高考数学专家讲座2月13日课件

估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，又无需解答过程， 因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点 和取值界限作出适当的估计，便可得出正确的结论，这就 是估算法．估算法往往可以减少运算量．
估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题， 求出答案的近似值，
或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出
但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理； 第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，
则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解. 第三，当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简 单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来 判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略．近几年高考选择题中可用或结合特例 法解答的约占30％左右．
3、如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB，EF＝32，EF 与
平面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为 ( D)
A．92 B．5 C．6 D．125
解：该多面的体积比较难求，可连接 BE、CE， 问题转化为四棱锥 E－ABCD 与三棱锥 E－BCF 的体积之和， 而 VE－ABCD＝13S·h＝13×9×2＝6， 所以只能选 D．
一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法.
估算法的应用技巧： 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值 情况进行求解的方法. 当题目从正面解析比较麻烦， 特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大 的函数的最值或取值范围、函数图象的变化 等问题)常用此种方法确定选项.
估算法的应用技巧 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．
A．3 3 B．2 3
C. 3 D．1
解法二：(估算法)观察此题选项，发现大小差距较大， 我们可以直接采用估算法，算出三棱锥 F－ABC 的体积的近似值， 然后直接选取与近似值最接近的选项．计算完 S△FAB＝12AB·FD＝3 415后， 我们将三棱锥 C－FAB 的高 h 近似认为是 AC， 则 V ＝V 三棱锥 F－ABC 三棱锥 C－FAB≈13S△FAB·AC＝13×3 415×2＝ 215， 再与选项比较，可以发现与选项 C 接近，所以直接选 C.
A．[0,6]
B．(2， 6]
C．12，
6
2
D．0，
6
2
解：当点 P 趋于双曲线右支上的无穷远处时， PF1，PF2，OP趋于相等，从而原式的值趋于 2. 当点 P 位于右支的顶点处时，PF1＋PF2＝4 3，OP＝2 2. 从而原式的值为 6，排除 C，D 选项， 又易知原式的值不可能为 0，排除 A，故选 B.
构造法是一种根据问题的特征，利用一致的 数学模型或已解决的问题，构造几何图形、 函数及方程等一切可能的数学对象解决问题 的方法．
常用的构造法有： 构造数列法，构造函数法，构造图形法， 构造对应关系法，构造向量法，构造方程法， 构造数与式法等． 利用构造法，可将一些问题抽象成数学模型， 从而便于解题．
又∠AFC＝∠BFC＝30°，所以 AC＝BC＝2，FA＝FB＝2 3，设 D 为 AB 的中点，
连接
FD，则
FD⊥AB，由
FD2＝FA2－AD2
得
FD＝3 2 5，所以
S△FAB＝12AB·FD＝3
15 4.
连接球心 O 与底面三角形 FAB 的外接圆圆心 O1，可知 OO1⊥底面 FAB，
则三棱锥 C－FAB 的高 h 与 OO1 平行，又 O 为 FC 的中点，易知 h＝2OO1，
高考数学选择题的解题策略 （二）
三、特殊化法（即特例判断法） 特殊化法（即特例判断法）:在不影响结论的条件下，将题设条件特殊化，从题干出发， 通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置， 进行判断． 特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用， 是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论， 再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择.取满足条件的特殊数值、图形、图象， 从而得到正确结论。 主要包括：特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数、特殊 点、特殊角等， 将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断. 特殊化法是“小题小做”的重要策略. 通过取特值的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况， 因而我们根据题意选取适当的特值帮助我们排除错误答案，选取正确选项。 方法点评：特例法具有简化运算和推理的功效， 比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，
1、特殊元素法：
特殊元素法的解题方法是在有些选择题所涉及的数学命题 与字母的取值范围有关，
在解决这类解答题， 可以考虑从取值范围内选取某一个特殊的值， 代入原命题进行验证，从而确定答案。
利用特殊数列
例 1.已知等差数列{an}满足 a1＋a2＋„＋a101＝0，则有( C )
A．a1＋a101>0
极限化法 选择特殊位置
已知点 P 是双曲线x82－y42＝1 上的动点，F1，F2 分别是此双曲线
的左、右焦点，O 为坐标原点，则|PF1||O＋P||PF2|的取值范围是( B )
A．[0,6]
B．(2， 6]
C．12，
6
2
D．0，
6
2
解：当点 P 趋于双曲线右支上的无穷远处时， PF1，PF2，OP趋于相等，从而原式的值趋于 2. 当点 P 位于右支的顶点处时，PF1＋PF2＝4 3，OP＝2 2. 从而原式的值为 6，排除 C，D 选项， 又易知原式的值不可能为 0，排除 A，故选 B.
已知 sinθ
＝mm＋－53，cosθ
＝4m－＋25mπ2 ＜θ＜π
，则 tan
θ 2
等于(
)
m－3 A.9－m
m－3 B.|9－m|
C.－15
D.5
解：由于受条件 sin2θ＋cos2θ＝1 的制约，m 一定为确定的值
θ
进而推知 tan 2也是一确定的值，
π
πθπ
又 2 ＜θ＜π，所以 4 ＜2＜ 2 ，故
故选 C.
设椭圆 C：x42＋y32＝1 的长轴的两端点分别是 M，N，P 是 C 上异于 M，N 的任意一点，则 PM 与 PN 的斜率之积等于________．
解析：取特殊点，设 P 为椭圆的短轴的一个端点(0， 3)， 又 M(－2，0)，N(2，0)， 33 3 所以 kPM·kPN＝ 2 ·－2＝－4.
[解析] 取特殊数列 1，2，3，4，5，6，7，8， 显然只有 1×8<4×5 成立．
[答案] B
补充练习
在等差数列{an}中，若 a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，
则 a7－12a8 的值为 ( C )
A．4
B．6
C．8
D．10
解：令等差数列{an}为常数列 an＝16. 显然 a7－12a8＝16－8＝8.
(2015·课标全国Ⅱ)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数， f(－1)＝0，当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0， 则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞)
的左、右焦点，O 为坐标原点，则|PF1||O＋P||PF2|的取值范围是( B )
A．[0,6]
B．(2， 6]
C．12，
6
2
D．0，
6
2
解：当点 P 趋于双曲线右支上的无穷远处时， PF1，PF2，OP趋于相等，从而原式的值趋于 2. 当点 P 位于右支的顶点处时，PF1＋PF2＝4 3，OP＝2 2. 从而原式的值为 6，排除 C，D 选项， 又易知原式的值不可能为 0，排除 A，故选 B.
补充：补集法
补集法就是已知问题涉及的类别较多,
或直接求解比较麻烦时, 可以通过求解该问题的对立事件, 求出问题的结果,
则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得.
该方法在概率、函数性质等问题中应用较多.
估算法 选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程． 因此，有些题目，不必进行准确的计算， 只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计， 便能作出正确的判断，这就是估算法． 估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．
B．a2＋a102<0
C．a3＋a99＝0
D．a51＝51
解：取满足题意的特殊数列 an＝0，则 a3＋a99＝0， 故选 C.
利用特殊数列
如果 a1，a2，„，a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，那么( )
A．a1a8>a4a5
B．a1a8<a4a5
C．a1＋a8>a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
反思 用极限化法是解选择填空题的一种有效方法， 也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径． 它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形， 有助于缩小做题难度，计算简便，能迅速得到答案．
点拨： 用极限法是解选择题的一种有效方法， 也是在选择题中避免“小题大做”的有效途径。 它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面， 计算简便，迅速找到答案。
当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时 (如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)
常用此种方法确定选项．
2.已知点 P 是双曲线x82－y42＝1 上的动点，F1，F2 分别是此双曲线
的左、右焦点，O 为坐标原点，则|PF1||O＋P||PF2|的取值范围是( B )
tan
2θ＞1.
所以 D 正确.
答案：D
12．已知球 O 的直径 FC＝4，A，B 是该球球面上的两点，AB＝ 3， ∠AFC＝∠BFC＝30°，则三棱锥 F－ABC 的体积为( ) A．3 3 B．2 3 C. 3 D．1
解法一：(一般解法)根据题意画出图象如图所示， 因为 FC 为球的直径，所以∠FAC＝∠FBC＝90°.
f（x）
xf′（x）－f（x）
解: 构造函数 g(x)＝ x ,则 g′(x)＝
x2
,
当 x>0 时，总有 xf′(x)－f(x)<0,即当 x>0 时，g′(x)恒小于 0，
∴当 x>0 时,函数 g(x)为减函数,
又∵g(－x)＝g(x), ∴ g(x)为定义域上的偶函数,
f（－1）
又∵g(－1)＝
＝0，∴ g(x)的图象性质类似如图：
－1
数形结合可得，不等式 f(x)>0⇔xg(x)>0
x>0
x<0
⇔g（x）>0或g（x）<0,⇔0<x<1 或 x<－1.
经计算可得 OO1＝255，所以三棱锥 C－FAB 的高 h＝2OO1＝455，
所以 V ＝V 三棱锥 F－ABC 三棱锥 C－FAB＝31S△FAB·h＝31×3 415×45 5＝ 3.
答案：C
故选 C.
12．已知球 O 的直径 FC＝4，A，B 是该球球面上的两点，AB＝ 3，
∠AFC＝∠BFC＝30°，则三棱锥 F－ABC 的体积为( )
答案：C
七、极限法 从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变。
应用极限思想解决某些问题，
可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度， 优化解题过程。
用极限法是解选择题的一种有效方法。
它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，
有助于缩小选择面，迅速找到答案。
极限化法 选择特殊位置
已知点 P 是双曲线x82－y42＝1 上的动点，F1，F2 分别是此双曲线
探究提高 本题直接求解较难，利用特殊位置法， 则简便易行．利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件．
[应用体验]
12.设[x]表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，有( )
A．[－x]＝－[x] B.x＋12＝[x]
C．[2x]＝2[x]
ห้องสมุดไป่ตู้
D．[x]＋x＋12＝[2x]
解析： 当 x＝12时，可排除 A、B、C. 选D
答案：－34
已知 A、B、C、D 是抛物线 y2＝8x 上的点，F 是抛物线的焦点，
且→FA＋F→B＋F→C＋F→D＝0，则|→FA|＋|F→B|＋|F→C|＋|F→D|的值为 ( D )
A．2
B．4
C．8
D．16
解：取特殊位置，AB，CD 为抛物线的通径，
显然→FA ＋→FB＋F→C＋F→D＝0， 则|→FA|＋|→FB|＋|F→C|＋|F→D|＝4p＝16，故选 D.