东北师范大学2002年数学分析

东北师范大学2002年数学分析
一、求解或证明下列各题（每小题5分，共25分）
1、确定a 与b
，使得2001lim 1sin x x ax x →=-⎰. 2、证明：若11112n a n n n
=
++++ ，n N ∈，则数列{}n a 收敛. 3、求幂级数111(1)2n n x
n ∞=+++∑ 的收敛半径与收敛域.
4、已知方程sin z xyz =确定隐函数(,)z z x y =，求z x ∂∂与z y
∂∂. 5、求向量值函数22(,,)(,)y f x y z x z e =+在点(1,0,1)a =-处的导数与微分.
二、（10分）证明：若函数()f x 在[]0,2a 连续（0a >），且(0)(2)f f a =，则存在[]00,2x a ∈，使得
00()()f x f x a =+.
再应用此命题证明：地球赤道上一定存在一对对径点，这两点所确定的两个地区在某个时刻的温度相同.
三、（10分）称函数()f x 在[],a b 上一致可微，若0ε∀>，0δ∃>，[],,t x a b ∀∈，0t x δ<-<，有
()()()f t f x f x t x
ε-'-<-. 证明：若函数()f x 在[],a b 上有连续导数，则()f x 在[],a b 上一致可微.
四、（10分）计算曲面积分
S
xydydz yzdzdx zxdxdy ++⎰⎰ ，
其中S 为旋转抛物面22z x y =+与平面1z =所围立体的表面，外法线为正向.
五、（10分）计算曲线积分
2(sin )cos x x L e y y dx e ydy -+⎰，
其中曲线L 为由点(0,0)A 到(0,0)O 的上半圆周22x y ax +=.
六、（12分）证明：若函数列{}()n f x 在区间I 一致收敛于极限函数()f x ，且n N ∀∈，()
n f x
在I 一致连续，则()f x 在区间I 一致连续.
七、（12分）应用积分号下积分，证明：
0ln ax bx e e b dx x a
--+∞
-=⎰，0a b <<. 八、（11分）证明：若函数()f x 在[],a b 具有二阶连续导数，则(),a b ξ∃∈，使得
3()()()()()224b
a a
b b a f x dx b a f f ξ+-''=-+⎰.。