6.1 线性微分方程的一般理论

定理 1 理 假设 A(t ) 是 n × n 阶矩阵函数, f (t ) 是 n 维列向量. 它们都在区间 a ≤ t ≤ b 上连续的 则对任意 t0 ∈ [a, b] 及任初值问题 一 n 维常向量
x ' = A(t ) x + f (t ) x(t0 ) = η
称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式
(2)定理3 如果向量函数x1 (t ), x2 (t )L , xn (t )在a ≤ t ≤ b上
线性相关, 则它们Wronsky的行列式W (t ) ≡ 0, a ≤ t ≤ b.
证明: 证明 因x1 (t ), x2 (t ) L , xn (t )在a ≤ t ≤ b上线性相关,
c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) + L + cn xn (t ) = 0, a ≤ t ≤ b
故对任一确定的t0 ∈ [a, b], 有
从而存在不全为零的常数c1 , c2 ,L , cn ,使
c1 x1 (t0 ) + c2 x2 (t0 ) + L + cn xn (t0 ) = 0,
则(5.1)可写成
dx = A(t)x + f (t), (5.4) dt
(1)定义 设A(t )是a ≤ t ≤ b上连续的n × n矩阵, f (t )是 定义1 定义
a ≤ t ≤ b上连续的n维列向量函数, 方程组
x' = A(t)x + f (t), (5.4) 在α ≤ t ≤ β ([α , β ] ⊂ [a, b])的解向量u (t ), 是指u (t )
3 函数向量组线性相关与无关的判别准 则 (1) Wronsky行列式 Wronsky行列式
设有n个定义在a ≤ t ≤ b上的向量函数
x11 (t ) x12 (t ) x1n (t ) x (t ) x (t ) x (t ) x1 (t ) = 21 , x2 (t ) = 22 ,L , xn (t ) = 2 n M M M xn1 (t ) xn 2 (t ) xnn (t )
故W (t0 ) = 0,
即常向量组x1 (t0 ), x2 (t0 )L , xn (t0 )线性相关,
由t0的任意性
有W (t ) ≡ 0, a ≤ t ≤ b.
(3)定理4 如果(5.15)的解x1 (t ), x2 (t )L , xn (t )线性无关,
则它们Wronsky的行列式W (t ) ≠ 0, a ≤ t ≤ b.
证明: 证明
若有t0 ∈ [a, b], 使得W (t0 ) = 0, “反证法” 则 常向量组x1 (t0 ), x2 (t0 ) L , xn (t0 )线性相关,
% % % 从而存在不全为零的常数c1 , c2 ,L , cn ,使得
% % % c1 x1 (t0 ) + c2 x2 (t0 ) + L + cn xn (t0 ) = 0, (5.17)
例1 验证向量
是初值问题
e−t u (t ) = − t −e
'
0 1 1 x = x, x(0) = −1 1 0 在区间 − ∞ < t < +∞上的解.
e0 1 u (0) = 0 = −e −1 因为e-t和 − e − t 处处有连续导数, 我们得到 −t 0 1 e−t 0 1 −e ' u (t ) = − t = − t = 1 0 u (t ), e 1 0 −e
(4)定理5 (5.15)一定存在 个线性无关的解 一定存在n个线性无关的解 一定存在 个线性无关的解. 证明: 证明 任取t0 ∈ [a, b], 由解的存在唯一性定理知, (5.15)一定存在满足初始条件
1 0 0 0 1 0 x1 (t0 ) = , x2 (t0 ) = ,L , xn (t0 ) = M M M 0 0 1
由这n个向量函数所构成的行列式
x11 (t ) x12 (t ) x21 (t ) x22 (t ) W [ x1 (t ), x2 (t ),L xn (t ) W (t ) ≡ M M xn1 (t ) xn 2 (t ) L x1n (t ) L x2 n (t ) , O M L xnn (t )
§6.1 线性微分方程的 一般理论
一 一阶线性微分方程组的向量表示
对一阶线性微分方程组:
' x2 = a21 (t ) x1 + a22 (t ) x2 + L + a2 n (t ) xn + f 2 (t ) LLL x ' = a (t ) x + a (t ) x + L + a (t ) x + f (t )
在α ≤ t ≤ β 上满足(5.4), 即
u (t) = A(t)u(t) + f (t), α ≤ t ≤ β.
'
(2)定义 定义2 定义
初值问题
u' (t) = A(t)u(t) + f (t), x(t0 ) =η, (5.5)
的解,就是方程组(5.4)在包含t0的区间[α , β ]的解u (t ), 使得u(t0 ) = η .
称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.
若f (t ) ≡ 0, 则称(5.14)为 非齐线性微分方程组.
一 齐次线性微分方程组
1 叠加原理 定理2 定理 如果x1 (t ), x2 (t )L , xm (t )是方程(5.15)的m个解, 则
它们的线性组合c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) + L + cm xm (t )也是方 程(5.15)的解, 这里c1 , c2 ,L ck 是任常数.
解: 显然
因此,u(t)是给定初值问题的解.
例2 将初值问题
x" + 2 x ' − 8tx = et , x(0) = 1, x ' (0) = −4
化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.
解: 设 x1 (t ) = x,
' 2 ''
x = x = −2 x + 8tx + e = 8tx1 − 2 x2 + e , ' x2 , x1 = 即有 ' t x2 = 8tx1 − 2 x2 + e ,
的解x1 (t ), x2 (t )L , xn (t ); t ∈ [a, b]
且
W (t0 ) = W [ x1 (t0 ), x2 (t0 ),L xn (t0 )] = 1 ≠ 0
故x1 (t ), x2 (t )L , xn (t )在a ≤ t ≤ b上线性无关.
4 通解结构及基本解组 定理6 如果x1 (t ), x2 (t )L , xn (t )是(5.15)n个线性无关的
即有
% % % c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) + L + cn xn (t ) ≡ 0, a ≤ t ≤ b
故解组x1 (t ), x2 (t )L , xn (t )在a ≤ t ≤ b上线性相关, 矛盾
注1: (5.15)n个解x1 (t ), x2 (t )L , xn (t )线性相关 ⇔
'
注: 每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微 分方程构成方程组,反之却不成立. 如: 方程组
x1 (t ) 1 0 x1 (t ) = x (t ) x2 (t ) 0 1 2
不能化为一个二阶微分方程.
'
二、存在唯一性定理
1 存在唯一性定理
W (t ) ≡ 0, a ≤ t ≤ b. 注2: (5.15)n个解x1 (t ), x2 (t )L , xn (t )线性无关 ⇔ W (t ) ≠ 0, a ≤ t ≤ b. 即(5.15)n个解x1 (t ), x2 (t )L , xn (t )所构成的
Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零.
= A(t)∑ci xi (t)
i=1 m
定义 设 x1 (t), x2 (t),L, xm (t ) 是一组定义在区间 [a, b] 上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数 C1,
2 函数向量组线性相关与 无关
C2, ..., Cm , 使得对所有 a ≤ t ≤ b ，有恒等式
c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) + L + cm xm (t ) = 0
则称 x1(t), x2 (t), ..., xm(t) 在区间 [a, b] 上线性相关 线性相关; 线性相关
否则就称这组向量函数在区间 [a, b] 上线性无关 线性无关. 线性无关
例1 证明:函数向量组
cos 2 t 1 − sin 2 t x1 (t ) = 1 , x2 (t ) = 1 , t t
现在考虑函数向量
% x(t )
% % % c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) + L + cn xn (t )
% 由定理2知, x(t )是(5.15)的解,
由(5.17)知, 该解x(t )满足初始条件 x(t0 ) = 0 % %
% 因此,由解的存在唯一性定理知, x(t ) ≡ 0
在任何区间都是线性相关的. 证明: 证明: 取c1 = 1, c2 = −1, 则 cos 2 t − (1 − sin 2 t ) 0 c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) = 1−1 = 0 , 0 t −t
∀t
故x1 (t ), x2 (t )在任何区间线性相关
n n1 1 n2 2 nn n n
x = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + L + a1n (t ) xn + f1 (t )
' 1
(5.1)
若记
A(t ) = (aij (t )) n×n , x = ( x1 , x2 ,L , xn )T ,
f (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ),L , f n (t ))T
(n)
( n −1)
初始条件
ω (t0 ) = η1 , ω ' (t0 ) = η2 ,L , ω ( n −1) (t0 ) = ηn .
三 一阶线性微分方程解结构理论
一阶线性微分方程组:
dx = A(t)x + f (t), (5.14) dt 这里A(t )和f (t )在a ≤ t ≤ b上连续, 若f (t ) = 0则(5.14)变为 dx = A(t)x, (5.15) dt
证明: 由于xi (t )(i = 1, 2,L m)是方程(5.15)的m个解 证明
dxi (t) = A(t)xi (t), i =1,2,L, m 则有 dt m m m dxi (t) d 所以 ∑ci xi (t) = ∑ci dt = ∑ci A(t)xi (t) dt i=1 i=1 i=1
' t t
x2 (t ) = x ' , 则有
也即 x1 (t )
0 1 x1 (t ) 0 = x (t ) + et x2 (t ) 8t −2 2 x1 (0) 1 = x2 (0) −4
(5.5)
在区间 a ≤ t ≤ b 上存在唯一解 x = ϕ(t) .
2 n阶线性微分方程的解存在唯一性定理
推论 如果ai (t )(i = 1, 2,L n)及f (t )都是区间a ≤ t ≤ b
的连续函数, 则对任一t ∈ [a, b]及任意η1 ,η2 ,L ,ηn , 方程
+ a1 (t ) x + L + an (t ) x = f (t ) 存在唯一解 x = ω (t ), 定义于区间 a ≤ t ≤ b, 且满足 x