27.2.3切线长定理和内切圆同步练习含答案解析华师大版九年级下课时作业试卷

27.2.3切线长定理和内切圆同步练习
一．选择题（共16小题）
1．如图，P A，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（）
A．54°B．72°C．108°D．144°
2．如图，AB是⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且AO＝CD，则∠PCA＝（）
A．30°B．60°C．67.5°D．45°
3．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AC＝5，BD＝3，则AB 的长是（）
A．2B．4C．6D．8
4．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝15°，BC是⊙O的切线，点B为切点，OD的延长线交BC于点C，若BC的长为2，则DC的长是（）
A．1B．4﹣2C．2D．4﹣4
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过点D的切线PD 与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）
A．45°B．40°C．35°D．30°
6．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（）A．4B．3C．2D．1
7．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）
A．2B．2C．D．2
8．下列说法中正确的是（）
A．圆的切线垂直于半径
B．平分弦的直径一定垂直于弦
C．长度相等的弧是等弧
D．等弧所对的圆周角相等
9．三角形的内心是（）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
10．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则圆心O到直线l的距离是（）A．5B．2.5C．3D．10
11．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（）
A．28°B．30°C．31°D．32°
12．如图，P A是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B 的度数为（）
A．20°B．25°C．40°D．50°
13．如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）
A．2B．3C．4D．5
14．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
15．如图，AD、AE和BC分别切⊙O于点D、E、F，如果AD＝18，则△ABC的周长为（）
A．18B．27C．36D．54
16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．若∠DCA＝55°，则∠CAO的度数为（）
A．25°B．35°C．45°D．55°
二．填空题（共17小题）
17．△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于点D，若BC＝12cm，则⊙A 的半径为cm．
18．已知三角形的三边长度分别为5，12，13，则它的内切圆的半径r＝．
19．如图，过圆外一点P作⊙O的切线PC，切点为B，连结OP交圆于点A．若AP＝OA ＝1，则该切线长为．
20．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠C＝28°，那么∠A的度数为．
21．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB
＝30°，则∠D＝度．
22．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A＝30°，则∠C的大小是．
23．已知⊙O的直径是4，直线l与⊙O相切，则点O到直线l的距离为．
24．如图，P A，PB分别切半径为2的⊙O于A，B两点，BC为直径，若∠P＝60°，则PB 的长为．
25．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BCD＝25°，∠ABC＝°．
26．如图，直线AB与⊙O相切与点A，⊙O的半径为2，若∠OBA＝30°，则AB的长为．
27．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为．
28．如图，AB是半圆的直径，BC⊥AB，过点C作半圆的切线，切点为D，射线CD交BA 的延长线于点E，若CD＝ED，AB＝4，则EA＝．
29．如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，则可裁圆形木料的最大半径为．
30．如图，四边形ABCD外切于圆，AB＝16，CD＝10，则四边形的周长是．
31．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝4，AC＝3，则BD的长为
32．如图，P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，交P A、PB于点C、D，若△PCD
的周长是20，则P A的长是
33．等腰直角三角形的直角边长为2，其内切圆的半径为．
三．解答题（共14小题）
34．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D＝30°，求∠A的度数．
35．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝2．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求AD•OC的值；
（3）若AD+OC＝9，求CD的长．
36．如图所示，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD＝40°，求∠CBA 的度数．
37．如图，AB、CD与半圆O切于A、D，BC切⊙O于点E，若AB＝4，CD＝9，求⊙O的
半径．（两种方法）
38．已知：P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，P A＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
39．如图，⊙O分别切P A、PB、CE于A、B、D三点，若△PCE的周长为18cm，求AP的长．
40．已知：如图，AB，AC是⊙O的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作⊙O的切线与AB，AC分别交于点D，E．
（1）连接OD和OE，若∠A＝50°，则∠DOE＝°；
（2）当点P在的何处时，PD＝PE？为什么？
41．如图，CD是⊙O的切线，切点为E，AC、BD分别与⊙O相切于点A、B．如果CD＝6，
AC＝4，求DB的长．
42．如图，AC切半圆O于点A，弦AD交OC于点P，CA＝CP，连结OD （1）求证：OD⊥OC．
（2）若OA＝3，AC＝4，求线段AP的长．
43．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A．（Ⅰ）求∠D的度数；
（Ⅱ）若⊙O的半径为m，求BD的长．
44．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝4．以AB为直径画⊙O，交边AC于点D．弧AD的长为，求证：BC是⊙O的切线．
45．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝4∠A．（1）求∠D的度数；
（2）若CD＝2，求BD的长．
46．已知：如图，∠C＝90°，内切圆O分别与BC、AC相切于点D、E，判断四边形ODCE 的形状，并说明理由．
47．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，求证：DE 是⊙O的切线．
27.2.3切线长定理和内切圆同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．如图，P A，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（）
A．54°B．72°C．108°D．144°
【解答】解：如图所示，连接OA、OB．
∵P A、PB都为圆O的切线，
∴∠P AO＝∠PBO＝90°．
∵∠P＝36°，
∴∠AOB＝144°．
∴∠C＝∠AOB＝＝72°．
故选：B．
2．如图，AB是⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且AO＝CD，则∠PCA＝（）
A．30°B．60°C．67.5°D．45°
【解答】解：∵PD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵AO＝CD，
∴OC＝DC，
∴∠COD＝∠D＝45°，
∵AO＝CO，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∴∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：C．
3．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AC＝5，BD＝3，则AB 的长是（）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：∵AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．
∴AP＝AC，BD＝BP，
∴AB＝AP+BP＝AC+BD，
∵AC＝5，BD＝3，
∴AB＝5+3＝8．
故选：D．
4．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝15°，BC是⊙O的切线，点B为切点，OD的延长线交BC于点C，若BC的长为2，则DC的长是（）
A．1B．4﹣2C．2D．4﹣4
【解答】解：∵BC是⊙O的切线，点B为切点，
∴OB⊥BC，
∵∠A＝15°，
∴∠BOC＝2∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴OC＝2BC＝4，OB＝OD＝2，
∴DC＝OC﹣OD＝4﹣2．
故选：B．
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过点D的切线PD 与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）
A．45°B．40°C．35°D．30°
【解答】解：连接OD，如图，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝60°，
∵PD为切线，
∴OD⊥PD，
∴∠ODP＝90°，
∴∠ADP＝90°﹣60°＝30°．
故选：D．
6．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（）A．4B．3C．2D．1
【解答】解：设这个三角形的内切圆半径是r，
∵三角形周长为12，面积为6，
∴×12r＝6，
解得r＝1．
故选：D．
7．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）
A．2B．2C．D．2
【解答】解：如图：连接OP，AO
∵AB是⊙O切线
∴OP⊥AB，
∴AP＝PB＝AB
在Rt△APO中，AP＝＝
∴AB＝2
故选：A．
8．下列说法中正确的是（）
A．圆的切线垂直于半径
B．平分弦的直径一定垂直于弦
C．长度相等的弧是等弧
D．等弧所对的圆周角相等
【解答】解：A、圆的切线垂直于过切点的半径，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、能够完全重合的弧叫等弧，所以C选项错误；
D、等弧所对的圆周角相等，所以D选项正确．
故选：D．
9．三角形的内心是（）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
【解答】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点，
故选：D．
10．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则圆心O到直线l的距离是（）A．5B．2.5C．3D．10
【解答】解：∵直线l是⊙O的切线，
∴圆心O到直线l的距离等于圆的半径，
即圆心O到直线l的距离为5
故选：A．
11．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（）
A．28°B．30°C．31°D．32°
【解答】解：连接OB，如图，
∵AB为切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣28°＝62°，
∴∠ACB＝∠AOB＝31°．
故选：C．
12．如图，P A是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B 的度数为（）
A．20°B．25°C．40°D．50°
【解答】解：连接OA，如图，
∵P A是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠P AO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOP＝∠B+∠OAB，
∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．
故选：B．
13．如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：连接OA，OB，OP，
∵P A，PB分别切圆O于A，B两点，
∴OA⊥P A，OB⊥PB，
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），
∴PB＝P A＝3，
故选：B．
14．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【解答】解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠DBC＝70°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠ODA＝∠BDC＝70°，
∴∠OCB＝40°，
故选：C．
15．如图，AD、AE和BC分别切⊙O于点D、E、F，如果AD＝18，则△ABC的周长为（）
A．18B．27C．36D．54
【解答】解：据切线长定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF；
则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BE+AC+CD＝2AD＝36
故选：C．
16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．若∠DCA＝55°，则∠CAO的度数为（）
A．25°B．35°C．45°D．55°
【解答】解：如图，连接OC，
∵DC是⊙O切线
∴OC⊥CD，
∴∠DCA+∠ACO＝90°，且∠DCA＝55°，
∴∠ACO＝35°
∵AO＝CO
∴∠CAO＝∠ACO＝35°
故选：B．
二．填空题（共17小题）
17．△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于点D，若BC＝12cm，则⊙A 的半径为6cm．
【解答】解：如图，连接AD，
则AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝AD＝BC＝6，
故答案为：6．
18．已知三角形的三边长度分别为5，12，13，则它的内切圆的半径r＝2．【解答】解：∵AC2+BC2＝25+144＝169，AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
△ABC的内切圆与AC交于点E，与CB交于点Q，连接OE、OQ，
∵圆O是三角形ABC的内切圆，
∴AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝∠C＝90°，OE＝OQ，
∴四边形OECQ是正方形，
∴设OE＝CE＝CQ＝OQ＝a，
∵AF+BF＝13，
∴12﹣a+5﹣a＝13，
∴a＝2．
故答案为：2．
19．如图，过圆外一点P作⊙O的切线PC，切点为B，连结OP交圆于点A．若AP＝OA ＝1，则该切线长为．
【解答】解：∵OA、OB都是半径，
∴OB＝OA＝AP＝1
又∵PC与⊙O相切于B点
∴OB⊥PB
于是在Rt△PBO中，OB＝1，OP＝2
∴PB＝＝
故答案为：．
20．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠C＝28°，那么∠A的度数为34°．
【解答】解：如图，连接OB，
∵边AB与⊙O相切，切点为B，
∴∠OBA＝90°，
∵∠C＝28°，
∴∠AOB＝2∠C＝56°，
∴∠A＝90°﹣56°＝34°．
故答案为：34°．
21．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB ＝30°，则∠D＝30度．
【解答】解：连接OC，如图，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAB＝30°，
∴∠COD＝∠ACO+∠CAB＝60°，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°．
故答案为30．
22．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A＝30°，则∠C的大小是30°．
【解答】解：连结OB，如图，
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵∠AOB＝∠C+∠OBC，
而∠C＝∠OBC，
∴∠C＝AOB＝30°．
故答案为：30°．
23．已知⊙O的直径是4，直线l与⊙O相切，则点O到直线l的距离为2．【解答】解：∵⊙O的直径是4，
∴⊙O的半径是2，
∵经过⊙O上一点的直线L与⊙O相切，
∴点O到直线L的距离等于圆的半径，是2．
故答案为：2．
24．如图，P A，PB分别切半径为2的⊙O于A，B两点，BC为直径，若∠P＝60°，则PB 的长为2．
【解答】解：如图所示：连接AC，
∵P A，PB是切线，
∴P A＝PB．
又∵∠P＝60°，
∴AB＝PB，∠ABP＝60°，
又CB⊥PB，
∴∠ABC＝30°．
∵BC是直径，BC＝4，
∴∠BAC＝90°．
∴AB＝BC•cos30°＝4×＝2．
∴PB＝2；
故答案为：2．
25．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BCD＝25°，∠ABC＝65°．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＝90°﹣∠BCD＝90°﹣25°＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°．
故答案为：65．
26．如图，直线AB与⊙O相切与点A，⊙O的半径为2，若∠OBA＝30°，则AB的长为2．
【解答】解：∵AB为切线，
∴∠OAB＝90°，
∵∠OBA＝30°，OA＝2，
∴AB＝＝＝2，
故答案为：2．
27．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为64°．
【解答】解：连接CO，
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠BCD＝26°，
∴∠OCB＝90°﹣26°＝64°，
∵CO＝BO，
∴∠ABC＝∠OCB＝64°．
故答案为：64°．
28．如图，AB是半圆的直径，BC⊥AB，过点C作半圆的切线，切点为D，射线CD交BA 的延长线于点E，若CD＝ED，AB＝4，则EA＝2．
【解答】解：连接OD，
∵AB是半⊙O的直径，CB⊥AB，
∴CB是⊙O的切线，
∵CD切半⊙O于点D，
∴CD＝CB，
∵CD＝ED，
∴CE＝2BC，
∴∠E＝30°，
∵CD切半⊙O于点D，
∴∠ODE＝90°，
∴OE＝2OD，
∵AB＝4，
∴OA＝OD＝2，
∴OE＝4，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
故答案为：2．
29．如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，则可裁圆形木料的最大半径为1．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∴圆形木料的最大半径＝＝1，
故答案为：1．
30．如图，四边形ABCD外切于圆，AB＝16，CD＝10，则四边形的周长是52．
【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长＝2（16+10）＝52．
故答案为：52．
31．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝4，AC＝3，则BD的长为1
【解答】解：∵AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，
∴P A＝AC＝3，PB＝BD，
∵PB＝AB﹣P A，
∴PB＝4﹣3＝1，
∴BD＝1，
故答案为1．
32．如图，P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，交P A、PB于点C、D，若△PCD 的周长是20，则P A的长是10
【解答】解：∵P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴P A＝PB，CA＝CE，DB＝DE，
∵P A+PB＝PC+CA+P A+DB＝PC+CE+AD+DE＝AC+CD+AD＝△PCD的周长，
∴2P A＝20，
∴P A＝10
故答案为10．
33．等腰直角三角形的直角边长为2，其内切圆的半径为2．
【解答】解：∵等腰直角三角形的直角边长为2，
∴等腰直角三角形的斜边长为2，
所以它的内切圆的半径＝＝2﹣．
故答案为2﹣．
三．解答题（共14小题）
34．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D＝30°，求∠A的度数．
【解答】解：连结OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
而∠D＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COD＝∠A+∠ACO＝2∠A，
∴∠A＝×60°＝30°．
35．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝2．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求AD•OC的值；
（3）若AD+OC＝9，求CD的长．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠B＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3＝∠1＝∠4，
∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC＝90°，又∵CD过半径OD的外端点D，∴DC是⊙O的切线；（4分）
（2）连接BD，
∵OC∥AD∴∠1＝∠3＝∠2，
又∠ADB＝∠ODC＝90°，
∴△ADB∽△ODC，
，
AD•OC＝OD•AB＝8；（8分）
（3）∵AD•OC＝8，AD+OC＝9，
∴AD＝1，OC＝8或AD＝8，OC＝1（不合题意，舍去），
∴．（12分）
36．如图所示，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD＝40°，求∠CBA 的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＝90°﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠CBA＝∠OCB＝50°．
37．如图，AB、CD与半圆O切于A、D，BC切⊙O于点E，若AB＝4，CD＝9，求⊙O的半径．（两种方法）
【解答】解：方法一：过B作BF⊥CD于F；
∵AB、CD与半圆O切于A、D，
∴∠BAD＝∠CDA＝∠BFD＝90°，
∴四边形ADFB为矩形，
∴AB＝DF，BF＝AD，
∵AB＝BE＝4，CD＝CE＝9；
∴BC＝BE+CE＝13；
∵AB、CD与半圆O相切，
∴四边形ADFB为矩形；
∴CF＝CD﹣FD＝9﹣4＝5（cm）；
在Rt△BFC中，BF＝＝＝12，
∴AD＝BF＝12，
∴⊙O的半径为6．
．方法二：连接OB、OE、OC．
∵AB、BC是切线，
∴∠OAB＝∠OEB＝90°，
∵OB＝OB，OA＝OE，
∴△OBA≌△OBE，
∴∠AOB＝∠EOB，同理可证∠COE＝∠COD，
∴∠BOC＝90°，
∵CD是切线，
∴∠CDO＝∠OAB＝90°，
∵∠AOB+∠COD＝90°，∠COD+∠OCD＝90°，
∴∠AOB＝∠OCD，
∴△AOB∽△DCO，
∴＝，
∵OA＝OD，
∴OA2＝36，
∴OA＝6，
∴AD＝12，
∴⊙O的半径为6．
38．已知：P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，P A＝6．求：（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵P A、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴P A＝PB＝6，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2P A＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥P A，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．
39．如图，⊙O分别切P A、PB、CE于A、B、D三点，若△PCE的周长为18cm，求AP的长．
【解答】解：∵P A、PB切⊙O于A、B，
∴P A＝PB；
同理，可得：DC＝CA，DE＝EB；
∴△PEC的周长＝PC+CD+DE+EP＝PC+AC+PE+EB＝AP+PB＝2AP＝18cm．
则AP＝9cm．
40．已知：如图，AB，AC是⊙O的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作⊙O的切线与AB，AC分别交于点D，E．
（1）连接OD和OE，若∠A＝50°，则∠DOE＝65°；
（2）当点P在的何处时，PD＝PE？为什么？
【解答】解：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，
∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB＝DP，EP＝EC，AB＝AC，
∴∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB＝DP，
∴OD平分∠BOP，
同理得：OE平分∠POC，
∴∠DOE＝∠DOP+∠EOP＝（∠BOP+∠POC）＝∠BOC＝65°；
（2）当点P在的中点时，PD＝PE，
∵P在的中点，
∴∠BOD＝∠COE，
∴△BOD≌△COE，
∴OD＝OE，又∠POD＝∠POE，
∴PD＝PE．
41．如图，CD是⊙O的切线，切点为E，AC、BD分别与⊙O相切于点A、B．如果CD＝6，AC＝4，求DB的长．
【解答】解：∵CD切⊙O点E，AC切切⊙O点A．
∴CE＝AC＝4，
∴ED＝CD﹣CE＝2，
∵CD切⊙O点E，BD切⊙O点B．
∴BD＝ED＝2．
42．如图，AC切半圆O于点A，弦AD交OC于点P，CA＝CP，连结OD （1）求证：OD⊥OC．
（2）若OA＝3，AC＝4，求线段AP的长．
【解答】解：（1）∵AC切半圆O于点A，
∴OA⊥AC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D，
∵AC＝CP，
∴∠CAP＝∠CP A＝∠OPD，
∵∠CAP+∠P AO＝∠OPD+∠D＝90°，
∴∠POD＝90°，即OD⊥OC．
（2）如图，作OM⊥AD于M，
∵AC＝4，OA＝3，
∴OC＝5，
∵CA＝CP＝4，
∴OP＝1，
∵OD＝OA＝3，
∴DP＝，
∴OM＝，
∴AM＝DM＝，PM＝，
∴AP＝AM﹣PM＝．
43．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A．（Ⅰ）求∠D的度数；
（Ⅱ）若⊙O的半径为m，求BD的长．
【解答】解：（Ⅰ）∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COD＝∠A+∠ACO＝2∠A，
∵∠D＝2∠A，
∴∠D＝∠COD，
∵PD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝∠COD＝45°．
（Ⅱ）∵∠D＝∠COD＝45°，OC＝OB＝m，
∴CD＝OC＝m，
∴OD＝m，
∴BD＝OD﹣OB＝（﹣1）m．
44．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝4．以AB为直径画⊙O，交边AC于点D．弧AD的长为，求证：BC是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，如图，设∠AOD＝n°，
∵弧AD的长为，
∴弧AD的长为＝π，解得n＝120，
∴∠AOD＝120°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝（180°﹣120°）＝30°，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
45．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝4∠A．（1）求∠D的度数；
（2）若CD＝2，求BD的长．
【解答】解：（1）连接OC，如图，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥DP，
∴∠OCD＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∴∠OCD＝∠A+∠OCA＝2∠A，
∵∠OCD+∠D＝90°，
而∠D＝4∠A．
∴2∠A+4∠A＝90°，解得∠A＝15°，
∴∠D＝4×15°＝60°；
（2）在Rt△OCD中，∠OCD＝30°，
∴OC＝CD＝2，OD＝2CD＝4，
∴BD＝OD﹣OB＝4﹣2．
46．已知：如图，∠C＝90°，内切圆O分别与BC、AC相切于点D、E，判断四边形ODCE 的形状，并说明理由．
【解答】解：四边形ODCE为正方形，理由如下：
∵内切圆O分别与BC、AC相切于点D、E，
∴OE⊥AC，OD⊥BC．
∵∠C＝90°，
∴四边形ODCE为矩形．
又∵OD＝OE，
∴四边形ODCE为正方形．
47．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，求证：DE 是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∵OA＝OB，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．。