2023-2024学年江西省抚州市金溪县高三上册10月质量检测数学试题(含解析)

a 2b
2a b
2 2a
3a b
2 2b
3a b
9
0，
5
故 a 2b, 2a b 不垂直，C 错误；
向量 a b 在向量 a 上的投影向量为
a b
a
a
a
2
a
Hale Waihona Puke ba2a
，D
正确，
|a| |a|
5
故选：ABD
10．AD
【分析】由函数图像可确定函数最小正周期，判断 A；将 ( 2π , 2) 代入 f x ，求出 ，判断 B；
3 根据三角函数的图象的平移变换规律可得平移后图象的解析式，结合正弦函数性质可判断 C；利
A．
2 3
AB
2 3
AD
B．
2
AB
1
AD
33
C．
1
AB
1
AD
33
D．
1
AB
2
AD
33
7．记 ABC
的内角
A, B,C
的对边分别为 a, b, c ，且 a2
2ab b2
c2
2 ，若 ABC
的面积为
1 4
，
则 cosC （ ）
A． 1 3
B．
2 3
C． 3 5
D． 4 5
8．已知函数
；
(2)若 π 为 f x 的一个零点，且 f x 在区间 0, π 上至多有两个零点，求T ．
3
21．已知函数 f x log2 x logx 4 （ x 1）， g x 4x 4x a 2x a 2x 1 ．
(1)求 f x 的最小值；
(2)设不等式 f x 3 的解集为集合 A ，若对任意 x1 A ，存在 x2 0,1 ，使得 x1 g x2 ，求实数
5 故选：C 8．D
【分析】令 t f x ，得到 g t t2 f t ，令 g t 0，可得 t2 f t ，列出方程求得 t 1，
得到 f x 1 ，在结合函数的解析式，列出方程，即可得到答案.
【详解】由函数 g x f x 2 f f x ，令 t f x ，则 g t t2 f t ， 令 g t 0 ，可得 t2 f t ，
【分析】求导，令 x 0 ，求得 f (0) 1，则 y f x 可求，进而求出切线方程.
【详解】因为 f x x 1 ex f 0 x ，
所以 f x ex x 2 f 0 ，
令 x 0, f (0) 2 f (0), f (0) 1 ，
f x x 1 ex x ， f (0) 1 ，
所以曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程为： y 1 1(x 0) ，即 y x 1.
故选：D 5．B 【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出 sin(2 π ) 1 ，结合角的范围求得 ，即可求得
3 答案.
【详解】由题意 sin cos 2 3cos2 3 ，
为平面上的单位向量，且
ab
2
ab
，则（
）
3
A．向量 a 与 b 的夹角的余弦值为 5
B．
a
b
2
5
5
C． a 2b 2a b
D．向量
a
b
在向量
a
上的投影向量为
2 5
a
10．已知函数 f x Acos x （ A 0 ， 0 ， π ）的部分图象如图所示，则（ ）
则1 2sincos 3cos2 3 ，即 sin2 3cos2 2 ，
故 2sin(2 π ) 2 ，即 sin(2 π ) 1 ，
3
3
由于 0 π ，所以 2 π ( π , 4π ) ，
2
3 33
则
2
π 3
π 2
，即
π 12
，
故 sin2 sin π 1 ， 62
当 t 0 时，由 t2 f t ，可得 t2 (t 2)2 ，即 4t 4 0 ，解得 t 1；
当 t 0 时，由 t2 f t ，可得 t2 2t 3，即 t2 2t 3 0 ，解得 t 1或 t 3 （舍去），
所以 t 1，即 f x 1 ，
当 x 0 时，令 x 22 1或 x 22 1 （舍去），解得 x 1或 x 3 ；
a 的值．
22．（1）证明：当 x 0 时， x sinx 0 ；
（2）已知函数 f x sinx x axsinx ， x 0, π ， a R ， f x 为 f x 的导函数．
①当 a
0 时，证明：
f
x
在区间
0,
π 2
上存在唯一的极大值点；
②若 f x 有且仅有两个零点，求 a 的取值范围．
x 1
，
x
2
分别为
f
x
的极大值点和极小值点，且点
A x1,
f
x1 ，
B
x2 ,
f
x2
，
若直线 AB 在 y 轴上的截距大于 4a 1 ，求 a 的取值范围.
3
20．记函数
f
x
2cos x
N*, 0
π 2
，的最小正周期为 T
．
(1)若
f
T
1
，且直线
x
π 6
为
f
x
的图像的一条对称轴，求
f
π 3
所以 A B 1, .
故选：B
3．C
【分析】根据对数函数的单调性比较 a,b 的大小关系，并判断 c 的范围，即可得答案.
【详解】由于1
b
3 2
log2
3
22
log2
2
2 log2 3 a ，
且 c log0.2 0.3 log0.2 0.2 1 ，
故a b c，
故选：C
4．D
A． f x 的一个周期为 3 C． f 1 0
B． f x 的图象关于直线 x 3 对称
2
2022
D． f k 0 k 1
12．已知 a 0 ，设函数
f
x
lnx
a
x2 1 x2 1
，则下列说法正确的是（
）
A．当 a 1时， f x 在定义域上单调递增
B．当 0 a 1 时， f x 有两个极值点
(1)求实数 a 的取值集合 A ；
(2)在（1）的条件下，设非空集合 B x m 1 x m 2 1 ，若“ B ”是“ A ”的充分条件，求
实数 m 的取值范围．
19．已知函数 f x x 1 x a2 ，其中 a 1 .
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当
a
1 时，设
．
14．写出同时满足如下三个条件的一个函数解析式 f x
．
① f x 为偶函数；② f x 的定义域为 R ；③ f x 的值域为0,1
15．已知正实数 a
，b
满足
a2
b2
1
，则
4a
1 2a
4b
1 2b
的最小值为
．
16．设 f x ae3x 3x2 xlnx x ，若 f x 0 ，则 a 的取值范围是
当 x 0 时，令 2x 3 1 ，解得 x= 1或 x 2 ，
所以函数 g x f x 2 f f x 的零点之和为1 3 1 2 1.
故选：D.
9．ABD
【分析】根据向量的夹角公式可判断 A；根据向量数量积的运算律以及向量模的计算判断 B；根
据向量的数量积的运算律判断 C；根据投影向量的概念进行计算判断 D.
【详解】由题意知 | a || b | 1，且 a b 2 a b ，
故
a
b
2
4
a
2
b ，即 2 2a b
8 8a b, a b
3
，
5
故 cosa,b
a b
3 ，A 正确；
| a || b | 5
2 ab
2 2a b
22 3 5
4 5
，故
ab
25 5
，B
正确；
C．若 x1, x2 为 f x 的极值点，则 x1x2 1
D．若 x1, x2 为 f x 的极值点，则 f x1 f x2 0
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，若 b a 2 ，c a 4 ，C 120 ，则 a
1．设 z a i （ a R ），若 zi z 0 ，则 z （ ）
A． 2
B．1
C． 3
D．2
2．设集合 A x y x 1 ， B y y 2x 2 ，则 A B （ ）
A．x x 1
B．x x 1
C．x x 2
D．x x 2
3．设
a
log 2 3
，b
故选：B
6．A
【分析】根据题意可知： G 为△BCD 的重心，结合向量的线性运算结合重心的性质分析求解. 【详解】设 AC BD O ，
由题意可知： G 为△BCD 的重心，且 O 为 AC 的中点，
可知 A,O,G,C 四点共线，且 AO OC 3OG ，
所以
uuur AG
2
uuur AC
3 2
，
c
log0.2 0.3 ，则（
）
A． b a c
B． b c a
C． a b c
D． a c b
4．设 f x 为 f x 的导函数，若 f x x 1 ex f 0 x ，则曲线 y f x 在点 0, f 0 处的
切线方程为（ ）
A． y x 1
B． y 2x 1
2
A． f x 的最小正周期为 π
B． π 3
C．将曲线 y f x 向右平移 π 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称
12
D．若 f x 在区间 a, a 上单调递增，则 0 a π
6
11．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，且 f x 1 f x f x 1 0 ，则（ ）
f
x
2 x
x
3, x
22 , x
0,
0,
则函数
g
x
f
x 2
f
f
x
的所有零点之和为（
）
A．2
B．3
C．0
D．1
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知 a ， b
．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．记
ABC
的内角
A，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
B
A
π 4
，
4b
3
2a ．
(1)求 tanA ；
(2)若 c 2 ，求 ABC 的外接圆的面积．
18．设命题 p ：“对任意 x 1， x2 a 1 x a 1 0 恒成立”．且命题 p 为真命题．
C． y 2x 1
D． y x 1
5．设 0 π ，若 sin cos 2 3cos2 3 ，则 sin2 （ ）
2
A． 3 2
B．
1 2
C． 2 2
D． 3 4
6．在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 的中点，DE 与 BF 相交于点 G ，则 AG （ ）
2023-2024 学年江西省抚州市金溪县高三上册 10 月质量检测数学试题
注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的 指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题 区域均无效． 3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答； 字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
1．A 【分析】根据复数的运算及复数模的运算即可.
【详解】依题 zi z (a i)i+(a i)=(a 1)+(a 1)i=0 ，所以 a 1， z 1 i,|z|= 2 .
故选：A 2．B 【分析】根据函数的定义域和值域求并集即可.
【详解】由题意可知 x 1 0 A 1, ，而 y 2x 2 2 B 2, ，
2
uuur uuur AB AC
2
uuur AB
2
uuur AD .
3
3
33
故选：A.
7．C
【分析】根据余弦定理、三角形面积公式以及同角三角函数关系求解即可.
【详解】在 ABC 中，由余弦定理得， cos C a2 b2 c2 ， 2ab
因为 a2 2ab b2 c2 2 ，则 a2 b2 c2 2 2ab
即 cos C 2 2ab 1 1 ， 2ab ab
因为 ABC 的面积为 1 ，所以 1 absin C 1 ，即 1 2sin C ，
4
2
4 ab
所以 cos C 2sin C 1 ，即 sin C cos C 1 ， 2
又因为 sin2 C cos2 C 1， 代入化简得， 5cos2 C 2 cos C 3 0 ， 则 cosC 3 或 cos C 1（ 0＜C＜π, 1＜cos C＜1 ，舍去），