数学人教版八年级上册13.3.2等边三角形第2课时.3.2等边三角形第2课时——含30°角的直角三角形的性质
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A
30°
B
C
D
例1：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠BAC=30°。 1 求证：BC= 2 AB
A
30°
B
C
D
思路：如图所示，延长BC至D，使CD=BC，连结AD 在△ABC和△ADC中 AC=AC ∠ACB=∠ACD BC=DC ∴ △ABC≌△ADC（SAS） A ∴ AB=AD ∴ ∠BAC=∠DAC 30° ∴ ∠BAD=∠BAC+∠DAC =30°+30° =60° ∴△ABD是等边三角形 1 1 D C B ∴BC= BD = AB
∵在Rt△ABC中, ∠C=90 °, ∠A＝30° 1 ∴BC= 2 AB（或AB＝2BC ） (在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半）
B
C
注意：该性质是含30°角的特殊直角三
角形的性质，一般的直角三角形没有这 个性质，更不能应用！
例2 如图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°，立柱 BC 、 DE要多长?
2 2
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用模式：
A
30°
∵在Rt△ABC中, ∠C=90 °, ∠A＝30° 1 ∴BC= 2 AB（或AB=2BC） (在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半）
B
C
应用模式：
A
30°
C
3
30°
60°
30°
B ？D
A
6
变式3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的高，∠A=30°， 求证：AB=4BD。 C
30°
60°
30°
B
D
A
变式3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的高，∠A=30°， 求证：AB=4BD。 C 1
2 60° 30°
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的高，∠A=30°，AC=6cm， 则CD的长度是 3cm C
6
？
B D
30°
A
变式1：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的高，∠A=30°，BD=6cm， 则AB的长度是 24cm C
12
B
30°
60°
30°
6D
？
A
变式2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的高，∠A=30°，AB=6cm， 则BD的长度是 1.5cm
D
归纳：
在有些题目中，若给出的角是15°角时， 往往运用一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和将15°的角转化为30°的角 后，再利用这个性质解决问题。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AB边的垂直平分线MN交AB于点M， 交BC于点N，且∠B=15°，AC=4cm， 则BN的长为
A
4
C
15°
13.3.2等边三角形第2课时
----含30°角的直角三角形的性质
请跟我一起走进数学的
名 称
图
形
概
念 性质与边角关系
判
定
等 边 三 角相等， 的三 每个内角等于60° 2.三角相等 角形 是等 3. 三线合一 3.有一角等于 60°的等腰三 边三 角形 角形 。
4.是轴对称图形.
7.4 D
30°
B
A
E
C
B 解：∵AB=7.4m 7.4 D是AB的中点 D 1 1 ∴AD= AB= × 7.4=3.7（m） 30° 2 2 A E C ∵DE⊥AC，BC⊥AC ∴∠AED=∠ACB=90° ∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30° 1 ∴BC= AB （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 2 那么它所对的直角边等于斜边的一半） 1 = 2 × 7.4 =3.7（m） ∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠A=30° 1 ∴DE= AD （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 2 那么它所对的直角边等于斜边的一半） 1 = 2 × 3.7 =1.85（m） 答：立柱BC长为3.7m，DE长为1.85m。
1.三边相等
1.三边相等
问题1：用两个全等的含30°角的直角三角尺， 你能拼出一个等边三角形吗？请说说你 的理由。
A
30°
B
C
D
如图，将两个含有30°角的三角尺摆放在 一起。你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直 角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
A
30°
B
C
D
问题2： 求证：在直角三角形中，如果一个锐 角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半。
30°
C
D
B
如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E 为AB上一点，连接DE，正确的是①②③ ①∠CAD=30°②AD=BD A ③BD=2CD ④CD=ED 30° E
30°
30°
C
D
B
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=60°∠BAC的平分线AM的长 为15cm，则BC的长为 cm。
B
D
A
例3：已知：如图，在△ABC中，AB=AC=20， ∠B=∠ACB=15°，求腰AB上的高的长度。
D
A
15° 15°
B
C
例3：已知：如图，在△ABC中，AB=AC=20， ∠B=∠ACB=15°，求腰AB上的高的长度。
解：如图所示，过点C作CD⊥BA的延 A 长线于D 30° 15° 15° ∵∠B=∠ACB=15° C ∠DAC是△ABC的外角 B （三角形的外角等于与它不相邻 ∴∠DAC=∠B+∠ACB =15°+15° 的两个内角的和） =30° ∵CD是腰AB上的高 ∴∠ADC=90° ∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，AC=20 1 ∴CD= AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 2 那么它所对的直角边等于斜边的一半） 1 = 2 ×20 答：CD的长为10。 =10
8 30°
N
M
15°
？
B
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AB边的垂直平分线MN交AB于点M， 交BC于点N，且∠B=15°，AC=4cm， 则BN的长为 8cm
A
4
C
15°
8 30°
N
M
15°
8
B
如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E 为AB上一点，连接DE，正确的是 ①∠CAD=30°②AD=BD A ③BD=2CD ④CD=ED 60° E
30°
B
C
D
例1：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠BAC=30°。 1 求证：BC= 2 AB
A
30°
B
C
D
思路：如图所示，延长BC至D，使CD=BC，连结AD 在△ABC和△ADC中 AC=AC ∠ACB=∠ACD BC=DC ∴ △ABC≌△ADC（SAS） A ∴ AB=AD ∴ ∠BAC=∠DAC 30° ∴ ∠BAD=∠BAC+∠DAC =30°+30° =60° ∴△ABD是等边三角形 1 1 D C B ∴BC= BD = AB
∵在Rt△ABC中, ∠C=90 °, ∠A＝30° 1 ∴BC= 2 AB（或AB＝2BC ） (在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半）
B
C
注意：该性质是含30°角的特殊直角三
角形的性质，一般的直角三角形没有这 个性质，更不能应用！
例2 如图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°，立柱 BC 、 DE要多长?
2 2
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用模式：
A
30°
∵在Rt△ABC中, ∠C=90 °, ∠A＝30° 1 ∴BC= 2 AB（或AB=2BC） (在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半）
B
C
应用模式：
A
30°
C
3
30°
60°
30°
B ？D
A
6
变式3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的高，∠A=30°， 求证：AB=4BD。 C
30°
60°
30°
B
D
A
变式3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的高，∠A=30°， 求证：AB=4BD。 C 1
2 60° 30°
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的高，∠A=30°，AC=6cm， 则CD的长度是 3cm C
6
？
B D
30°
A
变式1：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的高，∠A=30°，BD=6cm， 则AB的长度是 24cm C
12
B
30°
60°
30°
6D
？
A
变式2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的高，∠A=30°，AB=6cm， 则BD的长度是 1.5cm
D
归纳：
在有些题目中，若给出的角是15°角时， 往往运用一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和将15°的角转化为30°的角 后，再利用这个性质解决问题。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AB边的垂直平分线MN交AB于点M， 交BC于点N，且∠B=15°，AC=4cm， 则BN的长为
A
4
C
15°
13.3.2等边三角形第2课时
----含30°角的直角三角形的性质
请跟我一起走进数学的
名 称
图
形
概
念 性质与边角关系
判
定
等 边 三 角相等， 的三 每个内角等于60° 2.三角相等 角形 是等 3. 三线合一 3.有一角等于 60°的等腰三 边三 角形 角形 。
4.是轴对称图形.
7.4 D
30°
B
A
E
C
B 解：∵AB=7.4m 7.4 D是AB的中点 D 1 1 ∴AD= AB= × 7.4=3.7（m） 30° 2 2 A E C ∵DE⊥AC，BC⊥AC ∴∠AED=∠ACB=90° ∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30° 1 ∴BC= AB （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 2 那么它所对的直角边等于斜边的一半） 1 = 2 × 7.4 =3.7（m） ∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠A=30° 1 ∴DE= AD （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 2 那么它所对的直角边等于斜边的一半） 1 = 2 × 3.7 =1.85（m） 答：立柱BC长为3.7m，DE长为1.85m。
1.三边相等
1.三边相等
问题1：用两个全等的含30°角的直角三角尺， 你能拼出一个等边三角形吗？请说说你 的理由。
A
30°
B
C
D
如图，将两个含有30°角的三角尺摆放在 一起。你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直 角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
A
30°
B
C
D
问题2： 求证：在直角三角形中，如果一个锐 角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半。
30°
C
D
B
如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E 为AB上一点，连接DE，正确的是①②③ ①∠CAD=30°②AD=BD A ③BD=2CD ④CD=ED 30° E
30°
30°
C
D
B
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=60°∠BAC的平分线AM的长 为15cm，则BC的长为 cm。
B
D
A
例3：已知：如图，在△ABC中，AB=AC=20， ∠B=∠ACB=15°，求腰AB上的高的长度。
D
A
15° 15°
B
C
例3：已知：如图，在△ABC中，AB=AC=20， ∠B=∠ACB=15°，求腰AB上的高的长度。
解：如图所示，过点C作CD⊥BA的延 A 长线于D 30° 15° 15° ∵∠B=∠ACB=15° C ∠DAC是△ABC的外角 B （三角形的外角等于与它不相邻 ∴∠DAC=∠B+∠ACB =15°+15° 的两个内角的和） =30° ∵CD是腰AB上的高 ∴∠ADC=90° ∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，AC=20 1 ∴CD= AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 2 那么它所对的直角边等于斜边的一半） 1 = 2 ×20 答：CD的长为10。 =10
8 30°
N
M
15°
？
B
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AB边的垂直平分线MN交AB于点M， 交BC于点N，且∠B=15°，AC=4cm， 则BN的长为 8cm
A
4
C
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8 30°
N
M
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B
如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E 为AB上一点，连接DE，正确的是 ①∠CAD=30°②AD=BD A ③BD=2CD ④CD=ED 60° E