完备凸度量空间中不动点定理与收敛定理

+ -
bd b
( xn ,
p) .
( 18 )
由 ( 15) ( 16) ( 17) ( 18)得
d ( p, xn + 1 ) ≤
1
-
α n
1-
a +c 1- c
1
-
β n
+
a 1
+ -
bβ
bn
.
·12·
南阳师范学院学报
第 7卷
d ( p, xn ) .
( 19)
当 a, b , c是非负实数 , a + b + c < 1且 a + 2c <
ad ( p, yn ) + c[ d ( Tyn , p) + d ( p, yn ) ].
即
d
(
p,
Tyn
)
≤a 1
+ -
cd c
( p,
yn
).
( 16 )
另一方面 ,
d ( p, yn ) = d [ p, W ( Txn , xn ,βn ) ] ≤
β n
d
( p,
Txn
)
+
(1
-
β n
)
a + a)
,
n ∈N , 则
Π x, y∈Cn ,有 d ( Tx, Ty) ≤ad ( x, y) + bd ( Tx, x) + cd ( Ty, y) ≤
ad (x, Tx) +ad (Tx, Ty) +ad (Ty, y) +bd (Tx, x) +cd (Ty, y). 故
(1 -
a) d ( Tx,
移不 变 度 量 d 的 线 性 空 间 并 满 足 性 质:
d (λx + ( 1 - λ) y, 0) ≤λd ( x, 0) + ( 1 - λ) d ( y, 0 ) ,
则 X 是一个凸度量空间. 但存在许多不能嵌入赋
范空间的凸度量空间 [1 ].
定义 2 设 ( X, d)是度量空间 , S, T 是 X 上的
第 7卷第 9期 2 0 0 8年 9月
南阳师范学院学报 Journal of Nanyang Normal University
Vol. 7 No19 Sep. 2008
完备凸度量空间中不动点定理与收敛定理
刘才贵
(淮海工学院 东港学院基础部 ,江苏 连云港 222000)
摘 要 :在凸度量空间中 ,证明了非空闭凸子集 C上的自映射 T,在满足某种条件下不动点的存在性 ;同时研究了 Ish2 ikawa迭代序列 { xn }在一定条件下收敛到映射 T的不动点问题 ,文中的结果推广了相关作者的许多重要结果.
-
δα k
)
·d ( p,
x0 ) .
( 20)
k =0
∞
∑ 由于 0 <δ< 1,αn ∈[ 0, 1 ]以及
α n
= ∞ ,因
n =1
此 ,有
n
∏ lim
n→∞ k =0
(1
-
δα k
)
= 0.
依据 ( 20) ,得
lim d
n→∞
( p,
xn + 1
)
= 0.
即序列 { xn }收敛到 T的唯一不动点 p.
1 { ad ( z, T2 x) + bd ( Tz, z) + cd ( T3 x, T2 x) }. 2
(7) 由 ( 5) ( 6)及 ( 7)可得 d ( Tz, z) ≤λd ( Tx, x) ,其中 λ = a2 + 3a + 4c∈ ( 0. 1) .
4 (1 - b)
(8)
令 u = inf{ d ( Tx, x) : x ∈C } , 则 u = 0. 否则 , 假
因此 , d ( Tn x, Tn - 1 x) ≤d ( Tn - 1 x, Tn - 2 x) ≤…≤d ( Tx, x) .
(3) 由 ( 3)可得 d ( T3 x, Tx) ≤ad ( T2 x, x) + bd ( T3 x, T2 x) + cd ( Tx, x) ≤ ad ( T2 x, Tx) + ad ( Tx, x) + bd ( T3 x, T2 x) + cd ( Tx, x) ≤
α n
= ∞, 则
n =1
序列 { xn }收敛到 T的不动点 p.
证明 ( Ⅰ) Π x∈C,有
收稿日期 : 2008 - 04 - 25 作者简介 :刘才贵 (1962 - ) ,江苏连云港人 ,讲师 ,主要从事泛函分析研究 。
第 9期
刘才贵 :完备凸度量空间中不动点定理与收敛定理
·11·
定义 3 设 ( X, d )是一个具有凸结构 W 的凸
度量空间 , C 是 X 的一个非空闭凸子集 , T是 C 上
的自映射 ,由 T生成的 Ishikawa迭代序列 { xn }定义 为
x0 ∈C ( IS) yn =W ( Txn , xn ,βn ) n≥0, 0≤αn ,βn ≤1.
xn + 1 =W ( Tyn , xn ,αn ) 注 1 称下列迭代序列为 M ann迭代
2
d ( z, T2 x) ≤ 1 d ( T3 x, T2 x) ≤ 1 d ( Tx, x) , ( 6)
2
2
d ( Tz, z) ≤ 1 d ( Tz, T2 x) + 1 d ( Tz, T3 x) ≤
2
2
1 { ad ( z, Tx) + bd ( Tz, z) + cd ( T2 x, Tx) } + 2
( 1 - λ) d ( z, y) , Π z∈X
(1)
具有凸结构 W 的度量空间 ( X, d, W ) 称为凸度量
空间.
显然 ,赋范线性空间及其凸子集均是凸度量空
间. Banach空间上的凸结构 W 可选为 W ( x, y,λ)
=λx + ( 1 - λ) y. 更一般地 , 如果 X 是一个赋以平
设
u > 0, 由
u的定义可知 ,
Πε∈ ( 0,
(
1
- λ) λ
u
)
,
ϖ x∈C,使得 d ( Tx, x) < u +ε. 由 ( 8)式得 d ( Tz, z) ≤λd ( Tx, x) <λ( u +ε) < u.
这便导致矛盾 ,故 u = 0.
令 Cn =
x:
d
( Tx,
x)
≤ 13n (1
将前期的结果推广到 Ishikawa 迭代序列的情形.
Gregus[ 6 ]在 B anach空间中研究了在一定条件下映
像 T的不动点问题. 最近 ,许多文章将 Gregus的结
果拓广到更为一般的可度量化空间中 [ 7 - 8 ].
本文在完备的凸度量空间中研究映像 T 的两
个问题 : ( Ⅰ)不动点的存在性 ; ( Ⅱ)迭代序列收敛
1时 ,容易证明
1-
a +c 1- c
1
-
β n
+
a 1
+ -
bβ
bn
≥δ,
其中 ,δ=m in
1-
( a + b) (1 - b)
(a (1
+ -
c) c)
,
1
-a 1-
- 2c c
∈(0, 1).
根据 ( 19) ,我们有
d ( p, xn +1 )
≤
(1
-
δα n
)
d
( p,
xn
)
≤
n
∏( 1
到映像 T的不动点. 文中的结果推广并统一了相
关作者的重要结论.
定义 1[1 ] 设 ( X, d ) 是 一 个 度 量 空 间 , I =
பைடு நூலகம்
[ 0, 1 ],称连续映射 W : X ×X ×I→X 为 X 上的凸结
构 ,如果 Π x, y∈X,λ∈I,有
d [ z, W ( x, y,λ) ] ≤λd ( z, x) +
自映像 ,
T称为非扩张映像 , 如果 d ( Tx, Ty) ≤d ( x, y)
Π x, y∈X;
T称为拟非扩张映像 , 如果 Π p ∈ F ( T ) 有
d ( Tx, p) ≤d ( x, p) Π x∈X;
这里 F ( T ) 表示映像 T 的不动点集 , 即 F ( T ) =
{ x: Tx = x, x∈X }.
bd ( Tx, x) + cd ( Ty, y) ,其中 a, b , c是非负实数.
( Ⅰ)若 0 < a < 1, a + b + c = 1, 则映射 T 在 C
上有唯一的不动点 p;
( Ⅱ)若 a + b + c < 1, a + 2c < 1, 且 T 生成的
∞
∑ Ishikawa迭代序列 { xn }满足条件 :
(M S)
x0 ∈C xn + 1 =W
( Txn ,
xn ,αn
)
n ≥0,
0 ≤αn
≤1.
2 主要结果
定理 设 ( X, d)是一个具有凸结构 W 的完备
凸度量空间 , C 是 X 的一个非空闭凸子集 , T 是 C
上的自映射且满足条件 d ( Tx, Ty ) ≤ ad ( x, y ) +
关键词 :凸度量空间 ; Ishikawa迭代序列 ;不动点 中图分类号 : O 177. 91 文献标识码 : A 文章编号 : 1671 - 6132 (2008) 09 - 0010 - 03
1 引言与预备知识
1970年 , Takahashi[ 1 ] 在度量空间中引入凸结
构并研究了在此框架下的非扩张映像不动点理论.
d ( Tn x, Tn - 1 x) ≤ad ( Tn - 1 x, Tn - 2 x) + b ( Tn - 1 x, Tn x) + c ( Tn - 2 x, Tn - 1 x) .
由 a + b + c = 1,可得 d ( Tn x, Tn - 1 x) ≤d ( Tn - 1 x, Tn - 2 x) , n≥2. ( 2)
( a + 1) d ( Tx, x) .
(4)
设 x∈C,令 z = 1 T2 x + 1 T3 x, 由于 C 是凸集
2
2
及 T是 C上的自映射 ,故 z∈C.
由 ( 3)与 ( 4)可得
d ( z, Tx) ≤ 1 d ( T2 x, Tx) + 1 d ( T3 x, Tx) , ( 5)
2
故
diam ( T ( Cn ) ) < 1 / n.
由 Cn 的定义可知
Cn + 1 < Cn , T ( Cn + 1 ) < T ( Cn ) , 由 ( 3)可得
( 12 )
T ( Cn ) < Cn.
( 13 )
设 y∈T ( Cn ) , 则 Πε > 0, 由 ( 13 ) 可得 ϖ y′∈ Cn ,使得 d ( y, Ty′) <ε.
Ty)
≤(2a
+
b
+
c)
3n
1(1
a + a)
= 13-na.
(9)
由 ( 9)可知 d ( Tx, Ty) < 1 / n,
( 10)
d ( x, y) ≤d ( x, Tx) + d ( Tx, Ty) + d ( Ty, y) ≤
2 (1 - a) 3n (1 + a)
+1 3n
<
1. n
( 11 )
由 ( 10) ( 11)得
diam ( Cn ) < 1 / n, diam ( T ( Cn ) ) < 1 / n.
这里 diam ( Cn )表示 ( Cn )的直径.
由 diam ( T ( Cn ) ) = diam ( T ( Cn ) ) , 这里 T ( Cn )
表示 T ( Cn )的闭包 ,
下面证明 ( Ⅱ).
由 ( IS) ,我们有
d ( p, xn + 1 ) = d [ p, W ( Tyn , xn ,αn ) ] ≤
α n
d
( p,
Tyn
)
+
(1
-
α n
)
d
( p,
xn
).
( 15 )
令 x = p, y = yn 得
d ( p, Tyn ) ≤ad ( p, yn ) + bd ( Tp, p) + cd ( yn , Tyn ) ≤
cd ( Ty, y) ,
故
d
(
y,
Ty)
≤1 1
+ -
aε +
c
13n (1
a + a)
.
由 ε的任意性 ,可得
d
(
y,
Ty)
≤ 13n (1
a + a)
.
( 14 )
由 ( 14)可知 y∈Cn ,即 T ( Cn ) < Cn.
故
lim
n→∞
d iam
T
( Cn
)
= 0.
依据 ( 12)可得 :存在唯一的 p,使得 Tp = p.
d
(
p,
xn
).
( 17 )
令 y = p, x = xn 得
d ( Txn , p) ≤ad ( xn , p) + bd ( Txn , xn ) + cd ( Tp, p) ≤
ad ( xn , p) + b[ d ( Txn , p) + d ( p, xn ) ].
即
ρ(
Txn ,
p)
≤a 1
d ( y, Ty) ≤d ( y, Ty′) + d ( Ty′, Ty) ≤
d ( y, Ty′) + ad ( y′, y) + bd ( Ty′, y′) + cd ( Ty, y) ≤
d ( y, Ty′) + ad ( y′, Ty′) + ad ( Ty′, y) + bd ( Ty′, y′) +
随后 , Kirk[ 2 ]与 Goebal[ 3 ]研究了凸度量空间中的迭
代问题. 1973年 , Petryshn和 W illianson[ 4 ]在 B anach
空间中给出了 M ann 迭代收敛到拟非扩张映像不
动点的充分必要条件. 1997年 , Gho sh和 Dehnath[ 5 ]