高三数学上学期第一次联考试题文含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校横峰、铅山一中、余干一中2021届高三上学期第一次联考文
科数学试题
一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕
z满足是虚数单位，那么复数z在复平面内所对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
设，代入，得，由复数相等的条件列式求得a，b的值，那么答案可求．
【详解】解：设，
由，得，
即，
，解得，．
复数z在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限．
应选：D．
【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的代数表示法及其几何意义，是根底题．，，，那么图中阴影局部表示的集合是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
阴影局部用集合表示为，只要求出M、N进展集合的运算即可．
【详解】解：图中阴影局部表示的集合，
由，
那么，
那么．
应选：C．
【点睛】正确理解集合M、N所表达的含义，以及正确理解韦恩图所表达的集合是解决此题的关键．的前项和为，点在直线上，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
点在直线上，所以.
.
应选B.
4.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，那么函数有两个不同零点的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个根本领件，由函数有两个不同零点，得a的取值有2，3，4，5，6，一共5种结果，由此能求出函数有两个不同零点的概率．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个根本领件，
由函数有两个不同零点，得，
解得或者．
又a为正整数，故a的取值有2，3，4，5，6，一共5种结果，
所以函数有两个不同零点的概率为．
应选：D．
【点睛】此题考察概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
那么
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：∵a=ln2＞0，ln3＞1，∴，即b＜a．
又．∴b＞c．综上可知：a＞b＞c
考点：对数值大小的比较
的夹角为，且，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：结合题意设出的坐标，求出的坐标，从而求出的模即可．
详解：平面向量的夹角为，且，
不妨设=〔1，0〕，=〔，〕，
那么=〔，﹣〕，
故||=1，
应选：A．
点睛：这个题目考察了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用长度和夹角的向量表示要求的向量，或者者建系实现向量坐标化，或者者应用数形结合.
的值的一个程序框图，那么判断框内应填入的条件是〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由算法流程图所提供的算法程序可知：当时，，运算程序完毕，所以当时运算程序不再继续，故应填，应选答案A。

8.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，那么该四棱锥的最长棱长为
A. B.4C.6D.
【答案】C
【解析】
根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，即可得出结论．
【详解】由三视图解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，
正方体的棱长为4，A，D为棱的中点，
根据几何体可以判断：该四棱锥的最长棱为AO，
．
应选：C．
【点睛】此题考察由三视图求棱长，关键是由三视图复原原几何体，是中档题．
x，y满足不等式组，那么目的函数的最大值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数z的几何意义为动点到定点的斜率的相反数，利用数形结合即可得到z的最大值．
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由目的函数，得目的函数的几何意义是，可行域内的点与连线的斜率的相反数，可知PA连线的斜率是最小值，那么z是最大值，由，解得，
此时z的最大值为．
应选：A．
【点睛】此题主要考察线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决此题的关键．
10.的最大值为A，假设存在实数、，使得对任意实数x总有
成立，那么的最小值为
A. B. C. D.
【解析】
【分析】
先化简，得，根据题意即求半个周期的A倍．
【详解】解：依题意
,
，
，，
，
的最小值为，
应选：C．
【点睛】此题考察了正弦型三角函数的图像与性质，考察三角函数恒等变换，属中档题．
，过其右焦点且平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，假设，那么双曲线的离心率为〔〕
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】
分析：利用几何法先分析出的坐标，代入方程即可。

详解：
由图像，利用几何关系解得，因为，利用向量的坐标解得，点在双曲线上，故，故解C
点睛：利用几何中的线量关系，建立的关系式，求离心率，不要盲目的列方程式算。

中，边长为，面与面的重心分别为E、F，求正方体外接球被EF所在直线截的弦长为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意画出图形，建立空间直角坐标系，求出球心O到EF中点的间隔，再求出多面体外接球的半径，由勾股定理求解．
【详解】解：如以下列图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
那么0，，、、、0，、
、、，
，，
点O到直线EF的间隔，
而球O的半径为，
因此，正方体外接球被EF所在直线截的弦长为：．
应选：D．
【点睛】此题考察多面体及其外接球的关系，考察空间想象才能与思维才能，考察计算才能，是中档题．二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕
a，b为正实数，且，那么的最小值为______
【答案】
【解析】
【分析】
由可得，，利用根本不等式即可求解
【详解】解：，且，，
那么，
当且仅当且，即，时获得最小值
故答案为：
【点睛】此题主要考察了利用根本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键
的前项和为，，，那么________.
【答案】
【解析】
等差数列的前项和为，，，，可得，数列的首项为1，公差为1，，，那么
，故答案为.
15.AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，那么的最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
方法一：通过对称性取特殊位置，设出P的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可．
方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可．
【详解】解：方法一：根据对称性，不妨设直径AB在x轴上，x，，，．
从而．
故答案为：2．
方法二：，
而，那么答案为2．
故答案为：2．
【点睛】此题考察直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质考察转化思想以及计算才能．
，其中e是自然对数的底数假设，那么实数a的取值范围是
______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性以及函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．
【详解】解：因为，
所以函数是奇函数，
又因为
,
，
所以在R上单调递减，
又，
即，
即，解得或者，
故a的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】此题考察了函数的单调性，奇偶性问题，考察转化思想，是一道中档题．
三、解答题〔本大题一一共7小题〕
中，，且前10项和．
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕假设，求数列的前项和．
【答案】(1)a n＝2n－1(2)T n＝
【解析】
【分析】
(1)此题首先可以对化简得到，再对化简得到，
最后两式联立，解出的值，得出结果；
(2)可通过裂项相消法化简求出结果。

【详解】(1)由得，
解得
所以的通项公式为
(2)，
所以数列的前项和。

【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)；〔2〕；〔3〕；〔4〕；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误。

18.为了政府对过热的房地产场进展调控决策，统计部门对城人和农村人进展了买房的心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取110人进展统计，得到如以下联表：
买房不买
房
纠
结
城人 5 15
农村
人
20 10
样本中城人数与农村人数之比是3：8．
分别求样本中城人中的不买房人数和农村人中的纠结人数；
用HY性检验的思想方法说明在这三种买房的心理预期中哪一种与城乡有关？参考公式：．
k
【答案】〔1〕样本中城人中的不买房人数为10人，农村人中的纠结人数为50人；〔2〕有的把握认为不买房与城乡有关.
【解析】
【分析】
设城人中的不买房人数为x，农村人中的纠结人数为y，根据题意列出方程组求解即可；
设三种心理障碍都与性别无关，由得到列联表，对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量，，；由表中数据计算、和的值，对照数表得出结论．
【详解】解：设城人中的不买房人数为x，农村人中的纠结人数为y，
那么，
解得；
样本中城人中的不买房人数为10人，农村人中的纠结人数为50人；
设三种心理障碍都与性别无关，由得到列联表如下；
买房不买
房
纠
结
总
计
城人 5 10 15 30
农村
人
20 10 50 85
总计25 20 65 110
对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量，，；
由表中数据可得；
；
；
所以，没有充分的证明显示买房与城乡有关，
有的把握认为不买房与城乡有关，
没有充分的证明显示纠结与城乡有关．
【点睛】此题考察了数学模型与HY性检验的应用问题，是中档题．
中，底面边长为2，侧棱长为3，D、E分别为AB、BC的中点，F为的三等分点，靠近点．
求证面；
求．
【答案】〔1〕详见解析〔2〕
【解析】
【分析】
推导出底面底面，由此能证明面．
以A为原点，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．
【详解】证明：正三棱柱中，
底面底面，
D、E分别为AB、BC的中点，
底面ABC，
面．
解：以A为原点，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
0，，，，2，，
，1，，，
设平面DEF的法向量y，，
那么，取，得0，，
点到平面DEF的间隔，
,
，
,
，
．
【点睛】此题考察线面平行的证明，考察三棱锥的体积的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是中档题．
中，椭圆：〔〕的短轴长为，离心率为．
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，假设，求点的坐标．
【答案】(1).
(2).
【解析】
分析：〔1〕由题意可得关于的方程组，解得后可得椭圆的方程．〔2〕设〔〕,由题意得，从而，故得直线的方程为．与椭圆方程联立消元后解得，故．在直角中，由，解得，故得点的坐标为．
详解：〔1〕因为椭圆的短轴长为，离心率为，
所以解得
所以椭圆的方程为．
〔2〕因为为椭圆的上顶点，所以．
设〔〕，那么.
又，
所以，
所以直线的方程为.
由消去整理得，
所以，
所以，
在直角中，由，得，
所以，
解得.
所以点的坐标为．
点睛：此题主要考察待定系数法的应用，特别是在求点的坐标的过程中更是表达了这一点．另外在解答解析几何问题中，要注意平面几何图形性质的运用，利用图形中的位置关系和数量关系将问题转化为代数计算的问题处理．
．
当时，求函数的单调增区间；
假设函数在上是增函数，务实数a的取值范围；
假设，且对任意，，，都有，务实数a的最小值．【答案】〔1〕〔2〕〔3〕
【解析】
【分析】
把代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于0求函数的单调增区间；
求原函数的导函数，由函数在上是增
函数，说明其导函数在上大于等于0恒成立，在导函数中x与恒大于0，只需对恒成立，那么a可求；
由知，当时在上是增函数，任取，，且规定，那么不等式
可转化为恒成立，引入函数，说明该函数为增函数，那么其导函数在上大于等于0恒成立，别离变量后利用根本不等式可求a的最小值．【详解】解：当时，．
那么
令，得，即，解得：或者．
因为函数的定义域为，
所以函数的单调增区间为．
由函数．
因为函数在上是增函数，
所以对恒成立
即对恒成立．
所以
即实数a的取值范围是．
因为，由知函数在上是增函数．
因为，，，不妨设，所以
由恒成立，可得，
即恒成立．
令，那么在上应是增函数
所以对恒成立．
即对恒成立．
即对恒成立
因为当且仅当即时取等号，
所以．
所以实数a的最小值为．
【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性，考察了数学转化思想，训练了别离变量法和利用根本不等式求函数的最值此题是有一定难度的题目．
22.平面直角坐标系中，直线的参数方程是〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(Ⅰ)求直线的极坐标方程；
(Ⅱ〕假设直线与曲线相交于两点，求．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
分析：〔1〕利用消参得到直线l的普通方程，利用极坐标公式得到曲线的直角坐标方程.〔2〕利用解三角形求弦长|AB|.
详解：〔1〕直线的普通方程为；
，
曲线的直角坐标方程为；
〔2〕曲线
圆心到直线的间隔；
圆的半径；
，
此题主要考察参数方程、极坐标和直角坐标的互化，考察圆的弦长的计算，属于根底题.
．
解不等式；
假设关于x的不等式在R上的解集为R，务实数a的取值范围．
【答案】〔1〕，或者〔2〕或者
【解析】
【分析】
不等式可化为，利用零点分段法，可得答案；
利用绝对值三角形不等式求出函数的最大值，进而构造关于a的不等式，解得答案．
【详解】解：不等式可化为．
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即，
综上所述，不等式的解集为，或者
由不等式可得，
，
，即，
解得或者，
故实数a的取值范围是或者
【点睛】此题考察的知识点是绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，难度中档．。