天津市河东区2019届中考《锐角三角函数与解直角三角形》专题练习

天津市河东区普通中学2019届初三数学中考复习 锐角三角函数与解直角三角形
专题复习练习
1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C )
A ．sin
B ＝AD AB B ．sinB ＝A
C BC C ．sinB ＝A
D AC D ．sinB ＝CD
AC
2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3
5
，BC ＝6，则AB ＝( D )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
3．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( D )
A.
31010 B.12 C.13 D.10
10
4．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于( A )
A ．2
B ．3
C ．3 2
D ．3 3
5.如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( B )
A ．2 3 m
B ．2 6 m
C ．(23－2) m
D ．(26－2) m
6．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上，航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( B )
A ．22.48
B ．41.68
C ．43.16
D ．55.63
7. 在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cosB ＝2
2
，则BC 边长为( D )
A ．7
B ．8
C ．8或17
D ．7或17
8．已知α，β均为锐角，且满足⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin α－12＋（tan β－1）2
＝0，则α＋β＝__75°__．
9．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tanD ＝．
10．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C 处测得塑像底部B 处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A 处的仰角为45°，点D 在观测点C 正下方城墙底的地面上，若CD ＝10米，则此塑像的高AB 约为__58__米．(参考数据：tan78°12′≈4.8)
11．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于
北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD ＝10米．请根据这些数据求出河的宽度为米．(结果保留根号)
12．为解决我市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段规划处如图所示的停车位，已知每个车位是长为5米，宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°角，则该路段最多可以划出__19__个这样的停车位．(结果保留整数)
13．太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC 如图②所示，BC ＝10米，∠ABC ＝∠ACB＝36°，改建后顶点D 在BA 的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD 的长．(结果精确到0.1米；参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)
解：∵∠BDC ＝90°，BC ＝10，sinB ＝CD
BC
，
∴CD ＝BC·sinB ≈10×0.59＝5.9，
∵在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°－∠B＝90°－36°＝54°， ∴∠ACD ＝∠BCD－∠ACB＝54°－36°＝18°，
∴在Rt △ACD 中，tan ∠ACD ＝AD
CD
，
∴AD ＝CD·tan ∠ACD ≈5.9×0.32＝1.888≈1.9(米)， 则改建后南屋面边沿增加部分AD 的长约为1.9米
14．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角a ；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．
解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，
∴tan α＝tan ∠CAB ＝13＝3
3
，
∴∠α＝30°.
则新坡面的坡角a 为30°
(2)文化墙PM 不需要拆除．理由： 过点C 作CD⊥AB 于点D ，则CD ＝6，
∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶3， ∴BD ＝CD ＝6，AD ＝63， ∴AB ＝AD －BD ＝63－6＜8， ∴文化墙PM 不需要拆除
15．如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)
解：作CF⊥AB 于点F ，设AF ＝x 米，
在Rt △ACE 中，tan ∠ACF ＝AF
CF
，
则CF ＝AF tan ∠ACF ＝x
tan30°
＝3x ，
在Rt △ABE 中，AB ＝x ＋BF ＝4＋x(米)，
在Rt △ABE 中，tan ∠AEB ＝AB BE ，则BE ＝AB tan ∠AEB ＝x ＋4tan60°＝3
3
(x ＋4)．
∵CF －BE ＝DE ，即3x －3
3
(x ＋4)＝3. 解得x ＝
33＋4
2
， 则AB ＝33＋42＋4＝33＋12
2(米)．
则树高AB 是
33＋12
2
米
16．南海是我国的南大门．如图，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C 处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)
解：过B 作BD⊥AC，
∵∠BAC ＝75°－30°＝45°，
∴在Rt △ABD 中，∠BAD ＝∠ABD＝45°，∠ADB ＝90°，
由勾股定理得BD ＝AD ＝
2
2
×20＝102(海里)， 在Rt △BCD 中，∠C ＝15°，∠CBD ＝75°，
∴tan ∠CBD ＝CD
BD ，即CD≈102×3.732≈52.77048，
则AC ＝AD ＋DC ＝102＋52.77048≈66.91048≈67(海里)，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．利用计算器求值时，小明将按键顺序为
的显示结果为a ，
的显示结果为b ，则a 与b 的乘积为（ ）
A.﹣16
B.16
C.﹣9
D.9
2．已知a 是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的根，则代数式﹣2a 2+6a+2019的值为（ ） A ．2014
B ．2015
C ．2016
D ．2017
3．向东行驶5km ，记作+5km ，向西行驶2km 记作（ ） A ．+2km B ．﹣2km
C ．+5km
D ．﹣5km
4．已知，则
等于（ ） A.1
B.3
C.-1
D.-3
5．已知一次函数y ＝﹣x+m 和y ＝2x+n 的图象都经过A （﹣4，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为（ ） A.48
B.36
C.24
D.18
6．《居室内空气中甲醛的卫生标准》（GB/T16127-1995）规定：居室内空气中甲醛的最高容许浓度为0.00008g/m 3．将0.00008用科学记数法可表示为（ ） A ．40.810-⨯
B ．4810-⨯
C ．50.810-⨯
D ．5810-⨯
7．已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车,图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线
k
y
x
=（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（）
A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC’，连接A'C，则A'C的长为（）
A．6 B．C．D．
10．下列运算正确的是（）
A．x﹣2x＝﹣1 B．2x﹣y＝xy
C．x2+x2＝x4D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
11．函数y=中自变量x的取值范围是（）
A．x>1 B．x≤1C．x<1 D．x≥1
12．一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（）
A．36 πcm2B．24πcm2C．18πcm2D．12 πcm2
二、填空题
13．如图,在平面直角坐标系xOy中,直线
3
2
y x
=与双曲线
k
y
x
=相交于A、B两点，且A点横坐标为2，
C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点D，连接BD，BC．
（1）k的值是________；
（2）若AD=AC，则△BCD的面积是________．
14．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个红球、3个白球、2个绿球，任意摸出一球，摸到白球的概率是_____．
15
x的取值范围是______．
16．﹣3的相反数是．
17．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为_____．
18．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，这个事件的概率是______．
三、解答题
19．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
20．某公司经销的一种产品每件成本为40元，要求在90天内完成销售任务．已知该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第x天）1≤x＜50 50≤x≤90
x+50 90
任务完成后，统计发现销售员小王90天内日销售量p（件）与时间（第x天）满足一次函数关系p＝﹣
2x+200．设小王第x天销售利润为W元．
（1）直接写出W与x之间的函数关系式，井注明自变量x的取值范围；
（2）求小生第几天的销售量最大？最大利润是多少？
（3）任务完成后，统计发现平均每个销售员每天销售利润为4800公司制定如下奖励制度：如果一个销售员某天的销售利润超过该平均值，则该销售员当天可获得200元奖金．请计算小王一共可获得多少元奖金？
21．（问题情境）已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
（数学模型）
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（
a
x+
x
）（x＞0）
（探索研究）
我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=
1
x+
x
（x＞0）的图象和性质．
（1）①填写下表，画出函数的图象；
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你
通过配方求函数y=
1
x+
x
（x＞0）的最小值．
解决问题：（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案。

22．太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直）．已知：
支架CF=100 cm，CD=20 cm，FE⊥AD于E，若θ=37°，求EF的长．（参考数据：sin37°≈3
5
，cos37°≈
4
5
，
tan37°≈3
4
）
23．(1)（探究）如图,在等边△ABC中,AB=4cm,点M为边BC的中点,点N为边AB上的任意一点(不与点A,B 重合).若点B关于直线MN的对称点B′恰好落在等边△ABC的边上，求BN的长．
(2)（拓展）如图，在△ABC 中,∠ABC=45°,A D 是BC 边上的中线,过点D 作DE ⊥AB 于点E,且sin ∠DAB=
3
5
.求AB 的长．
24．（探究）
（1）观察下列算式，并完成填空： 1=12
1+3=4=22； 1+3+5=9=32
； 1+3+5+7=16=42；
1+3+5+…+（2n-1）=______．（n 是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．
①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第n 层中含有______块正三角形地板砖（用含n 的代数式表示）． （应用）
该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和420块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由．
25．（1
）计算1
21(3)2-︒⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭
（2）解方程：
21421242
x x x x +-=+--．
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题 13．18
14．310
． 15．x ＞3
2
-．
16．3
17．8+8﹣ 18．
57
三、解答题
19．（1）k ＝1，理由见解析；（2）①k 值发生变化，k ，理由见解析；②tan ∠EAC ＝13
． 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到△ABC 和△ADE 都是等边三角形，证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质解答； （2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF ⊥AC 于F ，设AD ＝DE ＝a ，证明△CFE ∽△CAD ，根据相似三角形的性质求出EF ，根据勾股定理求出AF ，根据正切的定义计算即可． 【详解】 （1）k ＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC ＝∠ADE ＝60°，BA ＝BC ，DA ＝DE ， ∴△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ＝60°， ∴∠DAB ＝∠EAC ， 在△DAB 和△EAC 中，
AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ） ∴EC ＝DB ，即k ＝1；
（2）①k 值发生变化，k ，
∵∠ABC ＝∠ADE ＝90°，BA ＝BC ，DA ＝DE ，
∴△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，
∴AE AD =，AC AB
=，∠DAE ＝∠BAC ＝45°， ∴
AE AC AD AB =，∠DAB ＝∠EAC ， ∴△EAC ∽△DAB ，
∴EC AE BD AD
==EC BD ，
∴k
②作EF ⊥AC 于F ，
设AD ＝DE ＝a ，则AE ，
∵点E 为DC 中点，
∴CD ＝2a ，
由勾股定理得，AC =，
∵∠CFE ＝∠CDA ＝90°，∠FCE ＝∠DCA ，
∴△CFE ∽△CAD ， ∴EF CE
AD CA
=，即EF a =，
解得，EF ＝5
a ，
∴AF 5=
， 则tan ∠EAC ＝13
EF AF =．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（1）
2
21802000(150)
W=
10010000(5090)
x x x
x x
⎧-++≤<
⎨
-+≤≤
⎩
；（2）小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；
（3）小王一共可获得6200元奖金.
【解析】
【分析】
（1）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与x（天）之间的函数关系式；（2）依据（1）中函数的增减性求得最大利润；
（3）根据销售利润为W（元）与x（天）之间的函数关系式，求出利润超过4800元的天数即可求得可获得的奖金金额.
【详解】
（1）依题意：
(50)(150) W=
90(5090)
p x x
p x
+≤<
⎧
⎨
≤≤
⎩
，
整理得
2
21802000(150) W=
10010000(5090)
x x x
x x
⎧-++≤<
⎨
-+≤≤
⎩
；
（2）①当1≤x＜50时，W＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050，
∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝45时，W有最大值为6050；
②当50≤x≤90时，W＝﹣100x+10000，
∵﹣100＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝50时，W有最大值为5000，
∵6050＞5000，
∴当x＝45时，W的值最大，最大值为6050，
即小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；
（3）①当1≤x＜50时，令W＝4800，得W＝﹣2（x﹣45）2+6050＝4800，
解得x1＝20，x2＝70，
∴当W＞4800时，20＜x＜70，
∵1≤x＜50，
∴20＜x＜50；
②当50≤x≤90时，令W＞4800，W＝﹣100x+10000＞4800，
解得x＜52，
∵50≤x≤90，
∴50≤x＜52，
综上所述：当20＜x＜50时，W＞4800，即共有51﹣21+1＝31天的销售利润超过4800元，∴可获得奖金200×31＝6200元，
即小王一共可获得6200元奖金.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．21．（1）①填写下表，画出函数的图象；见解析；②当x=1时，函数y的最小值是2；0＜x＜1时，y随
着x的增大而减小；③x=1时，函数y=x+1
x
（x＞0）的最小值是2；（2
长最小，最小值是
【解析】
【分析】
(1)①把x的值代入解析式计算即可；②根据图象所反映的特点写出即可；③根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，进行配方即可得到最小值；
(2)根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2
，进行配方得到
2
y2
⎡
⎢
=+
⎢
⎣⎦
，即可求出答案．
【详解】
（1）①填写下表，画出函数的图象；
②观察图像可知，当x=1时，函数y的最小值是2；0＜x＜1时，y随着x的增大而减小.
③y=x+1
x
=
2
2
1
x
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
，
=
2
2
+，
=，即x=1时，函数y=x+
1
x
（x＞0）的最小值是2，
22
2
1
2
y x
x
=+=+=-，
∵x＞0，
∴2
的值是正数，并且任何一个正数都行， ∴此时不能求出最值， 答：函数y=x+
1x （x ＞0）的最小值是2．
（2）答：矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0）时，它的周长最小，最小值是
【点睛】
本题是一道二次函数的综合试题，考查了描点法画函数的图象的方法，二次函数最值的运用，配方法及分类讨论的数学思想．分类讨论是解答本题的关键．
22．EF 的长为76 cm ．
【解析】
【分析】
地面水平线与吸热管夹角∠1与θ互余，延长ED 交BC 的延长线于点H ，则∠H=θ=37°，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
解：如图，依题意知，地面水平线与吸热管夹角∠1与θ互余，
延长ED 交BC 的延长线于点H ．则 ∠H=θ=37°．
在Rt △CDH 中， HC=
tan37CD ︒． ∴ HF=HC+CF=tan37CD ︒
+ CF ． 在Rt △EFM 中， EF=(tan37CD ︒+ CF) sin37°≈3803×35
=76（cm ）． 答: EF 的长为76 cm ．
【点睛】
题考查解直角三角形，熟练运用是解题的关键.
23．探究1或2.；拓展7.
【解析】
【分析】
（1）如图1，当点B 关于直线MN 的对称点B'恰好落在等边三角形ABC 的边AB 上时，于是得到MN ⊥AB ，BN=BN′，根据等边三角形的性质得到=AC=BC ，∠ABC=60°，根据线段中点的定义得到BN=12
BM=1，如图2，当点B 关于直线MN 的对称点B'恰好落在等边三角形ABC 的边A ，C 上时，则MN ⊥BB′，四边形BMB′N 是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．
（2）由∠ABC=45°，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，可知△BED 是等腰直角三角形，由此可求得BE 的长度，再由sin ∠DAB=
35
，可求得AD 与AE 的长度，进而求出AB 的长度． 【详解】
（1）如图1，当点B 关于直线MN 的对称点B′恰好落在等边三角形ABC 的边AB 上时，
则MN ⊥AB,BN=BN′，
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC,∠ABC=60°，∵点M为边BC的中点，
∴BM=1
2
BC=
1
2
AB=2，
∴BN=1
2
BM=1，
如图2，当点B关于直线MN的对称点B′恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，则MN⊥BB′,四边形BMB′N是菱形，
∵∠ABC=60°，点M为边BC的中点，
∴BN=BM=1
2
BC=
1
2
AB=2，
故答案为：1或2.
（2）∵∠ABC=45°，过点D作DE⊥AB于点E ∴△BED是等腰直角三角形，
∴BE=ED=
2
DB=3，
∵sin∠DAB=3
5
，
∴
3
=
5 ED
AD
，
∴AD=5，
∴由勾股定理可求得：AE=4，
∴AB=AE+BE=7.
【点睛】
此题考查解直角三角形，线段中点的定义，解题关键在于掌握各性质定义作辅助线.
24．【探究】n2；（2）① 6，30；②6（2n-1）或12n-6；【应用】铺设这样的图案，最多能铺8层，理由见解析
【解析】
【分析】
一．探究（1）观察算式规律，1+3+5+…+（2n-1）=n2；
（2）①第一层6块正方形和6块正三角形地板砖，第二层6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，第三层6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖；
②第一层6=6×1=6×（2×1-1）块正三角形地板砖，第二层18=6×3=6×（2×2-1）块正三角形地板砖，第三层30=6×5=6×（2×3-1）块正三角形地板砖，第n层6=6×1=6（2n-1）块正三角形地板砖，
二．应用
150块正方形地板砖可以铺设这样的图案150÷6=25（层），铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：
6[1+3+5+…+（2n-1）]=6n2，6n2=420，n2=70，
，8＜n＜9，所以420块正三角形地板砖最多可以
铺设这样的图案8层．因此铺设这样的图案，最多能铺8层．
【详解】
解：一.探究
（1）观察算式规律，1+3+5+…+（2n-1）=n2，
故答案为n2；
（2）①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，∴第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖，
故答案为6，30；
②∵第一层6=6×1=6×（2×1-1）块正三角形地板砖，
第二层18=6×3=6×（2×2-1）块正三角形地板砖，
第三层30=6×5=6×（2×3-1）块正三角形地板砖，
∴第n层6=6×1=6（2n-1）块正三角形地板砖，
故答案为6（2n-1）或12n-6．
二．应用
铺设这样的图案，最多能铺8层．
理由如下：
∵150÷6=25（层），
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层；
∵铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5+…+（2n-1）]=6n2，
∴6n2=420，n2=70，
．
又∵8
＜9，即8＜n＜9，
∴420块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案8层．
∴铺设这样的图案，最多能铺8层．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律列代数式，正确找出图形变化规律是解题的关键．
25．（1）12.5；（2）x＝1
【解析】
【分析】
（1）首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】
（1
）
1
2
1
(3)
2
-
︒⎛⎫
-+-- ⎪
⎝⎭
＝
×＝11+1.5＝12.5；
（2）方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得 x﹣2+4x﹣2（x+2）＝x2﹣4，
整理，得x2﹣3x+2＝0，
解这个方程得x1＝1，x2＝2，
经检验，x2＝2是增根，舍去，
所以，原方程的根是x＝1．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，也考查了解分式方程．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．下列命题中真命题是（ ）
A ．若a 2=b 2,则a=b
B ．4的平方根是±2
C ．两个锐角之和一定是钝角
D ．相等的两个角是对顶角
2．如图，AB ∥CD ，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（ ）
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
3．在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30个参赛队的决赛成绩如下表：
则这30个参赛队决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A.9.7，9.5
B.9.7，9.9
C.9.6，9.5
D.9.6，9.6
4．据开化旅游部门统计，2018年开化各景点共接待游客约为12926000人次，数据12926000用科学记数法表示为（ ）
A ．0.12926×108
B ．1.2926×106
C ．12.926×105
D ．1.2926×107
5．如图，在Rt ABC ∆中，BM 平分ABC ∠交AC 于点M ，过点M 作//MN AB 交BC 于点N ，且MN 平分BMC ∠，若1CN =，则AB 的长为( )
A ．4
B ．
C ．
D ．6
6．如图，△ABC 中，G 、E 分别为AB 、AC 边上的点，GE ∥BC ，BD ∥CE 交EG 延长线于D ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是( )
A ．AE EC ＝GE BC
B ．AG AB ＝AE DB
C ．CF C
D ＝C
E CA D ．DG BC ＝BG BA
7．如图，DC 是以AB 为直径的半圆上的弦，DM ⊥CD 交AB 于点M ，CN ⊥CD 交AB 于点N ．AB=10，CD=6．则四边形DMNC 的面积（ ）
A ．等于24
B ．最小为24
C ．等于48
D ．最大为48
8．港珠澳大桥是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道. 其中海底隧道是由33个巨型沉管连接而成，沉管排水总量约76000吨. 将数76000用科学记数法表示为（ ）
A ．47.610⨯
B ．37610⨯
C ．50.7610⨯
D ．57.610⨯
9．如图，将边长为10的正三角形OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，C 是AB 边上的动点（不与端点A ，B 重合），作CD ⊥OB 于点D ，若点C ，D 都在双曲线y ＝k x
上（k ＞0，x ＞0），则k 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．9
D ．10．计算2231366x x x x x
+-⋅-+的结果为( ) A.6x x + B.6x x - C.6x x + D.6x +
11．下列计算正确的是（ ）.
A ．426a a a +=
B ．3412a a a ⋅=
C ．632a a a ÷=
D ．()326a a -=-
12．如图，在⊙O 中，弦AB ＝10，PA ＝6㎝，OP ＝5㎝，则⊙O 的半径R 等于（ ）
A ．7㎝
B ㎝
C ．49㎝
D ㎝
二、填空题 13．如图，已知▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，∠BAC ＝90°，E 、F 分别是AB ，BC 上的动点，EF ⊥BC ，△BEF 与△PEF 关于直线EF 对称，若△APD 是直角三角形，则BF 的长为_____．
14．如图，正方形OABC 的边长为2，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，交点P 运动的路径长是_____．
15
有意义的x 的取值范围是_____． 16．如图，▱ABCO 中，OA=2，AB=6，将▱ABCO 绕点A 逆时针旋转得▱ADEF ，AD 经过原点O ，点F 落在x 轴上，若双曲线y=k x
经过点D ，则k 的值为____．
17．如图，O 与正八边形OABCDEFG 的边,OA OG 分别相交于点M N 、，则弧MN 所对的圆周角MPN ∠=_______.
18．分解因式：
=______．
三、解答题 19．如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O 交斜边AC 于点D ，过圆心O 作OE ∥AC ，交BC 于点E ，连接DE ．
（1）判断出DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE 2＝CD•OE；
20．核电站第3号反应堆发生了爆炸．为了抑制核辐射进一步扩散，东电公司决定向6号反应堆注水冷却，铀棒被放在底面积为100m 2、高为20m 的长方体水槽中的一个圆柱体桶内，如图1所示，向桶内注入流量一定的水，注满后，继续注水，直至注满水槽为止(假设圆柱体桶在水槽中的位置始终不改变)． 水槽中水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系如图2所示(铀棒的体积忽略不计)．
(1)若圆柱体的体积为Vm 3
，则将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量是多少？(用含V 的式子表示)；
(2)求圆柱体的底面积；
(3)若圆柱体的高为9m ，求注水的速度及注满水槽所用的时间．
21．（1）计算：1012tan 602)3-︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭
（2）解不等式：1123
x x +-<
22．（10(3)tan 45π︒--.
（2）化简：2
(2)(1)x x x ---.
23．阅读有助于提高孩子的学习兴趣和积极性，但近年来出现很多中学生在学校看武侠小说的现象，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生在校看武侠小说”这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．依据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生家长有 名，“不赞同”初中生在校看武侠小说的家长所对应的圆心角度数是 ；
（2）请补全条形统计图（标上柱高数值）；
（3）该学校共3000名学生家长，请估计该校抱“不赞同”态度的学生家长人数．
24．（1）计算：10014cos30|3(2018)2π-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭
（2）先化简，再求值：22a 1a 1a 1a 1a 1
--÷+--+，其中a ＝4． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线y=ax 2+2x+c 的解析式:；
（2）点D 为抛物线上对称轴右侧、x 轴上方一点，DE ⊥x 轴于点E ，DF ∥AC 交抛物线对称轴于点F ，求DE+DF 的最大值；
（3）①在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
②点Q 在抛物线对称轴上，其纵坐标为t ，请直接写出△ACQ 为锐角三角形时t 的取值范围．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．910或95
14
15．x ＞3
1617．67.5︒
18．x （x+2）（x ﹣2）．
三、解答题
19．（1）DE 是⊙O 的切线；（2）证明见解析.
（1）连接OD、BD，根据切线的判定即可求证答案；
（2）易证△BCD∽△ACB，从而BC
AC
=
CD
BC
，即BC2=CD•AC，由（1）知DE=BE=CE=
1
2
BC，所以4DE2=CD•AC，
从而可证明2DE2=CD•OE；
【详解】
（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵OE∥AC，OA＝OB，
∴BE＝CE，
∴DE＝BE＝CE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BCD＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC CD AC BC
，
∴BC2＝CD•AC，
由（1）知DE＝BE＝CE＝1
2 BC，
∴4DE2＝CD•AC，
由（1）知，OE是△ABC是中位线，
∴AC＝2OE，
∴4DE2＝CD•2OE，
∴2DE2＝CD•OE；
【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，切线的判定，圆周角定理等知识，需要学生灵活运用所学知识．
20．(1)5V；(2)圆柱体的底面积为20m2；(3) 注水速度为10m3/s，注满水的时间为200s．
（1）由函数图象及已知可计算出将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量为90V÷18．
（2）当注水18s时，圆柱体刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是hm，这时水的体积为100h，
据100h＝90×
1
18
Sh，求出S；
（3）由已知其速度为Sh
18
，再由10t＝100×20，求出时间t．
【详解】
(1)90V÷18＝5V．
(2)设圆柱体的底面积为Sm2，高为hm．
100h＝90×
1
18
Sh，S＝20，即圆柱体的底面积为20m2
(3)若h＝9，则注水速度为Sh
18
＝
1
18
×20×9＝10m3/s
所以，10t＝100×20，得t＝200(s)
即注满水的时间为200s．
【点睛】
此题考查的是一次函数的应用，关键是由已知和函数图象，列算式求解．
21．x≤3
【解析】
【分析】
（1）按照实数的运算顺序进行运算即可.
（2）根据解不等式的步骤解不等式即可.
【详解】
解：（1）原式132
=+=；
（2）3（1+x）﹣6≤2x，
3+3x﹣6≤2x，
3x﹣2x≤6﹣3，
x≤3.
【点睛】
考查实数的混合运算以及解一元一次不等式，比较基础，难度不大.
22．（1）5；（2）-3x+4
【解析】
【分析】
(1)第一项计算算术平方根，第二项计算零指数幂，第三项计算特殊角的三角函数值，最后计算有理数运算.
（2）利用完全平方公式和去括号法则进行计算，再进行合并同类项运算.
（1）解：原式5115
=+-=
（2）解：原式22
4434
x x x x x
=-+-+=-+
【点睛】
本题考查实数的混合运算和整式运算，解题关键是熟练运用完全平方公式和熟记特殊角的三角函数值. 23．（1）200, 162°；（2）见解析；（3）1350.
【解析】
【分析】
（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的人数，进而可以求得“不赞同”初中生在校看武侠小说的家长所对应的圆心角度数；
（2）根据题意和（1）中的结果可以求得无所谓和很赞同的人数，本题得以解决；
（3）根据统计图中的数据可以求得该校抱“不赞同”态度的学生家长人数．
【详解】
解：（1）本次调查的学生家长有：50÷25%＝200（名），
“不赞同”初中生在校看武侠小说的家长所对应的圆心角度数是360°×90
200
＝162°，
故答案为：200，162°；
（2）“无所谓”的人数是200×20%＝40（名），“很赞同”的人数是200﹣50﹣40﹣90＝20（名），补全条形统计图如右图所示；
（3）3000×90
200
＝1350（名）．
答：估计该校抱“不赞同”态度的学生家长人数有1350名．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（1）﹣4；（2）
1
1
a+
，
1
5
．
【解析】
【分析】
1）根据实数的运算法则即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
解：（13﹣2+1
＝4；
（2）原式＝
221a a -- •（a ﹣1）+11
a a -+ ＝21a a -+ +11
a a -+ ＝11a +， 当a ＝4时， 原式＝15
． 【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
25．（1）y=﹣x 2+2x+3；（2）DE+DF 有最大值为132
；（3）①存在，P 的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23
-＜t ＜83． 【解析】
【分析】
（1）设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），根据系数的关系，即可解答
（2）先求出当x=0时，C 的坐标，设直线AC 的解析式为y=px+q ，把A,C 的坐标代入即可求出AC 的解析
式，过D 作DG 垂直抛物线对称轴于点G ，设D （x ，﹣x 2+2x+3），得出DE+DF=﹣x 2（x-1）=﹣
x 2+（），即可解答
（3）①过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P 1，求出直线PC 的解析式，再结合抛物线的解析式可求出P 1，过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P 2，再利用A 的坐标求出P 2，即可解答
②观察函数图象与△ACQ 为锐角三角形时的情况，即可解答
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），即y=ax 2
﹣2ax ﹣3a ，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；
（2）当x=0时，y=﹣x 2+2x+3=3，则C （0，3），设直线AC 的解析式为y=px+q ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入得03p q q -+=⎧⎨=⎩，解得33p q =⎧⎨=⎩
，∴直线AC 的解析式为y=3x+3，如答图1，过D 作DG 垂直抛物线对称轴于点G ，设D （x ，﹣x 2+2x+3），
∵DF ∥AC ，
∴∠DFG=∠ACO ，易知抛物线对称轴为x=1，。