课件5：§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
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定是“任给 x∈R，都有 x2＋x＋1>0” D．“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件
【解析】命题“若 x2>1，则 x>1”的否命题为“若 x2≤1，则 x≤1”，所以 A 错误；命题“若 α>β，则
tan α>tan β”的逆命题为“若 tan α>tan β，则
α>β”是假命题，所以 B 错误；命题“存在 x0∈R，使 得 x20＋x0＋1>0”的否定是“任给 x∈R，都有 x2＋x ＋1≤0”，所以 C 错误；由 x2＋x－2>0，得 x>1 或 x<－2，所以“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条 件，所以 D 正确．
x－y≤0， 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 r 的取值范围是 ___(0_，____2_) ___．
7．已知 p：|2x－3|<1，q：x2－2ax＋a2－1<0.若
綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则 a 的取值范围为
___[1_，__2_]___．
本节内容结束
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原命题的否命题．
注意：“否命题”与“命题的否定”是两个不同的 概念．如果原命题是“若 p，则 q”，那么这个原命题的 否定是“若 p，则非 q”，即只否定结论，而原命题的否
命题是“若綈 p，则綈 q”，既否定命题的条件，又否定
结论．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得
到的命题是原命题的 逆否命题
是假命题 ③命题“綈 p∨q”是真命题 ④命题
“綈 p∧綈 q”是假命题
其中正确的是( D )
A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
π 【解析】当 x0＝ 4 时，tan x0＝1，所以命题 p 为 真命题．由 x2－3x＋2<0，得 1<x<2，则命题 q 为真命 题，故可得①②③④正确．
【点评】(1)要注意区分“命题的否定 (即非命 题)”与“否命题”，它们是两个不同的概念．
(2)判断含有逻辑联结词的命题的真假，主要是把 其中单个命题的真假判断清楚，在此基础上再根据含 有逻辑联结词的命题真假判断的准则进行．
二、充分条件与必要条件 例2指出下列命题中，p 是 q 的什么条件(在“充分 不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既 不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数 x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6； (3)非空集合 A、B 中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (4)已知 x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x －1)(y－2)＝0.
5．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又 要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆 命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价 变形(换)得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具 有充分性．
1．(2013 湖南)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.3 充分条件、必要条件与命题的四 种形式
【学习目标】 1．理解命题的概念，了解“若 p，则 q” 形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分 析四种命题的相互关系． 2．理解充分条件、必要条件与充要条件 的意义．
1．命题“若 α＝π4，则 tan α＝1”的逆否命题是( C )
不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是 q 的充分不必要条件．
(3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B，但 x∈B 一定有 x∈A∪B，所以 p 是 q 的必要不充分条件．
(4)条件 p：x＝1 且 y＝2，条件 q：x＝1 或 y＝2， 所以 p⇒q，但 q p，故 p 是 q 的充分不必要条 件．
2．否命题与命题的否定是两个不同的概念，要会 区别，另外要掌握一些常见词的否定词．
3．原命题⇔它的逆否命题，原命题的逆命题⇔原 命题的否命题，因此，在判定四种命题真假时，只需 判定其中两种命题的真假，当判定原命题困难时，可 改为判定其逆否命题．
4．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件 与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解 充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到 的知识点和有关概念．熟练掌握充分必要条件的判断 方法：定义法、逆否命题等价法和利用集合的包含关 系判断法．
2．命题“函数 y＝f(x)(x∈A)是奇函数”的否定是 (C )
A．∀x∈A，f(－x)≠－f(x) B．∀x∈A，f(－x)＝－f(x) C．∃x∈A，f(－x)≠－f(x) D．∃x∈A，f(－x)＝－f(x)
3．(2013 山东)给定两个命题 p，q.若綈 p 是 q 的
必要而不充分条件，则 p 是綈 q 的( A ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】綈 p 是 q 的必要而不充分条件，即 q⇒
要条件；
④“函数 f(x)＝sin(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ
＝kπ(k∈Z)”．
其中真命题的个数是( D )
A．0 B．1 C．2
D．3
(2)已知命题 p：∃x0∈R，使 tan x0＝1，命题 q： x2－3x＋2<0 的解集是{x|1<x<2}，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题 ②命题“p∧綈 q”
2．四种命题及其关系
(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个
命题的结论，且第一个命题的_结__论______是第二个命题的 ____条__件__，那么这两个命题叫做__互__逆___命__题_____；如果把
其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的
____逆__命__题___． (2)同时否定原命题的__条__件____和__结__论____，所得的命题是
【解析】(1)当 x≥a 时，f(x)＝(1－a)x－a；当 x<a 时，f(x)＝a－(1＋a)x.要使 f(x)有最小值，需满足 1－ a≥0 且－(1＋a)≤0，即－1≤a≤1 时，f(x)存在最小 值．
(2)当 x＝a 时，f(x)取得最小值－a2.
四、综合应用 例 4 设命题 p：2x2－3x＋1≤0；命题 q：x2－(2a
0≤a≤12.
【点评】解答本题的关键是将问题等价转化，即 将命题：若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件转化为等价
命题即逆否命题为：p 是 q 的充分不必要条件．其次 是注意数形结合，利用数轴列出关于 a 的不等式组和 写出关于 a 的不等式组的解集．
1．判定复合命题真假的办法是：首先判定简单命 题的真假，再判定复合命题的真假．
．
(4)一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，
用綈 p 和綈 q 分别表示 p，q 的否定，于是四种命题形式
是：原命题：若 p，则 q；逆命题： 若q，则p
；
否命题：若綈p，则綈q，逆否命题： 若綈q，则綈p ．
(5)四种命题之间的关系
注 意 ： (1) 两 个 命 题 互 为 逆 否 命 题 ， 它 们 有 相 同 的 ___真__假__性____． (2) 两 个 命 题 互 为 逆 命 题 或 互 为 否 命 题 ， 它 们 的 真 假 性 ___不__一__定__相__同___．
A．若 α≠π4，则 tan α≠1
C．若
tan
α≠1，则
π α≠4
D．若 tan α≠1，则 α＝π4
【解析】因为“若 p，则 q”的逆否命题为“若 綈 q，则綈 p”，所以“若 α＝π4，则 tan α＝1”
的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π4”．
綈 p 但綈 p q，因此 p⇒綈 q 但綈 q p，故 p 是綈 q 的充分而不必要条件．
4．下列命题，其中正确的是( D ) A．命题“若 x2>1，则 x>1”的否命题为“若 x2>1， 则 x≤1”
B．命题“若 α>β，则 tan α>tan β”的逆命题
为真命题 C．命题“存在 x0∈R，使得 x20＋x0＋1>0”的否
【解析】因为 1＜x＜2 可得 x＜2，但 x＜2 不一 定得到 1＜x＜2，故为充分不必要条件．
【点评】本题考查充分条件与必要条件的判断．
1．命题“若 p 则 q”的逆命题是( A )
A．若 q 则 p
B．若綈 p 则綈 q
C．若綈 q 则綈 p D．若 p 则綈 q
【解析】利用原命题与逆命题间的关系进行转化． 命题：“若 p 则 q”的逆命题是“若 q 则 p”．
2．“a＝b”是“直线 y＝x＋2 与圆(x－a)2＋(y－b)2
＝2 相切”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【知识要点】
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以__判__断___真__假___的陈 述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做__真__命__题___，判 断为假的语句叫做__假__命__题_____．
3．充分条件与必要条件 (1)若 p⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．
(2)若 p⇔ q ，则 p 是 q 的充分必要条件， 即充要条件．
一、四种命题
例1(1)下列四个命题：
①“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；
②“若 x2＋x－6≥0，则 x>2”的否命题；
③在△ABC 中，“A>30°”是“sin A>12”的充分不必
＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，
则实数 a 的取值范围是( C )
A．(－∞，0]
B.－∞，12
C.0，12
D.12，＋∞
【解析】方法一：由 2x2－3x＋1≤0，得12≤x≤1， 则 p：12≤x≤1；由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得 q：
a≤x≤a＋1.∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，∴p 是
【解析】(1)在△ABC 中，若∠A＝∠B，则 sin A ＝sin B；反之，若 sin A＝sin B，因为 A 与 B 不可能 互补(因为三角形三个内角和为 180°)，所以只有 A＝ B.故 p 是 q 的充要条件．
(2)易知：綈 p：x＋y＝8，綈 q：x＝2 且 y＝6，显
然綈 q⇒綈 p，但綈 p 綈 q，即綈 q 是綈 p 的充分
5．若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假．命．题．， 则实数 m 的取值范围是( D )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C.－∞，1
D．(1，＋∞)
【解析】由题意得∀x∈R，x2＋2x＋m>0 为真命 题，∴Δ＝4－4m<0，∴m>1.
x≥1， 6．设 p：y≤2， q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，
【点评】判断 p 是 q 的什么条件，需要从两方面 分析：一是由条件 p 能否推得条件 q；二是由条件 q 能否推得条件 p.
例3设函数 f(x)＝x－a－ax，其中 a 为常数．若 函数 f(x)存在最小值的充要条件是 a∈A，则：
(1)集合 A＝__[－__1_，__1_]__； (2)当 a∈A 时，函数 f(x)的最小值为_－__a_2__．
q
的充分不必要条件，则有a≤12 ，解得 a＋1≥1
0≤a≤12.
方法二：由 2x2－3x＋1≤0，得12≤x≤1，由题意 知方程 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0 的两根 x1，x2(设 x1<x2)满足：x1≤12且 x2≥1.令 f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a
＋1)，只须f12≤0 ，解得 f（1）≤0
【解析】命题“若 x2>1，则 x>1”的否命题为“若 x2≤1，则 x≤1”，所以 A 错误；命题“若 α>β，则
tan α>tan β”的逆命题为“若 tan α>tan β，则
α>β”是假命题，所以 B 错误；命题“存在 x0∈R，使 得 x20＋x0＋1>0”的否定是“任给 x∈R，都有 x2＋x ＋1≤0”，所以 C 错误；由 x2＋x－2>0，得 x>1 或 x<－2，所以“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条 件，所以 D 正确．
x－y≤0， 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 r 的取值范围是 ___(0_，____2_) ___．
7．已知 p：|2x－3|<1，q：x2－2ax＋a2－1<0.若
綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则 a 的取值范围为
___[1_，__2_]___．
本节内容结束
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原命题的否命题．
注意：“否命题”与“命题的否定”是两个不同的 概念．如果原命题是“若 p，则 q”，那么这个原命题的 否定是“若 p，则非 q”，即只否定结论，而原命题的否
命题是“若綈 p，则綈 q”，既否定命题的条件，又否定
结论．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得
到的命题是原命题的 逆否命题
是假命题 ③命题“綈 p∨q”是真命题 ④命题
“綈 p∧綈 q”是假命题
其中正确的是( D )
A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
π 【解析】当 x0＝ 4 时，tan x0＝1，所以命题 p 为 真命题．由 x2－3x＋2<0，得 1<x<2，则命题 q 为真命 题，故可得①②③④正确．
【点评】(1)要注意区分“命题的否定 (即非命 题)”与“否命题”，它们是两个不同的概念．
(2)判断含有逻辑联结词的命题的真假，主要是把 其中单个命题的真假判断清楚，在此基础上再根据含 有逻辑联结词的命题真假判断的准则进行．
二、充分条件与必要条件 例2指出下列命题中，p 是 q 的什么条件(在“充分 不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既 不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数 x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6； (3)非空集合 A、B 中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (4)已知 x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x －1)(y－2)＝0.
5．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又 要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆 命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价 变形(换)得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具 有充分性．
1．(2013 湖南)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.3 充分条件、必要条件与命题的四 种形式
【学习目标】 1．理解命题的概念，了解“若 p，则 q” 形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分 析四种命题的相互关系． 2．理解充分条件、必要条件与充要条件 的意义．
1．命题“若 α＝π4，则 tan α＝1”的逆否命题是( C )
不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是 q 的充分不必要条件．
(3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B，但 x∈B 一定有 x∈A∪B，所以 p 是 q 的必要不充分条件．
(4)条件 p：x＝1 且 y＝2，条件 q：x＝1 或 y＝2， 所以 p⇒q，但 q p，故 p 是 q 的充分不必要条 件．
2．否命题与命题的否定是两个不同的概念，要会 区别，另外要掌握一些常见词的否定词．
3．原命题⇔它的逆否命题，原命题的逆命题⇔原 命题的否命题，因此，在判定四种命题真假时，只需 判定其中两种命题的真假，当判定原命题困难时，可 改为判定其逆否命题．
4．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件 与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解 充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到 的知识点和有关概念．熟练掌握充分必要条件的判断 方法：定义法、逆否命题等价法和利用集合的包含关 系判断法．
2．命题“函数 y＝f(x)(x∈A)是奇函数”的否定是 (C )
A．∀x∈A，f(－x)≠－f(x) B．∀x∈A，f(－x)＝－f(x) C．∃x∈A，f(－x)≠－f(x) D．∃x∈A，f(－x)＝－f(x)
3．(2013 山东)给定两个命题 p，q.若綈 p 是 q 的
必要而不充分条件，则 p 是綈 q 的( A ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】綈 p 是 q 的必要而不充分条件，即 q⇒
要条件；
④“函数 f(x)＝sin(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ
＝kπ(k∈Z)”．
其中真命题的个数是( D )
A．0 B．1 C．2
D．3
(2)已知命题 p：∃x0∈R，使 tan x0＝1，命题 q： x2－3x＋2<0 的解集是{x|1<x<2}，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题 ②命题“p∧綈 q”
2．四种命题及其关系
(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个
命题的结论，且第一个命题的_结__论______是第二个命题的 ____条__件__，那么这两个命题叫做__互__逆___命__题_____；如果把
其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的
____逆__命__题___． (2)同时否定原命题的__条__件____和__结__论____，所得的命题是
【解析】(1)当 x≥a 时，f(x)＝(1－a)x－a；当 x<a 时，f(x)＝a－(1＋a)x.要使 f(x)有最小值，需满足 1－ a≥0 且－(1＋a)≤0，即－1≤a≤1 时，f(x)存在最小 值．
(2)当 x＝a 时，f(x)取得最小值－a2.
四、综合应用 例 4 设命题 p：2x2－3x＋1≤0；命题 q：x2－(2a
0≤a≤12.
【点评】解答本题的关键是将问题等价转化，即 将命题：若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件转化为等价
命题即逆否命题为：p 是 q 的充分不必要条件．其次 是注意数形结合，利用数轴列出关于 a 的不等式组和 写出关于 a 的不等式组的解集．
1．判定复合命题真假的办法是：首先判定简单命 题的真假，再判定复合命题的真假．
．
(4)一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，
用綈 p 和綈 q 分别表示 p，q 的否定，于是四种命题形式
是：原命题：若 p，则 q；逆命题： 若q，则p
；
否命题：若綈p，则綈q，逆否命题： 若綈q，则綈p ．
(5)四种命题之间的关系
注 意 ： (1) 两 个 命 题 互 为 逆 否 命 题 ， 它 们 有 相 同 的 ___真__假__性____． (2) 两 个 命 题 互 为 逆 命 题 或 互 为 否 命 题 ， 它 们 的 真 假 性 ___不__一__定__相__同___．
A．若 α≠π4，则 tan α≠1
C．若
tan
α≠1，则
π α≠4
D．若 tan α≠1，则 α＝π4
【解析】因为“若 p，则 q”的逆否命题为“若 綈 q，则綈 p”，所以“若 α＝π4，则 tan α＝1”
的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π4”．
綈 p 但綈 p q，因此 p⇒綈 q 但綈 q p，故 p 是綈 q 的充分而不必要条件．
4．下列命题，其中正确的是( D ) A．命题“若 x2>1，则 x>1”的否命题为“若 x2>1， 则 x≤1”
B．命题“若 α>β，则 tan α>tan β”的逆命题
为真命题 C．命题“存在 x0∈R，使得 x20＋x0＋1>0”的否
【解析】因为 1＜x＜2 可得 x＜2，但 x＜2 不一 定得到 1＜x＜2，故为充分不必要条件．
【点评】本题考查充分条件与必要条件的判断．
1．命题“若 p 则 q”的逆命题是( A )
A．若 q 则 p
B．若綈 p 则綈 q
C．若綈 q 则綈 p D．若 p 则綈 q
【解析】利用原命题与逆命题间的关系进行转化． 命题：“若 p 则 q”的逆命题是“若 q 则 p”．
2．“a＝b”是“直线 y＝x＋2 与圆(x－a)2＋(y－b)2
＝2 相切”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【知识要点】
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以__判__断___真__假___的陈 述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做__真__命__题___，判 断为假的语句叫做__假__命__题_____．
3．充分条件与必要条件 (1)若 p⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．
(2)若 p⇔ q ，则 p 是 q 的充分必要条件， 即充要条件．
一、四种命题
例1(1)下列四个命题：
①“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；
②“若 x2＋x－6≥0，则 x>2”的否命题；
③在△ABC 中，“A>30°”是“sin A>12”的充分不必
＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，
则实数 a 的取值范围是( C )
A．(－∞，0]
B.－∞，12
C.0，12
D.12，＋∞
【解析】方法一：由 2x2－3x＋1≤0，得12≤x≤1， 则 p：12≤x≤1；由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得 q：
a≤x≤a＋1.∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，∴p 是
【解析】(1)在△ABC 中，若∠A＝∠B，则 sin A ＝sin B；反之，若 sin A＝sin B，因为 A 与 B 不可能 互补(因为三角形三个内角和为 180°)，所以只有 A＝ B.故 p 是 q 的充要条件．
(2)易知：綈 p：x＋y＝8，綈 q：x＝2 且 y＝6，显
然綈 q⇒綈 p，但綈 p 綈 q，即綈 q 是綈 p 的充分
5．若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假．命．题．， 则实数 m 的取值范围是( D )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C.－∞，1
D．(1，＋∞)
【解析】由题意得∀x∈R，x2＋2x＋m>0 为真命 题，∴Δ＝4－4m<0，∴m>1.
x≥1， 6．设 p：y≤2， q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，
【点评】判断 p 是 q 的什么条件，需要从两方面 分析：一是由条件 p 能否推得条件 q；二是由条件 q 能否推得条件 p.
例3设函数 f(x)＝x－a－ax，其中 a 为常数．若 函数 f(x)存在最小值的充要条件是 a∈A，则：
(1)集合 A＝__[－__1_，__1_]__； (2)当 a∈A 时，函数 f(x)的最小值为_－__a_2__．
q
的充分不必要条件，则有a≤12 ，解得 a＋1≥1
0≤a≤12.
方法二：由 2x2－3x＋1≤0，得12≤x≤1，由题意 知方程 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0 的两根 x1，x2(设 x1<x2)满足：x1≤12且 x2≥1.令 f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a
＋1)，只须f12≤0 ，解得 f（1）≤0