数学物理方法变分法PPT学习教案

和
两点的
在附加条 件（）
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和两个积 分 和附加条 件
例3 求 是归一化 的，即 解 本题 是求泛 函的条 件极值 问题， 可化为 变分问 题
对应的E-L 方程为 其通解为
的极值， 其中 ，且已知
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代入附加 条件 得到 代入归一 化条件 得到
于是得到 ，故原极 值问题 的解为
三、 变分
定义： 变分
如果我们 将泛函 取极值 时的函 数（或 函数曲 线）定 义为
并定义与 函数曲 线
邻近的曲 线（或 略为变 形的
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曲线）作 为比较 曲线， 记为
其中 选定函数 ，规定
函在极值 处连续 ．在研 究泛函 极值时 ，通常 将 而令
到泛函 就成为了 参数
是一个小 参数；
此即泛函 取极值 的必要 条件． 即泛函
必须是满 足泛函 的变分
的函数类
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的极值函 数 ．因此，
把泛函的 极值问 题称为 变分问 题． 注明 ：E-L方 程是泛 函取极 值的必 要条件 ，而不 是充分 条件． 如果讨 论充分 条件， 则要计 算二阶 变分， 并考虑 其正、 负值,但 对于实 际问题 中，当 泛函具 有明确 的物理 涵义， 极值的 存在性 往往间 接地在 问题的 提法中 就可以 肯定， 所以极 值的存 在性是 不成问 题的， 只要解 出E-L 方程 ，就可以 得到泛 函的极 值．
由变分 法得到 的E-L方 程求解 ，一般 来说， 是很困 难的． 但在分析 力学中 往往还 是采用 这一办 法来求 解．因 为历史 悠 久，它自 有一套 办法．
（ii）近似 解 所谓近 似解即 由泛函 本身出 发，而 不需求 解E-L方 程，
直接求得所需要的解——极值曲线
因此，常 常称它 为研究 泛函极 值问题 的直接 法．
E-L方程 除了上 面给出 的形式 之外， 另外还有 四种特 殊情况 ：
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(1) 因为
不显含 且
若 E-L方程等 价于
（）
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(2) 且
不依赖于
则E-L方程 化为
(3) 不依赖于
则E-L方程 化为
（） 且
（）
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由此可见 (4)
仅为
的函数．
关于
是线性的 ：
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例5 假设大气的光折射率 利用费马 （Fermat）原 理导出 在大气 中光线 轨迹的 微分方 程；
解 （1）根 据费马 原理： 光线的 实际路 径上， 光程的 变分为 零．
其中
为介质中 的光折 射率，
元．上述 问题也 可表示 为如下 泛函极 值问题 ：
由于
不显含
只依赖于 高度
为沿光线 进行方 向的路 程
于某一个
所引起的 ．它的 值既不 取决于 某一个 值，而是 取决于 整个集 合C中
的函数关 系． 与
定义：泛函 泛函的核
泛函通 常以积 分形式 出现， 比如上 面描述 的最速 降线 落径问题 的式（ ）．更 为一般 而又典 型的泛 函定义 为
其中
称为泛函 的核．
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本身的变 化
二、泛函的极值――变分法
在求一 元或多 元函数 的极值 时，微 分起了 很大的 作用； 同样在 研究泛 函极值 问题时 ，变分 起着类 似微分 的作用 ．因此 ，通常 称泛函 极值问 题为变 分问题 ；称求 泛函极 值的方 法为变 分法．
例 1 计算泛函的变分 解
注意：最 后一步 利用了 一般在 边界上 函数变 分为零 的事实 ，即
则E-L方程 化为
对于含 有一个 自变量 ，多个 变量函 数，以 及有较 高阶变 量 函数导数 的泛函 ，类似 上面的 推导可 得如下 结论：
（）
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2. 泛函表示为多个函数的积分形式
则与此泛 函极值 问题相 应的E-L 方程为
（）
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3. 泛函的积分形式中含有高阶导数
（）
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泛函中
为
由于两端 固定， 所以要 求
．由，有
，即
（）
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式的积分 号下既 有 应用分部 积分法 可使积 分号下 出现
根据（）, 所以 （）故有
，又有
，对第二 项
,再根据
（）
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因为 并且
是任意的 ，所以
上式称 为欧拉 （Euler ）－拉 格朗日 （Lagr ange ） 方程，简 称为E-L 方程．
图13.1
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我们知道 ，此时 质点的 速度是 因此从 A 滑到B 所需的 时间为 即为
（）
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式中
代表对
泛函
的
，而称
的定义域 。简单 地说， 泛函就 是函数 的函数 （不是 复合函 数 的那种含 义）．
求一阶导 数． 我 们称上 述的 为可取的 函数，B是实 数或复 数的集 合， 如果对于 C的任 一元素
（）
，根据公 式，可 得首次 积分
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（） （）
其中 即
为常数， 若
若如果折 射率 沿着路径是一常数．若应用到分界面 上，就 得到光 学中的
（）
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即所谓的 等周问 题：
（注：这 种问题 之所以 称为等 周问题 ，是因 为在历 史上起 源 于求一条 通过两 点，长 度固定 为l的曲 线
取极大值 ）
使面积
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其中 条件极值 问题的 拉格朗 日乘子 法．即 将附加 条件乘 以
参数，求 其变分 后，加 到泛函 取极值 的必要 条件中 得到
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13.1 变分法的基本概念
定义： 变分法 变分问题 变分法 就是求 泛函极 值的方 法．变 分问题 即是求 泛函的极 值问题 ．
一、泛函 变分法研究的对象是泛函，泛函是函数 概念的 推广．
为了说明 泛函概 念先看 一个例 题：
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考虑著 名的最 速降线 落径问 题。如 图13. 1 所示 ， 已知A和 B为不 在同一 铅垂线 和不同 高度的 两点， 要求 找出A、B 间的这 样一条 曲线， 当一质 点在重 力作用 下沿 这条曲线 无摩擦 地从A 滑到B时 ，所需 的时间 T最小 ．
这里 所以
即变分和 微分可 以交换 次序．
代表对
求一阶导 数．
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四、 泛函的变分
定义： 泛 函的变 分 泛 函的增 量 变分 问题 泛函的变 分定义 为
在极值曲 线
依照上述 约定， 当 主要部分 定义为 泛函的 变分， 记为
附近，泛 函 时，泛函 增量
的增量， 定义为 的线性
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一、 泛函的极值的必要条件――欧拉－拉格朗日方程
设
的极值问题有解
（）
现在推 导这个 解所满 足的常 微分方 程，这 是用间 接法 研究泛函 极值问 题的重 要一环 ．设想 这个解 有变分
则
可视为参 数
的函数
而当
时，
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问题，就 化为一 个求普 通函数 取极值的 必要条 件，有
对应于式 即为 取极值． 于是原 来的泛 函极值
的极值问 题．由 函数
即有
（）
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1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数 的积分形式
泛函表示 为一个 自变量 ，一个 函数及 其一阶 导数的 积分形 式，
若考虑两 端固定 边界的 泛函问 题：积 分是在 区域内 通过两 点
的任意曲 线进行 的，其 中
数学物理方法变分法
会计学
1
变分法的优点:
(1) 变分 法在物 理上可 以归纳 定律． 因为几 乎所有 的自然 定律都 能用变 分原理 的形式 予以表 达； (2) 变 分法易 于实现 数学的 统一化 ．因为 一般而 言，数 学物理 方程的 定解问 题都可 以转化 为变分 问题． 尤其是 前面介 绍的斯 特姆－ 刘维尔 本征值 问题可 转化为 变分问 题，变 分法提 供了施 －刘型 本征值 问题的 本征函 数系的 完备性 等结论 的证明 ；
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有限差分法 ：有限差 分法把 定解问 题转化 为代数 方 程， 然 后通过 电子计 算机求 定解问 题的数 值解．
模拟法 ：即用一 定的物 理模型 来模拟 所研究 的定解 问题， 而在 模型上 实测解 的数值 ．
变分法 是这些 方法中 最为重 要和切 实有效 的方法 ，
已经广泛 应用于 科学研 究和工 程计算 之中， 限于篇 幅故 本书主要 详细介 绍经典 变分法 的基本 概念和 理论．
令 故有
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令 分离变量 得到 再令 代入上式 得到
即得到
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（图13.1 的A,B 两点） 决定．
此即为摆 线的参 数方程 ，积分 常数可 由初始 位置
泛函的条件极值问题
在许多 泛函的 极值问 题中， 变量函 数还受 到一些 附加条 件 的限制， 其中最 常见和 重要的 一种是 以积分 形式表 示的限 制 条件
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(3) 变分 法是解 数学物 理定解 问题常 用的近 似方法 ，其基 本思想 是把数 学物理 定解问 题转化 为变分 问题由 直接解 变分问 题发展 了一些 近似解 法，其 中最有 用的是 里茨 （Ritz） 法． 由于里 茨法中 的试探 函数的 选取较 为麻烦 ，计算 系数矩 阵也十 分困难 ，随着 计算机 的展， 又迅速 发展 了一种有 限元法 ； (4) 变分 法的应 用不仅 在经典 物理和 工程技 术域， 而且在 现代量 子场论 ，现代 控制理 论和现 代信息 理论等 高技术 领域都 有十分 广泛的 应用．
则称
为
必须注意 ，泛函 不同于 通常讲 的函数 ．决定 通常函 数值的
的泛函， 记为
在B中都 有一个 元素
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为 与之对应 ，
因素是自 变量的 取值， 而决定 泛函的 值的因 素则是 函数的 取形． 如上面 例子中 的泛函 T的变 化是由 函数
（即从A 到B的不 同曲线 ） 值，也不 取决
对于不同 的自变 量函数
，与此相 应的泛 函
也有不同 的数值 ．找出 一个确 定的自 变量函 数
，使泛函
具有 极值（ 极小或 极大） ，这种 泛函的 极小值 与极大 值统称为 泛函的 极值．
引入泛函 的概念 后，对 于上述 的最速 降线落 径问题 变为泛 函
原理，分 析力学 中的哈 密顿(H amiton)原理 等，都 是泛函 的极值 问题．
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13．2 泛函的极值
泛函的 极值问 题，一 般来说 是比较 复杂的 ．因为 它与泛 函包含 的自变 量个数 ，未知 函数的 个数以 及函数 导数的 阶数等 相关． 另外， 在求泛 函极值 时，有 的还要 加约束 条件， 且约束 条件的 类型也 有不同 ，等等 ．下面 我们首 先讨论 泛函的 极值的 必要条 件．
与此泛函 极值问 题相应 的E-L方 程为
（）
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4.泛函的积分形式中含有多元函数
设
为
的二元函 数，则
与此泛函 极值问 题相应 的E-L方 程为
（）
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例2 试求 解最速 降线落 径问题 ，即变 分问题
解目前， 我们只 能用间 接方法 来求解 ，由于 不显含
，故其E-L 方程为 （）式
为常数． 此类问 题可以 仿照普 通函数 的
于是问题 转化为 不带条 件的由 上式所 表示的 变分问 题．
其对应的E-L方程为
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这是通过 之下使泛 函取极 值的必 要条件 ．它实 际上是 一个关 于
的二阶常 微分方 程．其 通解中 含有三 个参数 ，即 常数．它 们可由 条件
（）来确 定 .
的极小值 问题． 物理学 中常见 的有光 学中的 费马(Fe rmat)
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定义： 变分法：所谓的变分法就是求泛函极 值的方 法． 研究泛函 极值问 题的方 法可以 归为两 类：一 类叫直 接法，
即直接分 析所提 出的问 题；另 一类叫 间接法 ，即把 问题转 化为求 解微分 方程． 为讨论 间接方 法，先 介绍变 分和泛 函的变 分．
它在一个 小范围 内变化 ，这限 制主要 保证泛
变化，这 样规定 的好处 在于： 建立了 由参数
值之间的 对应关 系，因 此泛函 的普通函 数．原 来泛函 的极值 问题就 成为
是一个具 有二阶 导数的 任意
固定，
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普通函数 对 的变分定 义为
的求极值 的问题 ．同时 ，函数 曲线
因此可得
而题中要 求的泛 函
的极值为
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当 使得泛函 数取得 最小值 例4 求泛 函
解 此时 则偏导数
时，极值 函数 下的极值 曲线.
在条件
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.对应的Eu ler方 程为 其通解为
代入边界 条件可 得
所以极值 曲线为
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13.3 光学中的泛函极值典型例子
泛函极值 问题的 求解,通 常有两 种结果 ： （i）解析 解