【精选】高二数学苏教版选修2-2阶段质量检测(一) 导数及其应用

阶段质量检测(一) 导数及其应用
[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为________． 2．曲线y ＝x 3－4x 在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．
3．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x ＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．
4．y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________. 5．函数y ＝sin x
x
的导数为________．
6．若⎠⎛01
(x －k )d x ＝3
2，则实数k 的值为________． 7．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是________． 8．函数f (x )＝3x －4x 3在[0,1]上的最大值为________．
9．(山东高考改编)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．
10．若f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋3(x ≥0)，
－x (x <0)，则
1
－⎰
1
f (x )d x ＝________.
11．设曲线y ＝x n ＋
1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.
12．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．
13．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________． 14．已知f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是________________________________．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－4
3
ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.
(1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．
16．(本小题满分14分)求下列定积分．
(1)12－⎰(1－t 3
)d t ；
(2)1－π⎰(cos x ＋e x )d x ； (3)1
2
⎰x 3－3x 2＋5
x 2
d x .
17．(本小题满分14分)已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－3
2x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围．
18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e ≈2.71，a ∈R )． (1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤
1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围．
19．(本题满分16分)某公司将进货单价为a 元(a 为常数，3≤a ≤6)一件的商品按x 元(7≤x ≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x )2万件．
(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L (x )(万元)与每件商品的售价x (元)的函数关系式；
(2)当每件商品的售价为多少元时，L (x )取得最大值？并求L (x )的最大值．
20．(本小题满分14分)(山东高考)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1
x ＋1，其中a 为常数．
(1)若 a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．
答 案
1．解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝1. 答案：1
2．解析：∵y ′＝3x 2－4，
∴当x ＝1时，y ′＝－1，即tan α＝－1.又∵α∈(0，π)，∴α＝3
4π.
答案：34
π
3．解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a 2
－12≤0⇒－3≤a ≤3，
所以实数a 的取值范围是[－3，3]． 答案：[－3，3]
4．解析：y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，令y ′＝0，则x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝a ，当x ＝1时，y ＝a －1.由题意知a ＝6.
答案：6
5．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝x ·(sin x )′－(x )′·sin x x 2
＝x cos x －sin x
x 2. 答案：x cos x －sin x
x 2
6．解析：⎠⎛01
(x －k )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－kx 10＝12－k ＝32，解得k ＝－1. 答案：－1
7．解析：∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2
－1
x
.
令f ′(x )<0，因为x ∈(0，＋∞)，∴2x 2－1<0，即0<x <2
2
，∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是⎝
⎛⎭
⎫0，
22. 答案：⎝
⎛⎭
⎫0，
22 8．解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝1
2，f (0)＝0，f (1)＝－1，
f ⎝⎛⎭⎫12＝32－1
2＝1.
∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 答案：1
9．解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02
(4x －x 3)d x ＝⎝
⎛⎭⎫2x 2－1
4x 42
＝4.
答案：4
10．解析：因为⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-10 (－x )d x ＋⎠⎛01
(x 2＋3)d x .因为⎝⎛⎭⎫－12x 2′＝－x ，⎝⎛⎭⎫1
3x 3＋3x ′＝x 2＋3，
所以⎠⎛-11
f (x )d x ＝－1
2x 201
-＋⎝⎛⎭
⎫13x 3
＋3x 10
＝236
. 答案：236
11．解析：由于y ′
| x ＝1
＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y
＝0，得x ＝x n ＝n n ＋1，∴a n ＝lg n
n ＋1
，
∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝⎛⎭⎫12×23×…×99100＝lg 1
100＝－2. 答案：－2
12．解析：∵f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2
－1x ，x >0，∴当0<x <1
2
时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当
x >1
2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
0≤k －1<1
2
，
12<k ＋1，
k －1<k ＋1.
∴1≤k <3
2
.
答案：⎣⎡⎭
⎫1，3
2 13．解析：设矩形一边长为x cm ，则邻边长为(10－x )cm ；体积V ＝πx 2(10－x )＝π(10x 2
－x 3)，由V ′＝π(20x －3x 2)＝0得x ＝0(舍去)，x ＝203可以判断x ＝203时，V max ＝4 000
27
π(cm 3)．
答案：4 000
27
π cm 3
14．解析：令g (x )＝x ·f (x ) 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0.∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数．又∵f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)，
∴(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＞0，x 2
－1＞0，
x ＋1＜x 2－1⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＞－1，x ＜－1或x ＞1，x ＜－1或x ＞2.
∴x ＞2.
答案：{x |x ＞2}
15．解：(1)f ′(x )＝2ax －4
3
a ，
由已知得⎩⎨⎧
f ′(1)＝2a －4
3
a ＝1，
f (1)＝a －4
3
a ＋
b ＝2， 解得⎩⎨⎧
a ＝32
，b ＝5
2.
所以f (x )＝32x 2－2x ＋5
2
.
(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 16．解：(1)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3，∴⎠⎛-21
(1－t 3)d t ＝⎝⎛⎭
⎫t －14t 41
2
-＝⎝⎛⎭⎫1－14－(－2－4)＝274
. (2)∵(sin x ＋e x
)′＝cos x ＋e x
，∴⎠⎛-π0
(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )
0-π
＝1－e －
π＝1－1e
π.
(3)⎠⎛24x 3
－3x 2
＋5x 2
d x ＝⎠⎛24
⎝⎛⎭⎫x －3＋5x 2d x 取F (x )＝12x 2－3x －5x ，则F ′(x )＝x －3＋5x
2， ⎠⎛24x 3
－3x 2
＋5x 2
d x ＝F (4)－F (2)＝⎝⎛⎭⎫12×42－3×4－54－⎝⎛⎭⎫12×22－3×2－52＝54. 17．解：(1)依题意f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，
由f ′(1)＝0得a ＝1，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－3
2
x 2＋2x ＋5.
(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，即13x 3－3
2x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个实
数根，
令g (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－3
2x 2＋5－m ，则g (x )有三个零点．由g ′(x )＝x 2
－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x )>0得x <0或x >3；令g ′(x )<0得0<x <3.
∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数． ∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g (x )有三个零点，只需
⎩⎪⎨⎪⎧
g (0)>0，g (3)<0，
解得1
2<m <5.
∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫
12，5.
18．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1.
又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x 2
＋ax －2
y ＝x －1⇒x 2＋(1－a )x ＋
1＝0.由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点．
(2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ，由y ＝0得a ＝x ＋2x ＋ln x ．令h (x )＝x ＋2
x ＋ln x ，则
h ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x 2
.当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1.所以h (x )在⎣⎡⎦⎤1
e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，故h min (x )＝h (1)＝3.由h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋2e －1，h (e)＝e ＋2e ＋1，比较可知h ⎝⎛⎭⎫1e ＞h (e)．所以，当3＜a ≤e ＋2
e
＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点．
19．解：(1)L (x )＝(x －a )(12－x )2(7≤x ≤10)．
(2)L ′(x )＝(12－x )2＋(x －a )(2x －24)＝(12－x )(12＋2a －3x )．令L ′(x )＝0得x ＝
2a ＋12
3或x ＝12.由a ∈[3,6]得2a ＋123∈[6,8]．当2a ＋123∈[6,7]，即3≤a ≤9
2时，L (x )在[7,10]上是减
函数，L (x )的最大值为L (7)＝25(7－a )；
当
2a ＋123∈(7,8]，即9
2<a ≤6时，L (x )在⎝
⎛⎭⎫7，2a ＋123上是增函数，在[2a ＋123，10]上是减函数．
L (x )的最大值为L ⎝⎛⎭⎫2a ＋123＝4(12－a )3
27
综上可知，若3≤a ≤9
2，则当x ＝7时，L (x )取得最大值，最大值是25(7－a )；
若9
2<a ≤6，则当x ＝2a ＋123时，L (x )取得最大值，最大值是4(12－a )327. 20．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．
此时f ′(x )＝2(x ＋1)2.可得f ′(1)＝1
2，又f (1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.
(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2
.
当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，
由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－1
2时，Δ＝0，f ′(x )＝－1
2(x －1)2x (x ＋1)2
≤0，函数
f (x )在(0，＋∞)上单调递减．
②当a ＜－1
2时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．
③当－1
2＜a ＜0，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，
x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1
a
.
由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1
－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )
＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1
2
＜a ＜0时，f (x )在
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫
－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，
－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．。