平面向量总复习
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规定如下：
r
r
1 a a
二、实数与向量的积
r
（2）当 当
00时时，，aar
的方向与 的方向与
a a
的方向相同； 的方向相反。
r
注意：（1） a仍是向量；
rr
rr
（2）a 0的条件是 0或a 0；
r
r
（3） a几何意义：表示向量a的有向线段伸长或压缩；
rrr a xi y j（x，y）
OA （x，y）
y
r
a
y r A (x,y)
ra
jr Oi
x
x
一、向量的有关概念
r 3.零向量起：始点重合的向量叫零向量，记作： 0
注意：零向量的方向是任意的
4.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量
r
r
uur
注意：向量a的单位向量为a0 =
a r
（4）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
四、平面向量的数量积
（2）平面向量的数量积：
已知两个向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos a b cos a,b
④
r r
若 a b 0，则a =0或 b 0
rr rr r r ⑤ 若a b c b,则a c
rr r
⑥
ab r2 a
br a
⑦
rr (a b)2
r2 r2 a b
六、向量平行的判定(共线向量的判定)
（1）ra //rb b a（a 0） 向r 量表示 r
1 3
uur (PA
uur
uur PB
uur
uuur PC )
uuur
G为ABC的重心 r
特别的若PA PB PC 0 P为ABC的重心
uur uur uur uuur uuur uur
③若 PA PB PB PC PC PA P为ABC的垂心
四、平面向量的数量积
练习:（1）△ABC中，|
AB
|
3,|
AC
|
4,|
BC
|
5
，则
uuur AB
uuur BC
__________
（2）已知
r a
(1,
1
),
r b
(0,
1
),
r c
r a
r kb,
ur d
r a
br ,向量cr与dur的夹角为
,
则k等于___2_
② a是平面内的任一向量，且有序实数对（a1，a2 ）是唯一 确定；
③ 平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底.
r
r
r
r
练习：（1）若 a (1,1),b (1,1),c (1,2) ，则 c _________
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
ur
ur
A. e1 (0,0),e2 (1,2)
（2）b / /a x1y2 x2 y1 0，其中a （x1，y1），b （x2，y2）
坐标表示
七、向量垂直的判定
（1） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1x2 y1 y2 0 坐标表示
八、向量中一些常用的结论
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
uuur uuur
④ 向量( uAuBur uAuCur )( 0)所在直线经过ABC的内心
| AB | | AC |
典型例题分析:
例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e1－3e2 a与b是否共线。
解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。
，如果
r a 与b
的夹角为锐角，
则 的取值范围是______
r
r
rr
(2)已知a (cos x,sin x),b (cos y,sin y),向量a与b之间有关系式
rr
rr
rr rr
ka b 3 a kb ,其中k 0，试用k表示a b并求a b的最小值
五、向量的运算
必修四平面向量总复习知识网络单位向量及零向量平行向量和共线向量平行与垂直的条件向量向量有关概念向量的运算基本应用向量的定义相等向量向量的加法向量的减法实数和向量的积向量的数量积求长度求角度一向量的有关概念向量的概念
必修四 平面向量
总复习
知识网络
向量
向量有关概念 向量的定义 单位向量及零向量
相等向量
向量的运算 向量的加法
基本应用 平行与垂直的条件
向量的减法
求长度
实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积
一、向量的有关概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量
注意：向量是自由向量
B
2.向量的表示
uuur r
A
①字母表示：AB或a
注意：向量常用有向线段来表示，但不能说向量就是有向线段。
②坐标表示：
注意：①零向量与任意向量的数量积为0，即 0 a 0 ．
②︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影，它是个实数， 但不一定大于零.
③数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上 正投影的数量|b|cos的乘积；等于b的长度与a在b方向上正 投影的数量a|cos的乘积。
④两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符 号所决定；而数乘向量是一个向量。
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ ∴λ=-1
k=-λ k=-1 ∴k=-1
例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)， 用a、b表示c。
（4）实数与向量可以求积，但不可进行加减运算。
三、平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一 平 面 内 的 任 一 向 量 a ， 有 且 只 有 一 对 实 数 λ1 ， λ2 ， 使 a=λ1e1+λ2e2．
三、平面向量的基本定理
注意：① e1、e2是两个不共线的向量，零向量不能做基向量；
四、平面向量的数量积
（1）两个向量的夹角：
两个非零向量a
和b
，作
uur OA
r a
，
uuur OB
r b
，
则AOB (0 180 )
O
叫做向量a 和b 的夹角．
注意：（1）0≤〈a ，b〉≤π；
B
b
aA
（2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
（3）〈a ，b〉=0时, a、b同向； 〈a ，b〉=π时，a、b反向； 〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b.
例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____
解：9=9a2+4b2-12a·b
∴a·b=
1 3
又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12
∴|3a+b|=2 3
r 2 ur ur 2 ur ur 2 ur 2 ur uur uur 2
解：∵ a 2e1 e2 2e1 e2 4e1 4e1e 2 e 2
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
uuur uuur
（3）若 AB DC ，则 ABCD 是平行四边形 .
uuur uuur
（4）若 ABCD 是平行四边形 ，则 AB DC .
（5）若
r a
/
rr /b, b
/
r /c
，则
rr a / /c
.
二、实数与向量的积 r
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和方向
r r rr r r (2) || a | | b ||| a b || a | | b |
（3）在△ABC中，①若 A x1, y1 , B x2, y2 ,C x3, y3 ，则其重心坐标为
G
x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
②若
uuur PG
(2)结合律：
r a
r b
r c
rr ab
r c
rrr r rr abc a bc
r r r r r r
a b a b a b
（3）分配律：
r a
r a
r
a
rr r r
a b a b
rr
向量的夹角 cos ra br
x1x2 y1 y2
| a || b | x12 y12 x22 y22
五、向量的运算 a a
（三）向量的运算律：
（1）交换律：
r a
r b
r b
r a
r
r
a a
rr rr ab ba
2
4
(3)已知 | a | 3,| b | 5,且 a b 12，则向量 a 在向量 b（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b
同向时，a
·b
=|
a
|
·|
b
|，特别地ar 2
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共
线。
四、平面向量的数量积
rr
（4）cos a,b
rr ra br
| a || b |
（5）|a ·b |≤| a | ·| b |
练习（1）已知
a (, 2), b (3, 2)
向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条
直线重合；
⑤ 三点A、B、C共线
uuur uuur AB与AC共线
7.相反向量：r长度相等方向相反的r向量叫做相反向量 a 的相反向量记作 -a
一、向量的有关概念
练习：如下列命题，其中正确的是___（__4_）
（1）若
r a
r b
，则
rr
a b.
（一）几何运算
1.向量的加法
三角形法则：
uuur uuur uuur AB BC AC
平行四边形法则：
C
a +b b
2.向量的减法
Aa
D
B C
平行四边形法则：
uuur AB
uuur AD
uuur DB
b a +b
Aa
B
五、向量的运算
（二）坐标运算：设a （x1，y1），b （x2，y2）
r r r r r r r
ab c acbc
五、向量的运算
练习：下列命题，正确的是______
①
a (b c) a b a c
②
a (b c) (a b) c
③ (a b)2 | a |2 2 | a | | b | | b |2
ur
ur
C. e1 (3,5),e2 (6,10)
ur
ur
B. e1 (1,2),e2 (5,7)
ur
ur 1 3
D.
e1
(2, 3),e2
( , 2
) 4
（3）已知
ABC 中，点D在边BC上，且
CD
2 DB
,
CD
r
AB
s
AC,
则r+s的值是___
r a
r a
r2 r a ,a
r2 a
当r ar 与b 反向时， a ·b = - | a | ·| b | ．
ar br 0是 为锐角的必要非充分条件； a b 0是 为钝角的必要非充分条件；
特别注意：
a b 0 cos 0 为锐角或 0
a b 0 cos 0 为钝角或
解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
例4、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解：设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)
则 a b （x1 x2，y1 y2）
rr
a
b
（x1
x2，y1
y
）
2
r
数乘向量的坐标运算 a （x，y）（x， y）
数量积的坐标运算 a b x1x2 y1 y2
向量的模
r | a |
x2
y2 ,
r2 a
|
r a
|2
x2
y2
两点间的距离 若A x1, y1 , B x2, y2 ，则 | AB | x2 x1 2 y2 y1 2
；
a
r 与向量a共线的单位向量为
r a r
a
5.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量
注意：相等向量有传递性
一、向量的有关概念
6.平行向量（共线向量）: 基线重合或平行的向量 注意：①规定零向量和任何向量平行；
②相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
③共线向量无传递性；
④两个向量、 平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个
r
r
1 a a
二、实数与向量的积
r
（2）当 当
00时时，，aar
的方向与 的方向与
a a
的方向相同； 的方向相反。
r
注意：（1） a仍是向量；
rr
rr
（2）a 0的条件是 0或a 0；
r
r
（3） a几何意义：表示向量a的有向线段伸长或压缩；
rrr a xi y j（x，y）
OA （x，y）
y
r
a
y r A (x,y)
ra
jr Oi
x
x
一、向量的有关概念
r 3.零向量起：始点重合的向量叫零向量，记作： 0
注意：零向量的方向是任意的
4.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量
r
r
uur
注意：向量a的单位向量为a0 =
a r
（4）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
四、平面向量的数量积
（2）平面向量的数量积：
已知两个向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos a b cos a,b
④
r r
若 a b 0，则a =0或 b 0
rr rr r r ⑤ 若a b c b,则a c
rr r
⑥
ab r2 a
br a
⑦
rr (a b)2
r2 r2 a b
六、向量平行的判定(共线向量的判定)
（1）ra //rb b a（a 0） 向r 量表示 r
1 3
uur (PA
uur
uur PB
uur
uuur PC )
uuur
G为ABC的重心 r
特别的若PA PB PC 0 P为ABC的重心
uur uur uur uuur uuur uur
③若 PA PB PB PC PC PA P为ABC的垂心
四、平面向量的数量积
练习:（1）△ABC中，|
AB
|
3,|
AC
|
4,|
BC
|
5
，则
uuur AB
uuur BC
__________
（2）已知
r a
(1,
1
),
r b
(0,
1
),
r c
r a
r kb,
ur d
r a
br ,向量cr与dur的夹角为
,
则k等于___2_
② a是平面内的任一向量，且有序实数对（a1，a2 ）是唯一 确定；
③ 平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底.
r
r
r
r
练习：（1）若 a (1,1),b (1,1),c (1,2) ，则 c _________
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
ur
ur
A. e1 (0,0),e2 (1,2)
（2）b / /a x1y2 x2 y1 0，其中a （x1，y1），b （x2，y2）
坐标表示
七、向量垂直的判定
（1） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1x2 y1 y2 0 坐标表示
八、向量中一些常用的结论
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
uuur uuur
④ 向量( uAuBur uAuCur )( 0)所在直线经过ABC的内心
| AB | | AC |
典型例题分析:
例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e1－3e2 a与b是否共线。
解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。
，如果
r a 与b
的夹角为锐角，
则 的取值范围是______
r
r
rr
(2)已知a (cos x,sin x),b (cos y,sin y),向量a与b之间有关系式
rr
rr
rr rr
ka b 3 a kb ,其中k 0，试用k表示a b并求a b的最小值
五、向量的运算
必修四平面向量总复习知识网络单位向量及零向量平行向量和共线向量平行与垂直的条件向量向量有关概念向量的运算基本应用向量的定义相等向量向量的加法向量的减法实数和向量的积向量的数量积求长度求角度一向量的有关概念向量的概念
必修四 平面向量
总复习
知识网络
向量
向量有关概念 向量的定义 单位向量及零向量
相等向量
向量的运算 向量的加法
基本应用 平行与垂直的条件
向量的减法
求长度
实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积
一、向量的有关概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量
注意：向量是自由向量
B
2.向量的表示
uuur r
A
①字母表示：AB或a
注意：向量常用有向线段来表示，但不能说向量就是有向线段。
②坐标表示：
注意：①零向量与任意向量的数量积为0，即 0 a 0 ．
②︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影，它是个实数， 但不一定大于零.
③数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上 正投影的数量|b|cos的乘积；等于b的长度与a在b方向上正 投影的数量a|cos的乘积。
④两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符 号所决定；而数乘向量是一个向量。
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ ∴λ=-1
k=-λ k=-1 ∴k=-1
例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)， 用a、b表示c。
（4）实数与向量可以求积，但不可进行加减运算。
三、平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一 平 面 内 的 任 一 向 量 a ， 有 且 只 有 一 对 实 数 λ1 ， λ2 ， 使 a=λ1e1+λ2e2．
三、平面向量的基本定理
注意：① e1、e2是两个不共线的向量，零向量不能做基向量；
四、平面向量的数量积
（1）两个向量的夹角：
两个非零向量a
和b
，作
uur OA
r a
，
uuur OB
r b
，
则AOB (0 180 )
O
叫做向量a 和b 的夹角．
注意：（1）0≤〈a ，b〉≤π；
B
b
aA
（2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
（3）〈a ，b〉=0时, a、b同向； 〈a ，b〉=π时，a、b反向； 〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b.
例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____
解：9=9a2+4b2-12a·b
∴a·b=
1 3
又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12
∴|3a+b|=2 3
r 2 ur ur 2 ur ur 2 ur 2 ur uur uur 2
解：∵ a 2e1 e2 2e1 e2 4e1 4e1e 2 e 2
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
uuur uuur
（3）若 AB DC ，则 ABCD 是平行四边形 .
uuur uuur
（4）若 ABCD 是平行四边形 ，则 AB DC .
（5）若
r a
/
rr /b, b
/
r /c
，则
rr a / /c
.
二、实数与向量的积 r
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和方向
r r rr r r (2) || a | | b ||| a b || a | | b |
（3）在△ABC中，①若 A x1, y1 , B x2, y2 ,C x3, y3 ，则其重心坐标为
G
x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
②若
uuur PG
(2)结合律：
r a
r b
r c
rr ab
r c
rrr r rr abc a bc
r r r r r r
a b a b a b
（3）分配律：
r a
r a
r
a
rr r r
a b a b
rr
向量的夹角 cos ra br
x1x2 y1 y2
| a || b | x12 y12 x22 y22
五、向量的运算 a a
（三）向量的运算律：
（1）交换律：
r a
r b
r b
r a
r
r
a a
rr rr ab ba
2
4
(3)已知 | a | 3,| b | 5,且 a b 12，则向量 a 在向量 b（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b
同向时，a
·b
=|
a
|
·|
b
|，特别地ar 2
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共
线。
四、平面向量的数量积
rr
（4）cos a,b
rr ra br
| a || b |
（5）|a ·b |≤| a | ·| b |
练习（1）已知
a (, 2), b (3, 2)
向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条
直线重合；
⑤ 三点A、B、C共线
uuur uuur AB与AC共线
7.相反向量：r长度相等方向相反的r向量叫做相反向量 a 的相反向量记作 -a
一、向量的有关概念
练习：如下列命题，其中正确的是___（__4_）
（1）若
r a
r b
，则
rr
a b.
（一）几何运算
1.向量的加法
三角形法则：
uuur uuur uuur AB BC AC
平行四边形法则：
C
a +b b
2.向量的减法
Aa
D
B C
平行四边形法则：
uuur AB
uuur AD
uuur DB
b a +b
Aa
B
五、向量的运算
（二）坐标运算：设a （x1，y1），b （x2，y2）
r r r r r r r
ab c acbc
五、向量的运算
练习：下列命题，正确的是______
①
a (b c) a b a c
②
a (b c) (a b) c
③ (a b)2 | a |2 2 | a | | b | | b |2
ur
ur
C. e1 (3,5),e2 (6,10)
ur
ur
B. e1 (1,2),e2 (5,7)
ur
ur 1 3
D.
e1
(2, 3),e2
( , 2
) 4
（3）已知
ABC 中，点D在边BC上，且
CD
2 DB
,
CD
r
AB
s
AC,
则r+s的值是___
r a
r a
r2 r a ,a
r2 a
当r ar 与b 反向时， a ·b = - | a | ·| b | ．
ar br 0是 为锐角的必要非充分条件； a b 0是 为钝角的必要非充分条件；
特别注意：
a b 0 cos 0 为锐角或 0
a b 0 cos 0 为钝角或
解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
例4、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解：设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)
则 a b （x1 x2，y1 y2）
rr
a
b
（x1
x2，y1
y
）
2
r
数乘向量的坐标运算 a （x，y）（x， y）
数量积的坐标运算 a b x1x2 y1 y2
向量的模
r | a |
x2
y2 ,
r2 a
|
r a
|2
x2
y2
两点间的距离 若A x1, y1 , B x2, y2 ，则 | AB | x2 x1 2 y2 y1 2
；
a
r 与向量a共线的单位向量为
r a r
a
5.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量
注意：相等向量有传递性
一、向量的有关概念
6.平行向量（共线向量）: 基线重合或平行的向量 注意：①规定零向量和任何向量平行；
②相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
③共线向量无传递性；
④两个向量、 平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个