七年级下册数学《 利用三角形全等测距离》省优质课一等奖教案
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情感态度
通过情境创设，激发学生的积极性，感受数学与生活的密切联系．在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生的合作精神，锻炼口头表达能力.
教学
重点
利用三角形全等解决实际问题.
教学
难点
在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题1：三角形全等的条件有哪些？
理由：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA(两直线平行，内错角相等)．
在△ACB和△CAD中，
∵BC＝AD，∠BCA＝∠DAC，AC＝CA，∴△ACB≌△CAD(SAS)，
∴AB＝CD(全等三角形的对应边相等)．
方法三：(垂直全等法)
图4－5－25
过点A作射线AC，过点B作AC的垂线BD，在AC上截取DC＝AD，连接BC，这时测得的BC的长度就是A，B间的距离．
理由：在△ABO和△CDO中，
∵∠AOB＝∠COD，BO＝DO，∠ABO＝∠CDO，
∴△ABO≌△CDO(ASA)．
∴AB＝CD(全等三角形的对应边相等).
例2课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高．瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”你知道数学老师为什么从他们的影长相等就能断定他们的身高相同吗？你能运用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗？(假定太阳光线是平行的)
如图4－5－17所示：
图4－5－17
2．如图4－5－18所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？
图4－5－18
用真实的故事引入新课，可吸引学生的注意力，产生学习的积极性和好奇心.
通过设置悬念激发学生的学习兴趣，让学生体会数学的魅力，积蓄求知欲．同时引导学生明确解决问题的关键是把不可测量的距离转化成可测量的距离，从而为后续学习奠定基础、做好铺垫.
问题2：已知线段AB和线段CD相交于点O，AO＝BO，CO＝DO，AC＝18米．你能求出BD的长度吗？
图4－5－16
通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.一位经历过战争的老人讲诉了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
数学思想：转化思想．
学生通过归纳，捋顺了自己的思路，形成系统的表达，知识掌握得更加牢固，完成学习方式方法的感悟，积累了解决数学问题的基本经验，提高了整堂课的学习效率.
活动
四：
课堂
总结
反思
【板书设计】
5利用三角形全等测距离(学来自板演)提纲提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
1[授课流程反思]
本节课的教学重点是构造全等三角形解决实际生活中的“不可测量距离”问题．首先通过一个“现实情境”，让学生的练习具有“真实”地解决问题的意境，然后用角色模拟的方法进行自由而舒畅的交流活动．通过这样的交流，可以激发学生的好奇心和求知欲.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 活动内容：测碉堡的距离
在课堂引入中，这位聪明的战士的方法如下：
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．你觉得他测的距离准确吗？
了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题、解决问题的能力．教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性地进行讲解．
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】课本P109习题4.10中T1，T2.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【课堂总结】
例4在一座楼相邻两面墙根的外部有两点A，C，如图4－5－29所示，请设计方案测量A，C两点间的距离．要求画出设计图形，写出设计方案，并说明理由．
图4－5－29
解：(1)当两面墙垂直时，可以设计以下三种方案．
图4－5－30
(2)当两面墙不垂直时，只能用图③的方法．原因：两面墙无论是否垂直，只要分别延长两边并截取与已知边相等的线段，利用现成的对顶角相等，再由“边角边”就可得到两个三角形全等．
图4－5－19
提问：(1)“调整帽子”“保持刚才的姿态”是什么意思？
(2)小组模拟活动．
(3)根据活动，谈谈你对本题的理解．
(4)你能说说这样做的理由吗？可以写一下．
[解析] (1)学生读题，理解题意．重点理解“调整帽子”“保持刚才的姿态”的数学意义．“调整帽子”即可改变视角的大小，即角的大小，帽檐向上平移，视角变大，观察到的范围大；帽檐向下平移，视角变小，观察到的范围小．“保持刚才的姿态”即为保持视角不变．
学生作图及作法展示：
测的是敌碉堡B与我军阵地H的距离，战士的结论是只要按
图4－5－21
要求(如图4－5－21)测得CH的长度即可得到BH的长度．
(4)在△AHB与△AHC中，
∴△AHB≌△AHC(ASA)，
∴BH＝CH(全等三角形的对应边相等)
让学生主动参与，积极思考，在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度．在鼓励学生的过程中，锻炼了他们的数学思考能力和语言表达能力，形成了良好的数学氛围.
解：如图4－5－27，因为太阳光线是平行的，即AC∥DF，
图4－5－27
所以∠C＝∠F.
因为AB⊥BC，DE⊥EF，所以∠B＝∠E.
又因为他们的影长相等，即BC＝EF，
所以△ABC≌△DEF(ASA)，
所以AB＝DE.
通过本题的练习，对利用三角形全等测距离的知识进行了深入探究、分析和总结，深化了学生对利用三角形全等测距离的理解，渗透转化的数学思想．同时，注重培养学生一题多解的良好的学习习惯，使学生思维的广度、深度不断得到增强.
②[讲授效果反思]
在教学过程中，能给足时间，让他们充分“自主探究”“合作研学”，学生充分发表意见，进行自由而舒畅的合作交流活动．既提高了学习的积极性，又刺激了他们思维的多向性与逻辑性．在学生主动运用所学知识寻求发现问题和解决问题的同时，注重师生间的对话，把教育激励策略运用于教学活动中，能给予激励性的评价，使他们在积极的互动中掌握知识，发展分析问题、解决问题的能力，培养成功感.
第四章 三角形
5利用三角形全等测距离
课题
5 利用三角形全等测距离
授课人
教
学
目
标
知识技能
通过让学生体会教科书中提供的情境，明白战士的具体做法，并尝试思考其中的道理，体会数学与实际生活的联系.
数学思考
能利用三角形全等解决实际生活中的“不可测距离”问题，体会数学与实际生活的联系.
问题解决
利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系.
进一步深化学生对三角形全等知识的理解和巩固应用．提高学生利用三角形全等知识解决生活中实际问题的能力，锻炼了学生的思维能力和培养了学生举一反三、触类旁通的数学学习习惯.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
图4－5－28
例3如图4－5－28，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB.那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是__SAS__．
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1如图4－5－22，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？画出设计图形．并说明理由.
图4－5－22
解：方法一：(延长全等法)
先在地上任取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，
(2)五人一组，在操场空地上模拟这位战士测量距离．
图4－5－20
(3)战士的身高AH不变；战士与地面是垂直的(AH⊥BC)；视角∠HAC＝∠HAB；战士要处理方式：教师在黑板上画出如图4－4－13所示的三条线段a，b，c，然后请一名学生在黑板上作图，其他学生在练习本上完成．学生完成作图后，面向全体同学口述作法．
④[习题反思]
好题题号_______________________________________
错题题号_______________________________________
反思，更进一步提升.
理由：在△ABD和△CBD中，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴AB＝BC(全等三角形的对应边相等)．
方法四：(延长垂直全等法)
图4－5－26
先在地上任取一个可以直接到达A点和B点的点O，过O点作OB⊥AB，，并延长OB到D，使OD＝OB；过D点作CD⊥BD，连接AO并延长交CD于点C，测得的CD的长度就是A，B间的距离．
图4－5－23
使CE＝CB，连接DE，测得的DE的长度就是A，B间的距离．
理由：在△ABC和△DEC中，
∵AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴AB＝DE(全等三角形的对应边相等)．
图4－5－24
方法二：(平行全等法)
先在地面上任取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC，BC，再过A点作AD∥BC，并使AD＝BC，连接CD，测得CD的长即为A，B间的距离．
通过这节课的学习，你主要学习了哪些知识？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
学生思考后自由发言谈谈本节课的困惑、收获和体会．不仅要引导学生进行知识的归纳，也要使学生注重总结方法．在引导的过程中可以引导学生思考：如何求不能直接测量的距离？帮助学生从以下两个方面理解数学问题．
方法途径：转化为构建两个全等三角形．
通过情境创设，激发学生的积极性，感受数学与生活的密切联系．在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生的合作精神，锻炼口头表达能力.
教学
重点
利用三角形全等解决实际问题.
教学
难点
在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题1：三角形全等的条件有哪些？
理由：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA(两直线平行，内错角相等)．
在△ACB和△CAD中，
∵BC＝AD，∠BCA＝∠DAC，AC＝CA，∴△ACB≌△CAD(SAS)，
∴AB＝CD(全等三角形的对应边相等)．
方法三：(垂直全等法)
图4－5－25
过点A作射线AC，过点B作AC的垂线BD，在AC上截取DC＝AD，连接BC，这时测得的BC的长度就是A，B间的距离．
理由：在△ABO和△CDO中，
∵∠AOB＝∠COD，BO＝DO，∠ABO＝∠CDO，
∴△ABO≌△CDO(ASA)．
∴AB＝CD(全等三角形的对应边相等).
例2课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高．瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”你知道数学老师为什么从他们的影长相等就能断定他们的身高相同吗？你能运用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗？(假定太阳光线是平行的)
如图4－5－17所示：
图4－5－17
2．如图4－5－18所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？
图4－5－18
用真实的故事引入新课，可吸引学生的注意力，产生学习的积极性和好奇心.
通过设置悬念激发学生的学习兴趣，让学生体会数学的魅力，积蓄求知欲．同时引导学生明确解决问题的关键是把不可测量的距离转化成可测量的距离，从而为后续学习奠定基础、做好铺垫.
问题2：已知线段AB和线段CD相交于点O，AO＝BO，CO＝DO，AC＝18米．你能求出BD的长度吗？
图4－5－16
通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.一位经历过战争的老人讲诉了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
数学思想：转化思想．
学生通过归纳，捋顺了自己的思路，形成系统的表达，知识掌握得更加牢固，完成学习方式方法的感悟，积累了解决数学问题的基本经验，提高了整堂课的学习效率.
活动
四：
课堂
总结
反思
【板书设计】
5利用三角形全等测距离(学来自板演)提纲提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
1[授课流程反思]
本节课的教学重点是构造全等三角形解决实际生活中的“不可测量距离”问题．首先通过一个“现实情境”，让学生的练习具有“真实”地解决问题的意境，然后用角色模拟的方法进行自由而舒畅的交流活动．通过这样的交流，可以激发学生的好奇心和求知欲.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 活动内容：测碉堡的距离
在课堂引入中，这位聪明的战士的方法如下：
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．你觉得他测的距离准确吗？
了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题、解决问题的能力．教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性地进行讲解．
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】课本P109习题4.10中T1，T2.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【课堂总结】
例4在一座楼相邻两面墙根的外部有两点A，C，如图4－5－29所示，请设计方案测量A，C两点间的距离．要求画出设计图形，写出设计方案，并说明理由．
图4－5－29
解：(1)当两面墙垂直时，可以设计以下三种方案．
图4－5－30
(2)当两面墙不垂直时，只能用图③的方法．原因：两面墙无论是否垂直，只要分别延长两边并截取与已知边相等的线段，利用现成的对顶角相等，再由“边角边”就可得到两个三角形全等．
图4－5－19
提问：(1)“调整帽子”“保持刚才的姿态”是什么意思？
(2)小组模拟活动．
(3)根据活动，谈谈你对本题的理解．
(4)你能说说这样做的理由吗？可以写一下．
[解析] (1)学生读题，理解题意．重点理解“调整帽子”“保持刚才的姿态”的数学意义．“调整帽子”即可改变视角的大小，即角的大小，帽檐向上平移，视角变大，观察到的范围大；帽檐向下平移，视角变小，观察到的范围小．“保持刚才的姿态”即为保持视角不变．
学生作图及作法展示：
测的是敌碉堡B与我军阵地H的距离，战士的结论是只要按
图4－5－21
要求(如图4－5－21)测得CH的长度即可得到BH的长度．
(4)在△AHB与△AHC中，
∴△AHB≌△AHC(ASA)，
∴BH＝CH(全等三角形的对应边相等)
让学生主动参与，积极思考，在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度．在鼓励学生的过程中，锻炼了他们的数学思考能力和语言表达能力，形成了良好的数学氛围.
解：如图4－5－27，因为太阳光线是平行的，即AC∥DF，
图4－5－27
所以∠C＝∠F.
因为AB⊥BC，DE⊥EF，所以∠B＝∠E.
又因为他们的影长相等，即BC＝EF，
所以△ABC≌△DEF(ASA)，
所以AB＝DE.
通过本题的练习，对利用三角形全等测距离的知识进行了深入探究、分析和总结，深化了学生对利用三角形全等测距离的理解，渗透转化的数学思想．同时，注重培养学生一题多解的良好的学习习惯，使学生思维的广度、深度不断得到增强.
②[讲授效果反思]
在教学过程中，能给足时间，让他们充分“自主探究”“合作研学”，学生充分发表意见，进行自由而舒畅的合作交流活动．既提高了学习的积极性，又刺激了他们思维的多向性与逻辑性．在学生主动运用所学知识寻求发现问题和解决问题的同时，注重师生间的对话，把教育激励策略运用于教学活动中，能给予激励性的评价，使他们在积极的互动中掌握知识，发展分析问题、解决问题的能力，培养成功感.
第四章 三角形
5利用三角形全等测距离
课题
5 利用三角形全等测距离
授课人
教
学
目
标
知识技能
通过让学生体会教科书中提供的情境，明白战士的具体做法，并尝试思考其中的道理，体会数学与实际生活的联系.
数学思考
能利用三角形全等解决实际生活中的“不可测距离”问题，体会数学与实际生活的联系.
问题解决
利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系.
进一步深化学生对三角形全等知识的理解和巩固应用．提高学生利用三角形全等知识解决生活中实际问题的能力，锻炼了学生的思维能力和培养了学生举一反三、触类旁通的数学学习习惯.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
图4－5－28
例3如图4－5－28，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB.那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是__SAS__．
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1如图4－5－22，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？画出设计图形．并说明理由.
图4－5－22
解：方法一：(延长全等法)
先在地上任取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，
(2)五人一组，在操场空地上模拟这位战士测量距离．
图4－5－20
(3)战士的身高AH不变；战士与地面是垂直的(AH⊥BC)；视角∠HAC＝∠HAB；战士要处理方式：教师在黑板上画出如图4－4－13所示的三条线段a，b，c，然后请一名学生在黑板上作图，其他学生在练习本上完成．学生完成作图后，面向全体同学口述作法．
④[习题反思]
好题题号_______________________________________
错题题号_______________________________________
反思，更进一步提升.
理由：在△ABD和△CBD中，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴AB＝BC(全等三角形的对应边相等)．
方法四：(延长垂直全等法)
图4－5－26
先在地上任取一个可以直接到达A点和B点的点O，过O点作OB⊥AB，，并延长OB到D，使OD＝OB；过D点作CD⊥BD，连接AO并延长交CD于点C，测得的CD的长度就是A，B间的距离．
图4－5－23
使CE＝CB，连接DE，测得的DE的长度就是A，B间的距离．
理由：在△ABC和△DEC中，
∵AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴AB＝DE(全等三角形的对应边相等)．
图4－5－24
方法二：(平行全等法)
先在地面上任取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC，BC，再过A点作AD∥BC，并使AD＝BC，连接CD，测得CD的长即为A，B间的距离．
通过这节课的学习，你主要学习了哪些知识？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
学生思考后自由发言谈谈本节课的困惑、收获和体会．不仅要引导学生进行知识的归纳，也要使学生注重总结方法．在引导的过程中可以引导学生思考：如何求不能直接测量的距离？帮助学生从以下两个方面理解数学问题．
方法途径：转化为构建两个全等三角形．