广东省佛山市高明区第一中学高一数学下学期第一次月考

高明一中2015-2016学年第二学期高一年级第一次大考
数学科试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、0
cos300=( )
A. 12-
B 1
2
C 32
D -32
2.已知集合M ＝{x |x 2
＜4}，N ＝{x |x 2
－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） A .{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C. {x |－1＜x ＜2} D. {x |2＜x ＜3} 3. 函数()2cos()3
f x x π
=-的单调递增区间是（ ）
A 、4223
3k k π
ππ
π⎡⎤+
+
⎢⎥⎣
⎦， ()k Z ∈ B 、22233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦， ()k Z ∈
C 、2223
3k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦
，(
)k Z ∈ D 、242233k k ππππ⎡⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，()k Z ∈ 4.要得到函数sin 43y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin 4y x =的图象( ) A.向左平移
12π个单位 B.向右平移12π
个单位 C.向左平移3π个单位 D.向右平移3
π
个单位
5．向量(1,2),(,1)a b x ==r r ，若(2)a b b -⊥r r r
，则x =（ ）
A ．1-
B ．1或3-
C ．3
D ．1-或3 6.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且2
39
52a a a ⋅=，2a =1，则1a =（ ）
A.
2
1
B. 22
C. 2
D.2
7．.在某船上开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°方向航行45海里后,看见灯塔在正西
方向,则此时船与灯塔相距( ) A .15海里 B .15错误!未找到引用源。

海里 C .15错误!未找到引用源。

海里 D .30海里 8. 已知αα2sin ,5
5
)45sin(则=+ο
等于 （ ）
A ．5
4-
B ．54
C ．53
D ． 53-
9.设等差数列{}n a 的前n 项和为 n S ，且369,36,S S ==则789a a a ++=（ ）
A. 63
B.45
C. 36
D. 27
10. 在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
11．函数()2sin(),(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<
的部
分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( ) A ．2,3
π
- B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．4,
3
π
12.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若12,3
AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
则λ等于( ) A.
23 B. 13 C. 13- D. 23
- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.在ABC ∆中，若1,3a c ==
，角C=
3
π
，则角A= ; 14、已知向量→a ，→b 满足2a =r ，3b =r ，两向量的夹角为60°，则a b -=r r
.
15.已知函数()()
13tan cos ,0,6f x x x x π⎡⎤
=+∈⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的最大值为 ．
16.关于下列命题：
①函数x y tan =在第一象限是增函数； ②函数)4
(
2cos x y -=π
是偶函数；
③函数)3
2sin(4π
-
=x y 的一个对称中心是（
6
π
，0）； ④函数)4
sin(π
+=x y 在闭区间]2,2[π
π-上是增函数.
写出所有正确的命题的题号： 。

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17. （本题满分10分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，101530,40a a ==
（1）求通项n a
（2）若n S =210，求n
18. （本题满分10分） 已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈-
=ππ,2,102cos x x . （1）求x sin 的值； （2）求tan 24x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值.
19. （本题满分12分）
已知ABC △
1
，且sin sin A B C +=．
（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1
sin 6
C ，求角C 的度数． 20.（本小题满分12分）
已知向量)2,1(=，)sin ,(cos αα=，设t -=（t 为实数）． （I ）1t = 时，若//，求αα2sin cos 22
-的值；
（II ）若4
π
α=，求||c 的最小值，并求出此时向量在方向上的投影．
21. (本小题满分12分)
如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要， 该光源照射范围是6
ECF π
∠=,点,E F 在直径AB 上，且
6
ABC π
∠=
．
（1
）若CE ，求AE 的长；
（2）设ACE α∠=, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
22．（本小题满分14分）
已知,a b 为常数，且2
0,(),a f x ax bx ≠=+ (2)0.f =
（1）若函数()y f x x =-有唯一零点，求函数)(x f 的解析式；
B
A
第21 题图
（2）求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值；
（3）当2x ≥时，不等式a x f -≥2)(恒成立，求实数a 的取值范围．
高明一中2015-2016学年第二学期高一年级第一次大考
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
C
C
B
D
B
C
D
B
C
A
A
13．
6
； 14. 7; 15.3; 16. ③； 17.解：.（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d, 依题意可得， 101151930
1440
a a d a a d =+=⎧⎨
=+=⎩ ………………….2分 解之得 112
2
a d =⎧⎨=⎩ ………………….4分
∴1(1)12(1)2210()n a a n d n n n N *
=+-=+-⨯=+∈ ……………..5分
（2）由（1）可知，
21(1)(1)2
121122
n n n d n n S na n n n --⨯=+
=+=+ ………………7分 即 211n n +=210
解之得 10n = 或 21n =-（舍去） ………………..9分 ∴ 10n = …………………10分
18.解：（1）因为⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππ,2x ，所以， 10
2
7)102(1cos 1sin 22=
-
-=-=x x …… 4分 （2）由（1）得10
2
7sin =
x ， sin tan 7cos x
x x
=
=- …… 6分 222tan 2(7)7
tan 21tan 1(7)24
x x x ⨯-=
==--- …… 8分
7tan 2tan
1
31424tan(2)7417
1tan 2tan 1424
x x x π
ππ+++===--…… 10分 19.解：解 （I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=，2BC AC +=，
两式相减，得1AB =．……5分 （II ）由ABC △的面积,sin 61sin 21C C AC BC =⋅⋅，得3
1
=⋅AC BC ，……7分
由余弦定理，得cosC=BC
AC AB BC AC ⋅-+22
22…… 8分
=
2
1
22)(22=⋅-⋅-+BC AC AB BC AC BC AC ，…… 10分 0C π<<Q …… 11分
所以60C =o
．…… 12分
20．（本小题满分12分）
解：（I ）1t = ,)sin 2,cos 1(αα--=
0)cos 1(sin )sin 2(cos //=---⇒ααααb c
得tan 2α= ； ……………3分
52tan 1tan 22cos sin cos sin 2cos 22sin cos 22
2222
-=+-=+-=-α
αααααααα ……………5分 （II ）4
π
α=
时，523)2
22()221(||22
2+-=-+-
=t t t t ，
当t =
时，
2
2
||m in =
……………10分
此时11
(1,2)()(,)222222
c a b =-=-=-r r r , 向量a 在c
方向上的投影为11
1()22a c c
⨯-+⨯⋅=
=r r r 12分
21．（1）连结AC ，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形， 因为8AB =，6
ABC π
∠=
，所以3
BAC π
∠=
，4AC =，
在ACE ∆中由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =+-
，且CE = 所以213164AE AE =+-，
解得1AE =或3AE =，…………6分 （2）因为2
ACB π
∠=
，6
ECF π
∠=，
所以ACE α∠=[0,]3
π
∈，
所以362
AFC A ACF π
ππππαα⎛
⎫∠=-∠-∠=-
-+=- ⎪⎝⎭，
B
A
在ACF ∆中由正弦定理得：
sin sin cos sin()2
CF AC AC AC
A CFA πα
α===∠- 所以23
cos CF α
=
，……………………………………………………………8分 在ACE ∆中，由正弦定理得：
sin sin sin()
3
CE AC AC
A AEC πα==∠+ 所以23sin()
3
CE π
α=
+ ，……………………………………………………9分
若产生最大经济效益，则CEF V 的面积MCN S ∆最大，
1312sin 2sin()cos 2sin(2)333
ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==+++，………………11分
因为[0,]3πα∈，所以0sin(2)13π
α+≤≤
所以当=
3
π
α时，MCN S ∆取最大值为43，此时该地块产生的经济价值最大．…12分
20．解：∵(2)0f =，∴20a b +=，∴2
()(2)f x a x x =- …………………………2分 （1）函数()y f x x =-有唯一零点，即方程2
(21)0ax a x -+=有唯一解， ∴2
(21)0a +=，解得1
2
a =- ∴2
1()2
f x x x =-
+ …………………………5分 （2）2
2
()(2)[(1)1]f x a x x a x =-=--，[1,2]x ∈- …………………6分 若0a >，则max ()(1)3f x f a =-= …………………………8分 若0a <，则max ()(1)f x f a ==- …………………………10分 （3）当2x ≥时，不等式()2f x a ≥-恒成立，即： 2
2
(1)a x ≥
-在区间[2,)+∞上恒成立，
设2
2
()(1)
g x x =
-，显然函数()g x 在区间[2,)+∞上是减函数，max ()(2)2g x g == 当且仅当max ()a g x ≥时，不等式2
()2f x a ≥-在区间[2,)+∞上恒成立，
因此2a ≥ …………………………14分。