人教版高中数学选修四教学课件-逆矩阵与二元一次方程组

������ + 2������ + 1 = 0, (2) 3������ + 4������-1 = 0.
题型一 题型二 题型三
解:(1)∵该二元一次方程组的系数矩阵
3 -3
A=
, 且|A|=3×4-3=9,
-1 4 x
41
1
13
∴A-1=
9 1
3 1
.∴
=A-1
=
9 10
.
93
y
3
9
∴方程组的解为
分析:应从系数矩阵对应的变换入手,寻求变换的逆变换是什么.
题型一 题型二 题型三
13
解:∵方程组的系数矩阵为 A=
, 它对应的变换是沿x
01 轴方向平移 3y 个单位的切变变换,存在逆变换沿 x 轴平移-3y 个单位,
1 -3
x
6
且逆变换唯一,即 A-1=
. ∴ 存在唯一的
=A-1
=
01 3
, 即方程组有唯一解
3 -2 x
【例 4】 当 m 为何值时,二元一次方程组
1 -4 x
= y
������ 有非零解?
y 分析:先将方程组改写为齐次方程组的形式,再判断.
题型一 题型二 题型三
3 -2 x
x
解:二元一次方程组
= ������ ,
1 -4 y
y
3x-2y
mx
即为
=
, ∴ 3������-2������ = ������������,
ab
的系数矩阵A=
可逆,那么我们要用矩阵写出方程组的解,
cd 可先求系数矩阵 A 的行列式,再求其逆矩阵 A-1,最后写出此方程组
的解向量,从而得解.
题型一 题型二 题型三
题型一 利用线性变换求方程组的解
【例 1】
已知方程组
������ + 3������ = 6, ������ = 1,
试从线性变换的角度研究方程组的解的情况.
������-4������ = ������������,
x-4y
my
3-m -2
x
0
即
(3-������)������-2������ = 0, ������-(4 + ������)������ = 0,
即
1 -(4 + m)
=.
y
0
题型一 题型二 题型三
∴当 3-������ -2 = 0,
������ = 3, ������ = 1.
1
y
1
题型一 题型二 题型三
反思二元一次方程组的解实际上是已知某向量在系数矩阵对应 的线性变换下的像,求此向量的问题.
题型一 题型二 题型三
题型二 利用逆矩阵求二元一次方程组的解
【例 2】 利用逆矩阵解下列二元一次方程组:
(1) 3������-3������ = 1, -������ + 4������ = 3;
������
=
13 9
,
������
=
10 9
.
题型一 题型二 题型三
12
(2)∵该方程组的系数矩阵为 B=
,
且|B|=4-6=-2,∴B-1=
x
-1
∴
=B-1
=
y
1
34
-2 1
3 2
-
1 2
.
3
. ∴ 方程组的解为
������ = 3, ������ = -2.
-2
反思此题说明利用矩阵知识可以解决二元一次方程组的问题.
f
y e
使得该向量在线性变换ρ 的作用下变成已知向量 ,
f
而在实际操作中,如果线性变换 ρ 的意义不明显或不为我们熟知,那
x
x
e
么很难找出向量 , 使得������ = .
y
y
f
2.怎样用矩阵解二元一次方程组?
剖析������� + ������������ = ������, ������������ + ������������ = ������
1 -(4 + ������) 即-(3-m)(4+m)+2=0 时,方程组有非零解.
∴当
m=
-1± 2
41
时,方程组有非零解.
反思对于方程组的左、右两边都含有未知量x,y时,可以先化简,
化为二元一次方程组的矩阵形式,再解答.
三 逆矩阵与二元一次方程组
1.能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义. 2.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组. 3.会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性 和唯一性.
1.对于一个二元一次方程组,从线性变换的角度应怎样解释?
x'
ab x
剖析:已知线性变换 ρ:
=
y'
cd y
e
x
和平面上的一个确定的向量 , 找出平面上的向量 ,
题型一 题型二 题型三
题型三
齐次线性方程组的解法
【例 3】
试写出齐次线性方程组
2������-������ 4������ +
= 0, ������������ =
0
的矩阵形式,
并判断有无非零解.
分析:由推论知,主要是判断系数矩阵的行列式是否为零.
题型一 题型二 题型三
2 -1
解:该方程组的系数矩阵为 A=
,
4a
2 -1 x
0
该齐次线性方程组的矩阵形式为
=.
4 ay
0
又|A|=2a+4,即当 a=-2 时,|A|=0,原齐次线性方程组有非零解;
当 a≠-2 时,|A|≠0,不存在非零解,只有唯一的零解.
反思齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式 为零,即ad=bc.
题型一 题型二 题型三