为真命题．
∴￢q为假，p∧q为假，p∨q为真．
故选：B．
4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与D1F所成角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A（2，0，0），E（0，1，0），D1（0，0，2），F（0，2，1），
=（﹣2，1，0），=（0，2，﹣1），
设直线AE与D1F所成角为θ，
则cosθ===．
∴直线AE与D1F所成角的余弦值为．
5．已知F1，F2分别是双曲线x2﹣的=1左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF1|，
|PF2|，|F1F2|构成公差为正数的等差数列，则△F1PF2的面积为（）
A．24 B．22 C．18 D．12
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】本题首先要根据双曲线的定义写出|PF1|，|PF2|所满足的条件，再根据|PF1|，|PF2|，|F1F2|依次成公差为正数的等差数列写出另一个等式，两式组成方程组，解出三角形三边的长度，问题转化为已知三边求面积的问题．
【解答】解：∵|PF1|，|PF2|，|F1F2|依次成公差为正数的等差数列，
∴2|PF2|=|PF1|+|F1F2|，
∵|PF2|﹣|PF1|=2a，
∴|PF2|=2（c﹣a）=8，
|PF1|=2c﹣4a=6，
|F1F2|=10，
∴PF1⊥PF2，
∴△F1PF2的面积==24，
故选：A．
6．已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）
A．﹣B．C．﹣D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】运用﹣α、﹣α的诱导公式，计算即可得到．
【解答】解：sin（α﹣）=，即为
sin（﹣α）=﹣，
即有sin[﹣（+α）]=﹣，
即cos（）=﹣．
故选A．
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值（）
A．7 B．8 C．10 D．23
【考点】简单线性规划．
【分析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值．
【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示：
目标函数z=2x+3y，即y=﹣x+，则直线过点A时，纵截距最大，
此时，由，可得x=4，y=5
∴目标函数z=2x+3y的最大值为2×4+3×5=23
故选：D．
8．过点（4，0）且斜率为﹣的直线交圆x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则•
的值为（）
A．6 B．8 C．D．4
【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．
【分析】直线方程为y=﹣（x﹣4），代入x2+y2﹣4x=0，可得x2﹣5x+4=0，求出AB，可
得∠CAB=30°，利用向量的数量积公式，求出•的值．
【解答】解：由题意，直线方程为y=﹣（x﹣4），
代入x2+y2﹣4x=0，可得x2﹣5x+4=0，∴x=1或4，
∴|AB|==2，
∵圆的半径为2，∴∠CAB=30°，
∴•=2=6，
故选：A．
9．已知数列{a n}为等差数列，S n是它的前n项和，若a1=2，S4=20，则S6=（）
A．32 B．36 C．40 D．42
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的前n项和公式求出公差，由此能求出前6项和．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，S4=20，
∴，
解得d=2，
∴S6=6×2+×2=42．
故选：D．
10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用全身心的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，
可得=，可得，
解得e==．
故选：C．
11．若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
【考点】基本不等式．
【分析】由题意和基本不等式可得x+2y的最小值，再由恒成立可得m的不等式，解不等式可得m范围．
【解答】解：∵正实数x，y满足+=1，
∴x+2y=（x+2y）（+）
=4++≥4+2=8，
当且仅当=即x=4且y=2时x+2y取最小值8，
∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴8＞m2+2m，
解关于m的不等式可得﹣4＜m＜2
故选：D
12．设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解x i（i=1，2，3，4，5），则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=（）
A．B．C．2 D．1
【考点】分段函数的应用．
【分析】画出f（x）的图象，由图象可知，令f（x）=t，则t2+bt+c=0有两个不等的实数根，且其中一个为2，由于lg|x﹣2|的图象关于直线x=2对称，且其中一个解为2，即有
x1+x2+x3+x4+x5=10，再由对数的运算性质即可得到答案．
【解答】解：画出f（x）的图象，
由于关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，令f（x）=t，则t2+bt+c=0有两个不等的实数根，
且其中一个为2，
画出直线y=m（m≠2），
得到5个交点，其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，
设x3=2，
且x1＜x2＜x3＜x4＜x5，
由于y=lg|x﹣2|的图象关于直线x=2对称，
则x1+x5=x2+x4=4，
即有x1+x2+x3+x4+x5=10，
则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=f（12）=lg10=1，
故选：D
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 2+2 ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥， 根据题意画出图形，结合图形求出它的表面积． 【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC ⊥底面ABC ；
所以，S △ABC =×2×2=2，
S △PAC =S △PBC =××1=，
S △PAB =×2×
=
；
所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+
=2+2
．
故答案为：
．
14．已知抛物线 y 2=8x 的焦点与双曲线
﹣y 2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为
．
【考点】圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质．
【分析】先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而可求双曲线的离心率． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点坐标为（2，0）
∵抛物线y 2=8x 的焦点与双曲线的一个焦点重合，
∴a 2+1=4，∴a=
∴e==
故答案为：
15．设数列{a n}是首项为1，公比为﹣3的等比数列a1+|a2|+a3+|a4|+a5=121．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|+a5的值．
【解答】解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣3的等比数列，
∴a n=a1•q n﹣1=（﹣3）n﹣1，
∴a1=1，a2=﹣3，a3=9，a4=﹣27，a5=81，
∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+3+9+27+81=121．
故答案是：121．
16．已知函数f（x）=ax2﹣x（x∈R，a≠0），g（x）=lnx．若函数h（x）=f（x）﹣g（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是0＜a＜1．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】先由f（x）=g（x）分离a，即求出a的表达式，再构造函数k（x）=，再求导判断单调性以及最值和特殊函数值的符号，求出满足条件的a的范围．
【解答】解：由h（x）=f（x）﹣g（x）=0，得ax2﹣x=lnx（a≠0，x＞0），即a=．
令k（x）=，则k′（x）=，
当0＜x＜1时，1﹣x﹣2lnx＞0，即k′（x）＞0，
∴k（x）在（0，1）上单调递增，且k（e﹣1）=＜0，
当x＞1时，1﹣x﹣2lnx＜0，即k′（x）＜0，
∴k（x）在（1，+∞）上单调递减，且．＞0，
∴k（x）在x=1处取得最大值k（1）=1，
故要是y=a和y=的图象有两个交点，只需0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）
17．等比数列{a n}的前n项和为S n，，且．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和T n．
【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．
【分析】（1）设等比数列的公比为q，根据，建立关于q的等式，从而可求出数列{a n}的通项公式；
（2）先求出数列{b n}的通项公式，然后根据数列的通项的特点利用裂项求和法进行求和即可．
【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，由题意，，
所以，即，
因此．
（2），
所以，
=．
18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC= a，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）若E是PC的中点，求二面角E﹣BD﹣C的正切值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由勾股定理得：PD⊥DC，PD⊥AD，再由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面ABCD；
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，结合底面是边长为a的正方形，可得AC⊥平面PDB，再由面面垂直的判定定理，可得：平面PAC⊥平面PBD；
（3）过点E作EF⊥CD于F，过F作HF⊥BD于H，故∠FHE为二面角E﹣BD﹣C的平面角，解得：二面角E﹣BD﹣C的正切值．
【解答】证明：（1）∵PD=a，DC=a，PC=a，
∴PC2=PD2+DC2，
∴PD⊥DC．
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB．
同时，AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（3）过点E作EF⊥CD于F，过F作HF⊥BD于H，
故∠FHE为二面角E﹣BD﹣C的平面角．
在Rt△EFH中，tan∠FHE=．
19．已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．
（1）求t，p的值；
（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）利用抛物线y2=2px （p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4，根据抛物线的定义，可求t，p的值；
（2）设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合，可求t的值，即可求出该定点P的坐标
【解答】解：（1）由抛物线定义得，…
所以抛物线方程为y2=4x，…
代入点T（3，t），可解得．…
（2）设直线AB的方程为x=my+n，，
联立消元得：y2﹣4my﹣4n=0，则：y1+y2=4m，y1y2=﹣4n…
由得：，所以：y1y2=﹣20或y1y2=4（舍去）
即﹣4n=﹣20⇒n=5，所以直线AB的方程为x=my+5，
所以直线AB过定点P（5，0）…
20．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得，解得．
∴椭圆E的方程为．
（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），则．
则直线PA1的方程为，令y=0，得x N=；
直线PA2的方程为，令y=0，得．
由切割线定理可得：|OT|2=|OM||ON|===4，
∴|OT|=2，即线段OT的长为定值2．
21．已知函数．（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f
（2）令，（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；
则g（x）的定义域为（0，+∞）．证g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立即得证．求出g′（x）分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，利用极值求出a的范围即可．
【解答】解（Ⅰ）当a=1时，，．
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．
∴，
（Ⅱ）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵．
①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，．
当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0．
此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足．
由此求得a的范围是[，]．
综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用
2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4--1：几何证明选讲
22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．
（1）求证：△APM∽△ABP；
（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．
【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．
【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合
∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP （II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，
∴MN2=PN2=NA•NB，
∴=，
又∵∠PNA=∠BNP，
∴△PNA∽△BNP，
∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．
∵MC=BC，
∴∠MAC=∠BAC，
∴∠MAP=∠PAB，
∴△APM∽△ABP…
（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，
∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，
∴PM∥CD．
∵△APM∽△ABP，
∴∠PMA=∠BPA
∵PM是圆O的切线，
∴∠PMA=∠MCP，
∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，
∴MC∥PD，
∴四边形PMCD是平行四边形．…
选修4--4：极坐标与参数方程选讲
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的
动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的
交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．
【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；
（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为
ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．
【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，
所以即
从而C2的参数方程为
（α为参数）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，
射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．
所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．
选修4--5：不等式选讲
24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，
（Ⅱ）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，
当x时，f（x）≤4可化为3x﹣1+x+3≤4，解得；
当x时，f（x）≤4可化为﹣3x+1+x+3≤4，解得．
综上可得，原不等式的解集为{x|}，
（Ⅱ）f（x）=|3x﹣1|+ax+3=
函数f（x）有最小值的充要条件为，
即﹣3≤a≤3．
2018年1月4日。