北师版初三数学期中复习全章同步讲义

第一节 北师大版九年级上复习试题（一）
第一回 证明（二） 【知识要点】
1.倍长中线，截长补短的辅助线做法你会了吗？
2.你会灵活运用等腰三角形“三线合一”的性质吗？
3.角平分线，垂直平分线性质都掌握了吗？
【典型例题】
# 例1 已知：△ABC 的两条高为BE 、CF,点M 为
BC 的中点。

求证：ME=MF
# 例2 如图，梯形ABCD ，AB//DC ，AD=DC=CB ，AD 、BC 的延长线
相交于G ，CE⊥AG 于E ，CF⊥AB 于F.（1） 请写出图中4组相等的线段（不添加辅助线，已知的相等线段除外）；
（2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由.
例3 如图，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC.
（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.
B
C
M
* 例4 如图，等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，点P 在AC
上，将△ABP 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ 。

（1）求∠PCQ 的度数；
（2）当AB ＝4，AP ∶PC ＝1∶3时，求PQ 的大小； （3）当点P 在线段AC 上运动时（P 不与A 重合），请写出一个反映PA ，PC ，PB 之间关系的等式，并加以证明。

第二回 一元二次方程 【知识要点】
1. 如何用一元二次方程配方法解方程？
2. 降次思想是怎样在一元二次方程中体现的？你掌握哪些基本降次的手段？
3. 方程应用各类题型如何找关系式，有了那些方法？
# 例5 解方程：（1）(用公式法)
（2）（用配方法） （3）（因式分解）
（4）(任选方法) （5）
222
08252=+-x x 2
410x x +-=22)25(96x x x -=+-)1(2)1(32+=+x x ⎩⎨
⎧=-+=5
12
2
y y x y A
B
C
P
Q
例6 已知关于的方程 （1）当取何实数时，方程有两个实数根？
（2）请为选一个最小整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出此时这两个实数根
例7 常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
* 例8 2008年5月12日四川汶川地区发生8.0级特大地震.举国上下通过各种方式表达
爱心.某企业决定用p 万元援助灾区n 所学校,用于搭建帐篷和添置教学设备.根据各校不同的受灾情况,该企业捐款的分配方案是:所有学校得到的捐款数都相等,到第n 所学校的捐款恰好分完,捐款的分配方法如下表所示.(其中p,n,a 都是正整数)
x 01)1(222=++-x m x m m m
根据以上信息，解答下列问题：
(1)写出p 与n 的关系式；(2)当p=125时，该企业能援助多少所学校？
(3)根据震区灾情，该企业计划再次提供不超过20a 万元的捐款,按照原来的分配方案援助其它学校.若a 由 (2)确定,则再次提供的捐款最多又可以援助多少所学校?
第三回 证明（三） 【知识要点】
1.平行四边形，梯形我们通常是如何将其转化成三角形来解决问题的？
2.中位线性质在什么情况下得到充分运用？
3.特殊平行四边形性质都熟悉了吗？联系和区别都有那些？
4.四边形综合题中与边，角，面积等相关的计算和证明你总结了哪些方法？
# 例
9 如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD ，E 、N 、M 、
F 分别为 AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：四边形 MEFN 为菱形
例10 如图，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点． （1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．
ABCD AB AC ⊥1AB
=BC =AC BD ，O AC O BC AD ，E F ，90
ABEF AF EC BEDF AC O A
B
C
D
O
F
E
B
C
* 例11 正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF
⊥CD 于点F 。

如图1，当点P 与点O 重合时，显然有DF ＝CF ．
⑴如图2，若点P 在线段AO 上（不与点A 、O 重合），PE ⊥PB 且PE 交CD 于点E 。

①求证：DF ＝EF ；
②写出线段PC 、PA 、CE 之间的一个等量关系，并证明你的结论；
⑵若点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E 。

请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
* 例12 在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接BE ，且∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，连接
BD ．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ． (1)当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋
PQ ； （2）若 BC ＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ，求y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交对角线BD 于点G （如图2），求线段PG 的长。

【大展身手】
3
3
F
P(O)
D C
B
A
图1
图2
O
D C
B
A
E F P O B
A
图3 P
一、选择题(每小题4分，共40分) 1. 下列图形中，中心对称图形的是【 】
A B C D 2. 如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在位置，A 落在位置，若，则的度数是（ ） A 、50° B 、60° C 、70° D 、80°
3. 已知直角三角形的两边长是方程x 2
-7x+12=0的两根，则第三边长为【 】 A 、7 B 、5 C 、D 、5或
4. 如图，直线a 、b 、c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有【 】
A 、一处
B 、两处
C 、.三处
D 、四处 5. 下列命题中错误的【 】
A 、两对邻角互补的四边形是平行四边形；
B 、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
C 、等腰梯形的对角线相等；
D 、平行四边形的对角线互相平分。

6. 如图，将矩形ABCD 分成15个大小相等的正方形，E 、F 、G 、
H
分别在
AD 、AB 、BC 、CD 边上，且是某个小正方形的顶点.若四边形 EFGH 的面积为1,则矩形ABCD 的面积是【 】
A 、2
B 、
C 、
D 、
7. 用计算器探索：已知按一定规则排列的一组数：1，
，
，…，
，
，
如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数（ ） A 、3个数 B 、4个数 C 、5个数 D 、6个数
8. 如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是（ ）
B 'A 'B A A
C ''⊥BAC ∠7735235
62
13
119
120
122(21)10k x k x -++=k
A 、＞
B 、＞且
C 、＜
D 、且 9. 5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（）
10. 把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，找开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2
，则打开后梯形的周长是（ ）
A ．cm
B ．cm
C ．22cm
D ．18cm
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪成两块，可以拼成不同 形状的四边形，请写出你拼成的四边形的名称：（只写一个）。

12. 关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为
13. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．
14. 如图,边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG,EF 交AD 于点H,那么DH 的长为。

15.如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以
、为两邻边作平行四边形，
平行四边形的对角线交于点，同样以、 为两邻边作平行四边形
，……，依次类推，则平行四边形的面积为. k 14-
k 14-0k ≠k 14-1
4
k ≥-0k
≠(10
+(10x 022
=+-m mx x ABCD 1O AB 1AO 11O ABC 11O ABC 2O AB 2AO 22O ABC n n O
ABC t
Ｂ．
C ．
D ．
3cm
3cm
A B
C
1
O D 1
C 2O
2C
……
（第15题图）
三、解答计算题：（每小题10分，共40分）
16. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的 篱笆围一个矩形场地．
⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2
? ⑵能否使所围矩形场地的面积为810m 2
，为什么?
17. 用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD 。

把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转。

⑴当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时(如图⑴)，通过观察BE 、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
⑵当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 的延长线相交于点E 、F 时(如图(2))，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由。

18.
的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感。

现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）
： 第一步：作一个任意正方形ABCD ；
第二步：分别取
AD 、BC 的中点M 、N ，连接
MN ；
第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；
第21题图
第四步：过E 作交AD 的延长线于F ，
请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形，（可取AB=2）。

19.如图，在等腰梯形中，，
，，．动点从点出
发沿以每秒1个单位的速度向终点运动，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．两点
同时出发，当点到达点时，点随之停止运动． （1）梯形的面积等于；
（2）当时，点离开点的时间等于秒；
（3）当三点构成直角三角形时，点离开点多少时间？
第二节 北师大版九年级上复习试题（二）
第四回 视图与投影 【知识要点】
1.画三视图需要注意些什么？
2.会画可视区，盲区吗？
3.通过学习你会计算平行投影或中心投影的物体的影长吗？
【典型例题】
EF AD ⊥ABCD AD BC ∥5AB DC ==6AD =12BC =P D DC C Q C CB B P C Q ABCD PQ AB ∥P D P Q C ，，P
D C
B
# 例1 下图※是一种瑶族长鼓的轮廓图，其主视图正确的是（ ）
# 例2一几何体的三视图如右，这个几何体是（ ）
A.圆锥
B.圆柱
C. 三棱锥
D. 三棱柱
例3
则该几何体中正方体木块的个数是（ ）
A. 6
个 B. 5个 C. 4个
D. 3个
例4 （1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段表示）；
（2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点表示），并在图中画出人在此光源下的影子．（用线段表示）．
CD P EF
木杆 图13-1
图13-2
A
B
A '
B '
主视图 左视图
俯视图
例5 如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
第五回 反比例函数 【知识要点】
1.反比例函数图像具有哪些性质？
2.学习反比例函数和一次函数的性质后，你是如何解决交点和面积问题的？
3.对于反比例函数应用题是如何建立模型的？与一次函数又有哪些联系和区别
# 例6 已知反比例函数=
(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数=-+的图象不经过．．．
（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 # 例7 如图,一次函数ｙ=ｘ－1与反比例函数ｙ=的图像交于点A (2,1),B (－1,－2),则使ｙ＞ｙ的ｘ的取值范围是（ ） A. ｘ＞2 B. ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0 C. －1＜ｘ＜2 D. ｘ＞2 或ｘ＜－1
例8 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1） 写出从药物释放开始，与之间的两个函 数关系式及相应的自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?
3
y x
a
a y x y a
x a
12x
2
12y t y t t a
y a y t
0.25 3
* 例9 如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上． （1）求m ，k 的值；
（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．
* 例10 已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为（），
点B 的坐标为（－6，0）.
（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O ，请直接写出A 、B 的对称点的坐标；
（2）若将三角形沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数 的图像上，求a 的值；
（3）若三角形绕点O 按逆时针方向旋转度（）. ①当=时点B 恰好落在反比例函数的图像上，求k 的值． ②问点A 、B 能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出的值；若不能，请说明理由.
x
k
y
=
-A B ''A '
B '、
OAB y =OAB α090α<<α30
k
y x
=
α
第六回频率与概率
【知识要点】
1.会用树状图，表格法计算随机事件的概率吗？
2.会用计算机或计算器进行模拟实验，估算一些复杂随机事件的概率吗？
3.会用概率估计总数吗？
# 例11 小明和小颖做掷骰子的游戏，规则如下：
①游戏前，每人选一个数字；②每次同时掷两枚均匀骰子；
③如果同时掷得的两枚骰子点数之和，与谁所选数字相同，那么谁就获胜．
（1）在下表中列出同时掷两枚均匀骰子所有可能出现的结果：
（2
获胜的概率比他们大？请说明理由．
例12 一口袋中装有四根长度分别为1cm，3cm，4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：
（1）求这三根细木棒能构成三角形的概率；
（2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；
（3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．
例13 袋子中装有若干个白球，球的个数大于10个，而没有其他的球，如果不允许将它们倒出来数，那么你如何估计出袋子中的白球数呢？下面给出了几种方法，其中不可能的是（只填序号）
①可以向袋里放入10个黑球，当充分搅拉后，取胜机取出10个球；记下其中白球的个数，如此反复地做很多实验，即可估计出其中的白球数；②从袋子里取出5个球，将其染成黑色后放回袋中搅匀，再从中取出10个球，记录其中黑球的个数，用这种方法也可估计出袋中原有白球的个数；③从袋中取出5个球做上标记，然后放回袋中，按②中介绍方法也可估计出袋中原有白球的个数；④从袋中取出1个球染成黑色，按②中介绍方法，也可估计出原来袋中白球的个数．
* 例14 某城市的电话号码由8位数字组成，每个数字可以是0～9这10个数字中的任一个，计算电话号码由8个不同数字组成的概率。

【大展身手】
一、选择题(每小题4分，共40分)
1. 如图5,是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图,则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
主视图左视图俯视图
A.7个
B.8个
C.9个
D.10个
2. 在生活和生产实践中，我们经常需要运用三视图来描述物体的形状和大小。

小亮在观察左边的热水瓶时，得到的左视图是（）
3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）．
4．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能．．．是（ ）
5．如图(1)是一个小正方体的侧面形展开图，小正方体从图(2)所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是 （ ）
A ．奥
B ．运
C ．圣
D ．火 6．若，两点均在函数的图象上，且，则与的大小关系为（ ）
()A a b ，(2)B a c -，1
y x
=0a <b c
主
视图
左视图
俯
视图
A ．
B ．
C ．
D ．
A ．
B ．
C ．
D ．无法判断
7．函数的图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确
的是（ ）
A ．该函数的图象是中心对称图形;
B ．当时，该函数在时取得最小值2;
C ．在每个象限内，的值随值的增大而减小;
D ．的值不可能为1.
8．某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是………【 】 A ．
B.
C.
D ．
9．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 10．6张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形、圆．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（每小题4分，共20分） 11．函数，当时没有意义，则的值为． 12．如图，在平面直角坐标系中，函数（，常数）的图象经过点，，（），过点作轴的垂线，
垂足为．若的面积为2，则点的坐标为．
13．对于平面内任意一个凸四边形ABCD ，现从以下四个关系式①AB=CD ；
②AD=BC ；③AB ∥CD ；④∠A=∠C 中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD 是平行四边形的概率是
14．东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm ，东东的身高是156cm ，在同一时刻爸爸
b c >b c <b c =1
y x x =+
0x >1x =y x y 1
6
15
14
13
1525310710
6
1
3
12
1
3
21
y x a
=
-2x =a k
y x
=
0x >0k >(12)A ，()B m n ，1m >B y C ABC △B
n )
的影长是88cm ，那么东东的影长是cm.
15．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 （填 “相同”、“不一定相同”、“不相同”之一）． 三、解答计算题（每小题10分，共40分） 16．如图，是某几何体的展开图． （1）这个几何体的名称是； （2）画出这个几何体的三视图； （3）求这个几何体的体积．（取3.14）
17．在箱子中装有十张卡片，分别写着从1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x,然后放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y, 试求（1）x+y 是10的倍数的概率；（2）是3的倍数的概率。

18．为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（mg ）与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg ．据以上信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时与的函数关系式; （2）求药物燃烧后与的函数关系式;
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？
πy x ∙y x y x y x y x
19．如图，帆船和帆船在太湖湖面上训练，为湖面上的一个定点，教练船静候于点．训练时要求两船始终关于点对称．以为原点，建立如图所示的坐标系，轴，
轴的正方向分别表示正东、正北方向．设两船可近似看成在双曲线上运动．湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的船，此时教练船测得船在东南方向上，船测得与
的夹角为，船也同时测得船的位置（假设船位置不再改变，三船
可分别用三点表示）．
（1）发现船时，三船所在位置的坐标分别为和；
（2）发现船，三船立即停止训练，并分别从三点出发船沿最短路线同时．．前往救援，设两船的速度相等，教练船与船的速度之比为，问教练船是否最先赶到？请说明理由．
A B O O A B ，O O x y A B ，4
y x
=
A B ，y x =C C 45
A AC A
B 60 B
C C A B C ，，A B C ，，C A B C ，，(______)(______)A B ，，，(______)C ，C A O B ，，A B ，A 3:4
(百米)。