《精编》浙江省杭州市西湖高级中学高二数学理10月月考试题新人教A版.doc

西湖高级中学2021-2021学年高二10月月考数学理试题
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕
1．以下说法正确的选项是 ( )
A ．三点确定一个平面
B ．四边形一定是平面图形
C ．梯形一定是平面图形
D ．不重合的平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．函数24)
1ln(1
)(x x x f -++=
的定义域为 〔 〕A ．
]
2,0()0,2[⋃-
B ．]2,0()0,1(⋃-
C ．]2,2[-
D ．]2,1(-
3．设l 是直线,α,β是两个不同的平面 〔 〕
A ．假设l ∥α,l ∥β,那么α∥β
B ．假设l ∥α,l ⊥β,那么α⊥β
C ．假设α⊥β,l ⊥α,那么l ⊥β
D ．假设α⊥β,l ∥α,那么l ⊥β
4．在正方体1111ABCD A BC D -中，以下几种说法正确的选项是〔 〕
A ．11AC AD ⊥
B ．11D
C AB ⊥ C ．1AC 与DC 成45角
D ．11AC 与1BC
成60角 5．某几何体的三视图如以下列图,它的体积为〔 〕 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π
6．如图，一个封闭的立方体，它的六个外表各标有A,B,C,D,E,F
这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，那么字母A,B,C 对面的字母分别为( )
A ．D,E,F
B ．F,D,E
C ．E,F,
D D ．E,D,F
C
B A
A
D C
E
B C
7．在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么〔 〕 A ．点P 必在直线AC 上 B ．点P 必在直线BD 上
C ．点P 必在平面ABC 内
D ．点P 必在平面ABC 外
8．二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于 〔 〕
A ．
3
4
B ．35
C ．
7
7
D ．
37
7
9．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，那么四棱锥B —APQC 的体积为〔 〕
A ．2V
B ．3V
C ．4V
D ．5
V
Q
P C'B'
A'C
B
A
10．正四棱柱1111ABCD A BC D -中
,12,AB CC E ==为1CC 的中点,那么直线1AC
与平面BED 的距离为〔 〕
A ．2 B
．1 二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕
11.直线a //平面α，平面α//平面β，那么a 与β的位置关系为 ▲
12.利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的选项是 ▲
13.一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，那么这个圆柱的全面积是▲_. 14. 假设关于x 的方程0sin cos 2
=+-a x x 有解，那么实数a 的取值范是▲ .
15.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、
N 分别是CD 、1CC 的中点,那么异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是
_ ▲___.
三、解答题〔本大题共5小题，共50分〕
16．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面
ABCD ，E 是PC 的中点。

AB=2，AD=22，PA=2，求： (1)三角形PCD 的面积；
(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小。

17．：a =(2cos x ,sin x ), b =(
3co sx ,2cos x ). 设函数
f (x )=a ⋅b －3.〔x ∈R)
求： 〔1〕f (x )的最小正周期； 〔2〕f (x )的单调增区间； 〔3〕假设x ∈[4
π-
,
4
π
]时，求f (x )的值域。

18．如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=2，
BC=4，AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点。

(1)证明:(i)EF ∥A 1D 1；(ii)BA 1⊥平面B 1C 1EF ； (2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值。

N
A 1A B
C
D
P
E A B
C
D A 1
D 1 C 1
B 1
E
F
19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，0>n b 〔∈n N*〕，
111==b a ，332a b a =+，)(5235b T S +=．
〔Ⅰ〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕求和：
1
322211++++n n n T T b T T b
T T b ．
20．如图，空间四边形ABCD 的对棱AD ，BC 成60°的角，且AD ＝BC ＝a ，平行于AD 与BC 的截面分别交AB ，AC ，CD ，BD 于E 、F 、G 、H ． 〔1〕求证：四边形EFGH 为平行四边形；
〔2〕E 在AB 的何处时截面EFGH 的面积最大?最大面积是多少?
杭西高10月考高二数学试卷〔理科〕
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕
5．某
几何体的三视图如以下列图,它的体积为〔 C 〕
A ．12π
B ．45π
C ．57π
D ．81π
6．如图，一个封闭的立方体，它的六个外表各标有A,B,C,D,E,F
这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，那么字母A,B,C 对面的字母分别为( D )
A ．D,E,F
B ．F,D,E
C ．E,F,
D D ．E,D,F
C
B A
A
D C
E
B C
7．在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么〔 A 〕 A ．点P 必在直线AC 上 B ．点P 必在直线BD 上
C ．点P 必在平面ABC 内
D ．点P 必在平面ABC 外
8．二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于 〔 D 〕
A ．
3
4
B ．35
C ．
7
7
D ．
37
7
9．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，那么四棱锥B —APQC 的体积为〔 B 〕
A ．
2V B ．3V C ．4V D ．5
V 10．正四棱柱1111ABCD A BC D -中,12,22,AB CC E ==为1
CC Q
P
C'
B'
A'C
B
A
的中点,那么直线1AC 与平面BED 的距离为〔 D 〕 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕
15.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、
N 分别是CD 、1CC 的中点,那么异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是_ 90°___.
三、解答题〔本大题共5小题，共50分〕
16．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

AB=2，
AD=22，PA=2，求： (1)三角形PCD 的面积；
(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小。

〔1〕因为PA ⊥底面ABCD ,所以PA ⊥CD ,又AD ⊥CD ,所以CD ⊥平面PAD ,
从而CD ⊥PD 因为PD=32)22(22
2=+,CD =2, 所以三角形PCD 的面积为323222
1=⨯⨯ 〔2〕取PB 中点F ,连接EF 、AF ,那么
EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角 在AEF ∆中,由EF =2、AF =2、AE =2
知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π
.
17．：a =(2cos x ,sin x ), b =(3co sx ,2cos x ). 设函数f (x )=a ⋅b －3.〔x ∈R) 求： 〔1〕f (x )的最小正周期； 〔2〕f (x )的单调增区间； 〔3〕假设x ∈[4
π-
,
4
π
]时，求f (x )的值域。

A
B
C
D P E
1
8．如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=2.AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点. 1)证明:(i)EF ∥A 1D 1；(ii)BA 1⊥平面B 1C 1EF; (2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.
(1)(i)因为1111//C B A D ,11C B ⊄ 平面ADD 1 A 1,所以11//C B 平面ADD 1 A 1. 又因为平面11B C EF
平面ADD 1 A 1=EF ,所以11//C B EF .所以11//A D EF .
(ii)因为11111BB A B C D ⊥,所以111BB B C ⊥, 又因为111BB B A ⊥,所以1111BC ABB A ⊥,
在矩形11ABB A 中,F 是AA 的中点,即1112
tan tan 2
A
B F AA B ∠=∠=即 111A B F AA B ∠=∠,故11BA B F ⊥. 所以1BA ⊥平面11B
C EF .
(2) 设1BA 与1B F 交点为H,连结1C H .
所以
34-=n a n ，12-=n n b ． …8分
〔Ⅱ〕因为)1
1(211
11111++++++-=-==n n n n n n n n n n n n T T T qT T T T qT b T T b ， …10分
所以1
322211++
++n n n T T b T T b T T b )1
11111(2113221+-++-+-=n n T T T T T T )11(2111+-=
n T T )1
21
1(211--=+n ． …14分 20．如图，空间四边形ABCD 的对棱AD ，BC 成60°的角，且AD ＝BC ＝a ，平行于AD 与BC 的截面分别交AB ，AC ，CD ，BD 于E 、F 、G 、H ． 〔1〕求证：四边形EFGH 为平行四边形；
〔2〕E 在AB 的何处时截面EFGH 的面积最大?最大面积是多少?
〔1〕∵BC ∥平面EFGH ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，∴BC
∥EF ，同理BC ∥HC ，∴EF ∥HG ．
同理可证EH ∥FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．
〔2〕∵AD 与BC 成角为60°，∴∠HEF ＝60°〔或120°〕，设AB
AE ＝
x ，∵
BC EF ＝AB AE ＝x ，BC ＝a ，∴EF ＝a x ，由AD EH ＝BA BE ＝11x －，得EH ＝〔1－x 〕a ．∴S 四边形EFGH ＝EF ·EH ·sin60°
28
3a ．。