天津市耀华中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题含答案

天津市耀华中学2023届高三年级第三次月考
数学试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时
120分钟．
第I 卷（选择题
共45分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在规定位置）
1.
设集
{}
2,1,0,1,2A =--.集合
2
{|20}B x x x =--<.则A B = （）
A.{}1,0,1-
B.{}
0,1C.
{}
1,2 D.
{}
1,0,1,2-2.在△ABC 中，“sin sin A B <”是“A ＜B ”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数3
y =
）
A. B.
C. D.
4.2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动．其中由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照[)50,60、[)60,70、…、[]90,100分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（
）
A.图中x 的值为0.02
B.由直方图中的数据，可估计75%分位数是85
C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77
D.90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀
5.已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）
A.210
x y --= B.210
x y +-= C.210
x y -+= D.
210
x y ++=6.设函数()()2
sin cos cos 2f x x x x =+-，则下列结论错误的是（
）
A.()f x 1+
B.()f x 的一个零点为π8
x =C.()f x 的最小正周期为πD.()y f x =的图象关于直线3π
8
x =
对称7.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率为e ，过1F 的直线交双
曲线的左支于M ，N 两点，若2MF N 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e 等于（
）
A.5-
B.5+
C.
D.2
-
8.已知0.5x x =，0.5log y
y x =，log 0.5z
x z =，则（）
A.y x z
<< B.z x y
<< C.x z y
<< D.
z y x
<<9.已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足3222[()][()]()0f x f x x f x x --+=对任意的实数
x 都成立，且值域为[0,1].设函数()1g x x m x =---，（1m <），若对任意的11
(2,2
x ∈-，
存在21x x >，使得21()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围为（）
A.[6,1)
- B.51[,]
22
-- C.[0,1)
D.
1[,0]2
-第Ⅱ卷（非选择题共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在答题纸相应位置上）
10.若1z =-+，则
1
z
zz =-___________.11.5
323x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为__________．12.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺．
13.在三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ===，AB BC AC ===，则三棱锥
-P ABC 外接球的体积是______．
14.已知正数,x y 满足
22
83
1322x xy xy y
+=++，则xy 的最小值是_________．15.已知O 为矩形ABCD 内一点，满足5OA = ，4OC = ，7AC =
，则
OB OD ⋅=
__________．
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．将答案填在答题纸上）
16.已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，
22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-.
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若3a b =，求cos(2)B C +的值.
17.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，//AB DC ，AB BC ⊥，
222AB BC CD ===
，AE BE ==M 为BE 的中点
.
（1）求证：CM ∥平面ADE ；
（2）求平面EBD 与平面BDC 夹角的正弦值；
（3）在线段AD 上是否存在一点N ，使直线MD 与平面BEN
所成的角正弦值为21
，若存在求出AN 的长，若不存在说明理由.
18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，
上顶点为B ，离心率为5
3
，且过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为8
3
.（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线:l y kx m =+与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P .若45
8MP BF m
⋅=
，求直线l 的方程.19.已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）记()2
1n
n n c a =-，*N n ∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ；
（3）设2
23n n d b n =-，记11n n i i
T d ==∑，证明：当*n ∈N 时，23722322n n n T a b +≤+⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
20.已知函数()()()1
ln e 0x f x ax a -=->有最大值2-，
（1）求实数a 的值；
（2）若ln y x =与e x m y -=有公切线()1ln y k x a =++，求()k m k -的值．（3）若有()ln 1ln e
x m
x k x a -≤++≤，求()k m k -的最大值．
天津市耀华中学2023届高三年级第三次月考
数学试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时
120分钟．
第I 卷（选择题
共45分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在规定位置）
1.设集{}
2,1,0,1,2A =--.集合
2
{|20}B x x x =--<.则A B = （）
A.{}1,0,1-
B.{}
0,1C.
{}
1,2 D.
{}
1,0,1,2-【答案】B 【解析】
【分析】解不等式得到集合B ，再利用集合的交集求解.
【详解】()()2
{|20}{|210}{|12}
B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<又{}2,1,0,1,2A =--，所以A B = {}0,1故选：B
2.在△ABC 中，“sin sin A B <”是“A ＜B ”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】先利用大角对大边得到a b <，进而利用正弦定理将边边关系得到sin sin A B <，即证明了必要性，再同理得到充分性．
【详解】在三角形中，若A ＜B ，则边a ＜b ，由正弦定理
sin sin a b
A B
=，得sin sin A B <．若sin sin A B <，则由正弦定理
sin sin a b
A B
=，得a ＜b ，根据大边对大角，可知A ＜B ，即sin sin A B <是A ＜B 的充要条件．故选C .
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行sin sin A B <与A B <的转化.3.函数3
y =
）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】利用2x =时0y >排除选项D ，利用2x =-时0y <排除选项C ，利用12
x =
时0y <排除选项B ，所以选项A 正确.
【详解】函数3
y =
的定义域为{}
1
x x ≠±
当2x =
时，3
0y =
=
>，可知选项D 错误；当2x =-时，
3
0y -=
=
，可知选项C 错误；
当1
2x =
时，3
11
220y ⎛⎫-
⎪==，可知选项B 错误，选项A 正确.
故选：A
4.2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动．其中由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照[)50,60、[)60,70、
…、[]90,100分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（
）
A.图中x 的值为0.02
B.由直方图中的数据，可估计75%分位数是85
C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77
D.90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀【答案】D 【解析】
【分析】根据统计学的有关原理逐项分析.
【详解】对于A ，()0.0050.0350.0300.010101,0.020x x ++++⨯=∴=，正确；对于B ，()0.0050.0200.035100.6++⨯= ，
()0.0050.0200.0350.030100.9
+++⨯=，
∴75%分位数=0.750.6
8010850.3
-+
⨯=，正确；
对于C ，平均数=550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，正确；对于D ，90分以上的人数为20000.1200⨯=，错误；故选：D.
5.已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）
A.210
x y --= B.210
x y +-= C.210
x y -+= D.
210
x y ++=【答案】D 【解析】
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且
AB MP ⊥，根据44PAM PM AB S PA ⋅== 可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最
小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()2
2
114x y -+-=，点M 到直线l
的距离为
2d =
=>，所以直线l 与圆相离．
依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以
1
4442
PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=
，而PA =
，
当直线MP l ⊥
时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．
∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220
y x x y ⎧=+⎪
⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨
=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
6.设函数()()2
sin cos cos 2f x x x x =+-，则下列结论错误的是（
）
A.()f x
1
+
B.()f x 的一个零点为π8
x =C.()f x 的最小正周期为π
D.()y f x =的图象关于直线3π
8
x =对称【答案】B 【解析】
【分析】利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E 图象与性质进行判定.
【详解】2
π()(sin cos )cos 21sin 2cos 2124f x x x x x x x ⎛⎫
=+=+-=+-
⎝
-⎪⎭
，所以
()f x 的最小正周期为π，()f x 1，C ，A 正确；当3π
8
x =
时，3ππsin 2184⎛⎫
⨯-= ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线3π8x =对称，D 正确；因为
π108f ⎛⎫
=≠ ⎪⎝⎭
，所以π8x =不是函数()f x 的零点，B 错误，
故选：B.
7.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率为e ，过1F 的直线交双
曲线的左支于M ，N 两点，若2MF N 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e 等于（
）
A.5-
B.5+
C.
D.2
-
【答案】A 【解析】
【分析】根据双曲线性质设1MF m =，则22MF m a =+，12NF a =，24NF a =，计
算得到()
2m a =-，根据勾股定理解得答案.【详解】2MF N 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，
设1MF m =，则22MF m a =+，12NF a =，2224NF a a a =+=，
则22NF =
，即)42a m a =+，解得()
2m a =-，
在直角12MF F △中：()
()2
2
242c a ⎡⎤=-+⎣
⎦
，
化简得到22
22054
c e a -===-故选：A.
8.已知0.5x x =，0.5log y
y x =，log 0.5z
x z =，则（
）
A.y x z <<
B.z x y
<< C.x z y
<< D.
z y x
<<【答案】A 【解析】
【分析】将0.5x x =变形为0.5log x x =，然后从对数函数的定义域及单调性考虑，结合指数函数的值域，得到0.51x <<，进而得到1x z <<，()0.5,1y ∈，y x x <，
结合0.5log x x =，0.5log y y x =，得到0.50.5log log x y <，x y >，求出y x z <<.
【详解】要比较0.5x x =，0.5log y
y x =，log 0.5z
x z =中的,,x y z 大小，
等价于比较0.5log x x =，0.5log y y x =，log 0.5z
x z =中的,,x y z 大小，
∵0.5log x x =，由定义域可知0x >，故0.50.51log 0log x >=，
∵0.5log y x =在定义域上单调递减，
0.501,0log 1x x ∴<<<<，
0.51x ∴<<，
∵0.50z >，
∴1log 0log x x z >=，∵0.51x <<，∴01z <<，
故()0.50,1z
∈，则()log 0,1x z ∈，
1x z ∴<<，
0.5log y y x =，由定义域可知：0y >，
又∵0.51x <<，
∴()0,1y
x ∈，则()0.5log 0,1y ∈，
()0.5,1y ∴∈，故y x x <，
∵0.5log x x =，0.5log y
y x =，
∴0.50.5log log x y <，
x y ∴>，y x z ∴<<.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：
（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；
（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；
（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0或1的关系，从而确定所比两值的大小关系．
9.已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足3222[()][()]()0f x f x x f x x --+=对任意的实数
x 都成立，且值域为[0,1].设函数()1g x x m x =---，（1m <），若对任意的11
(2,2
x ∈-，
存在21x x >，使得21()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围为（）
A.[6,1)
- B.51[,]
22
-- C.[0,1)
D.
1[,0]2
-【答案】D 【解析】
【分析】先根据函数()f x 满足的关系式及奇偶性，值域，得到()1,1,111,1x f x x x x <-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩，再
写出1,()21,11,1m x m g x x m m x m x -<⎧⎪
=--≤≤⎨⎪-+>⎩
，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当1x >时，
()11g x m =-+≥及1,2
⎛⎫
∈-∞ ⎪⎝
⎭
x 时，()g x 的图象要位于()f x 的下方，得到
1122g f ⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求出实数m 的取值范围.【详解】3222[()][()]()0f x f x x f x x --+=变形为[]
2
2
[()]()10f x x f x --=，
所以()1f x =或22()f x x =，即()1f x =或()f x x =，因为()f x 为偶函数，且值域为[0,1]，
所以()1,1,111,1x f x x x x <-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
，
因为1m <，所以1,()121,11,1m x m g x x m x x m m x m x -<⎧⎪
=---=--≤≤⎨⎪-+>⎩
，
在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：
要想满足若对任意的11
(2,)2
x ∈-，存在21x x >，使得21()()g x f x =成立，则当1x >时，()11g x m =-+≥，所以0m ≤，且1,2⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝
⎭x 时，()g x 的图象要位于()f x 的下方，
故只需1122g f ⎛⎫⎛⎫
≤
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即12m -≤，解得：12m ≥-，综上：实数m 的取值范围是1
[,0]2
-.故选：D
【点睛】对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，求出参数的取值范围.
第Ⅱ卷（非选择题共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在答题纸相应位置上）
10.
若1z =-+，则1
z
zz =-___________.
【答案】1i 33
-+【解析】
【分析】代入后利用复数的乘法运算法则计算即可.
【详解】由于1z =-+
，所以
1313
1333
z zz -+==-+-i
.故答案为：1i 33
-
+.11.5
323x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为__________．【答案】270-【解析】
【分析】写出二项展开式的通项()
531523C r
r
r
r T x
x -+⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
，令3(5)2r r -=即可得
3r =，代入计算可得其常数项.
【详解】由题意可知，其通项为()
()533(5)15
52231C 3C r
r
r r r r r r
T x x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，令3(5)2r r -=，得3r =；则常数项为()
()3
2
3333
5
523C
3C 270x x ⎛⎫-=-=- ⎪
⎝⎭
.故答案为：270
-12.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺．【答案】40【解析】
【分析】把对应的十二节气分别对应成等差数列的前12项，相当于已知11215.5, 4.5a a ==，
求解5678a a a a +++.
【详解】设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长以此成等差数列{}n a ，设公差为d ，则11215.5, 4.5a a ==所以15.511 4.5d +=，则1d =-，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为
567811.510.59.58.540
a a a a +++=+++=故答案为：40
13.在三棱锥-P ABC
中，PA PB PC ===
，AB BC AC ===，则三棱锥
-P ABC 外接球的体积是______．
【答案】1256
π
【解析】
【分析】作出图形，取等边ABC 的中心G ，连接PG ，可知三棱锥-P ABC 外接球球心在直线PG 上，设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，根据几何关系列出关于R 的方程，解出R 的值，进而可求得三棱锥-P ABC 外接球的体积.
【详解】取等边ABC 的中心G ，连接PG 、AG
，如下图所示：
PA PB PC ===
，AB BC AC ===，所以，三棱锥-P ABC 为正三棱锥，
所以，三棱锥-P ABC 外接球球心O 在直线PG ，设该球的半径为R ，由正弦定理得
2
2sin
3
AB
AG π=
=
，所以，4PG ==，
由勾股定理得222OA OG AG =+，即2
244R R =-+，解得52
R =
，因此，三棱锥-P ABC 外接球的体积为3
34451253326V R πππ
⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
.
故答案为：
1256
π
.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，要分析出球心的位置，并结合几何关系列等式
求解，考查计算能力，属于中等题.14.已知正数,x y 满足
22
83
1322x xy xy y
+=++，则xy 的最小值是_________．【答案】52
【解析】
【分析】根据题意，将等式
22
83
1322x xy xy y +=++化简变形，得到xy 的表达式，根据表
达式特征利用换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.
【详解】根据题意，由2
2831322x xy xy y +=++可得2222
8(2)3(32)
1(32)(2)
xy y x xy x xy xy y +++=++，即322223221)
6914384384y x xy x x y xy y x xy y y x ++=+++=+所以222
22
2221691416914383844y y
y x xy x x y y y x xy
x x
xy ++=+=+++++；又因为,x y 均是正数，令()0,y t x =∈+∞，则2
216149
83
()4xy f t t t t t =++++=
所以，22221831
()4444316149348388183
t t t t t t t t t f t t +++++==-=++++-
+令23
84)183
(g t t t t ++=+，
则16162112110101899()92718396183272727g t t t t t ⎛⎫=++=+++≥ ⎪++⎝⎭当且仅当16
21996183
t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即1
2t =时，等号成立；所以
2181455
()441841827183
3
2f t t t t +=+=-
≥-=
+所以()f t 的最小值为min 5()2
f t =;
即当1,22y t x y x =
===
时，即52
x y ==时，等号成立.
故答案为：
52
【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出xy 的
表达式，根据2222
41691438y x y xy
y x x x y
++=++可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式求解即可.
15.已知O 为矩形ABCD 内一点，满足5OA = ，4OC = ，7AC =
，则OB OD ⋅=
__________．
【答案】4-【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算、数量积的运算律以及余弦定理可求出结果.
【详解】OB OD ⋅=
()()
OA AB OC CD +⋅+ OA OC =⋅ OA CD +⋅ AB OC +⋅ AB CD +⋅ OA OC =⋅ OA AB -⋅ AB OC +⋅ AB CD
+⋅ OA OC =⋅ ()AB OC OA AB CD +⋅-+⋅
OA OC =⋅ AB AC AB CD
+⋅+⋅ OA OC =⋅ ()
AB AC CD +⋅+
OA OC =⋅ AB AD +⋅ OA OC =⋅ ||||cos ,OA OC OA OC =⋅<>
222
||||||||||2||||
OA OC AC OA OC OA OC +-=⋅⋅
⋅
222||||||2
OA OC AC +-=
251649
2
+-=
4=-.
故答案为：4-.
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．将答案填在答题纸上）
16.已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，
22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-.
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若3a b =，求cos(2)B C +的值.【答案】（Ⅰ）3
π
；（Ⅱ）1
7
-
.【解析】
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）利用正弦定理的边角互化可得sin 3sin A B =，再由2
3
A B π+=求出3tan 5B =，
再利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（Ⅰ）∵22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-∴由正弦定理得22()a b c ab -=-，即222a b c ab +-=∴1
cos 2
C =
，又∵(0,)C π∈∴3
C π=
；（Ⅱ）∵3a b =，∴由正弦定理得sin 3sin A B =，∵23A B π+=，∴2sin 3sin 3B B π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，
∴tan B =∴0,
2B π⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭∴2157sin ,cos 1414
B B ==，∴5311
sin 22sin cos ,cos 21414
B B B B ==
=∴1
cos(2)cos 2cos sin 2sin 7
B C B C B C +=-=-
17.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，//AB DC ，AB BC ⊥，
222AB BC CD ===
，AE BE ==M 为BE 的中点.
（1）求证：CM ∥平面ADE ；
（2）求平面EBD 与平面BDC 夹角的正弦值；
（3）在线段AD 上是否存在一点N ，使直线MD 与平面BEN 所成的角正弦值为46
21
，若存在求出AN 的长，若不存在说明理由.【答案】（1）见解析
（2）
25
5
（3）
22
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解（3）待定系数法表示N 点坐标，由空间向量求解【小问1详解】
取AE 中点F ，连接,DF MF
M 是BE 的中点，//MF AB ∴，1
2
MF AB =
，故//MF CD ，MF CD =，四边形MFDC 为平行四边形，
//MC FD ∴，而MC ⊄平面ADE ，FD ⊂平面ADE ，
CM ∴∥平面ADE
【小问2详解】
因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面
ABE AB =，所以BC ⊥平面ABE ，
取AB 中点O ，连接,OD OE ，易得DO ⊥平面ABE ，OB OE ⊥以O 为原点，,,OE OB OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
则有(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)E B C D
，
(0,1,1),1,0)BD BE =-=-
，
设平面EBD 的一个法向量为1(,,)n x y z =
，
由1100n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得00y z y -+=⎧⎪-=，取1x =
，得1n =
，
易知平面BDC 的一个法向量为2(1,0,0)n =
，
则1212||cos =5||||n n n n θ⋅=
，sin 5
θ=，
故平面EBD 与平面BDC
．【小问3详解】
(0,1,0)A -，(0,1,1)AD = ，设(0,,)AN t AD t t ==
，[0,1]
t ∈则(0,1,)N t t -，(0,2,)BN t t =-
，1,0)BE =-
，
设平面BEN 的一个法向量为(,,)n x y z =
，
由00n BN n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
得(2)0
t y tz y -+=⎧⎪-=，
得,,2)2n t t =-
，而1(,,1)22MD =-- ，
故11
|2|
||4622sin 21||||
t t t MD n MD n α--+-⋅== ，21634130t t -+=，解得1
2t =
或138
t =（舍去）故12
22
AN AD =
=18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，
上顶点为B ，离心率为5
3
，且过点F
且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为83
.（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线:l y kx m =+与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P .若45
8MP BF m
⋅=
，求直线l 的方程.【答案】（1）22
1
94
x y +=（2）510944
y x =+【解析】
【分析】（1）通过通径和离心率联立方程可得；（2）分别计算出,,,M P B F 的坐标，再根据
直线与椭圆相切求出,m k 之间的关系式，代入45
8MP BF m
⋅= 可求得,k m ,进而求出直线方
程.
【小问1详解】
(),0F c ，则过F 的垂线为x c =，联立椭圆方程得：2222222
2221,c y b c b y b y a b a a
+=∴=-∴=±弦长=282,3b a =又53c e a ==，联立222a b c =+
解之得：3,2,a b c ===所以，椭圆的标准方程为22
1
94
x y +=【小问2详解】由（1）知(
)
)
()5
0,2,,,0,(0)2
BF NP B F
k k N m m ∴=-
∴=
>
，5:,,02NP l y x m P ⎛⎫∴=
+∴- ⎪⎝⎭
将直线与椭圆联立()22
2214936094
x y x kx m y kx m ⎧+
=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩
整理得：(
)
2
22
94189360
k x kmx m +++-=相切()()()
2
2
2
2
2
184949360,9 4.
km k m m k ∴-+-=∴=+
代入()22294189360k x kmx m +++-=解得：9M k x m =-299,k k M m m m ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭
()
22995,2,,5k k BF MP m m m m ⎛⎫∴=-=-+- ⎪⎝⎭ 222999518525458k k k k m MP BF m m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⋅=⎭
解之：51095109,,:4444
k m l y x ==∴=+【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19.已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）记()21n
n n c a =-，*N n ∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ；（3）设223n n d b n =-，记11n
n i i T d ==∑，证明：当*n ∈N 时，23722322n n n T a b +≤+⎛⎫- ⎪⎝⎭．【答案】（1）21n a n =-；3
n n b =（2）2
8n （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式进行计算可求出结果；
（2）根据()
()()()221222128(21)12211141n n n n c c n n n --+=-⋅--+-⋅-⎡=⎣-⎤⎦进行并项求和可求出结果；
（3）转化为证明()273142231n n T n ≤-⋅⋅-+，根据()2121311223231n n n d n n -⎛⎫≤- ⎪ ⎪⋅-⋅-+⎝⎭进行裂项求和可证明不等式成立.
【小问1详解】
因为{}n a 是公差为2的等差数列，且864S =，所以18782642
a ⨯+⨯=，解得11a =，所以()12121n a n n =+-=-；
设等比数列{}n b 的公比为()0q q >，
因为13b =，3218b b -=，所以23318q q -=，即260q q --=，
解得2q =-（舍去）或3q =，
所以1333n n n b -=⨯=．
【小问2详解】
由（1）得()()()2
21121n n n n c a n =-=-⋅-，则()
()()()2212221212211141n n n n c c n n --+=-⋅--+-⋅-⎡⎤⎣⎦()()()()()()22222214314141431688(21)n n n n n n n n =--⋅-+-⋅-=---=-=-，
()()()
21234212n n n S c c c c c c -=++++⋅⋅⋅++()()2121813521882
n n n n +-⎡⎤⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-=⨯=⎡⎤⎣⎦．【小问3详解】
由（1）可知：21223
23n n n d n n b -=-=⋅-．又3n n b =，21n a n =-，所以要证明原不等式成立，只需证明：()273142231n n T n ≤
-⋅⋅-+成立．当1n =时，左边=1，右边=1，左边=右边．
当2n ≥时，因为()()()212212231112323231n n n n n n d n n n --⎡⎤⋅-+⎣⎦==⋅-⎡⎤⋅-⋅-+⎣⎦
()
()()2
211223111432123231n n n n n n n n --⎡⎤⋅-+=⋅-⎢⎥⋅-+⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦，因为223(1)n n ⨯-+2
2(12)(1)n n =+-+012222(C C 2C 2C 2)(21)
n n n n n n n n =+⋅+⋅++⋅-++ 012222(C C 2C 2)(21)n n n n n ≥+⋅+⋅-++222(1222)(21)n n n n n =++--++2321(32)10n n n n =-+=-+>，
所以223(1)0n n ⨯-+>，
因为143(21)n n -⋅-+14(12)(21)n n -=+-+01111114(C C 2C 2
)(21)
n n n n n n -----=+⋅++⋅-+ 01114(C C 2)(21)n n n --≥+⋅-+650n =->，所以143(21)0n n -⋅-+>，
因为()()2231121022
n n n n +-+=-->，所以2221(1)3n n +<+，所以()()221223123(1)022432123(1)33
n n n n n n n n -⋅-+⋅-+<<⋅-+⋅⋅-+23=，即()()2
12313043212
n n n n -⋅-+<<⋅-+．所以当2n ≥时，有()2121311223231n n n d n n -⎛⎫≤- ⎪ ⎪⋅-⋅-+⎝⎭
，所以12212111311111112299382323(1)n n n d d d n n -⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-++- ⎪⋅-⋅-+⎝⎭ 231112223(1)n n ⎛⎫=+- ⎪⋅-+⎝⎭即12111n d d d ++⋅⋅⋅+<231112223(1)n n ⎛⎫+- ⎪⋅-+⎝⎭
，所以2
7314223(1)n n T n <-⋅⋅-+，于是，当*n ∈N 时，()2
73142231n n T n ≤-⋅⋅-+成立．
综上所述：当*n ∈N 时，23
722322n n n T a b +≤+⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：通过放缩得到()2121311223231n n n d n n -⎛⎫≤- ⎪⋅-⋅-+⎝⎭
，并利用它进行裂项求和是解题关键.
20.已知函数()()()1ln e
0x f x ax a -=->有最大值2-，（1）求实数a 的值；
（2）若ln y x =与e x m y -=有公切线()1ln y k x a =++，求()k m k -的值．
（3）若有()ln 1ln e
x m x k x a -≤++≤，求()k m k -的最大值．【答案】（1）1
e a -=（2）()1
k m k -=（3）1
【解析】
【分析】（1）求导根据导函数的正负确定原函数的单调性，进而根据最大值为2-求解即可；
（2）分别对两函数求导，设切点，并结合导数的几何意义列式，分别得出ln k k =-与1ln k m k
=-即可求解；（3）转化可得()min e 10x m kx k ---+≥在R 上恒成立，构造函数
()()e 1R x m u x kx k x -=--+∈，求导分情况讨论k 的范围，从而分析()u x 的最小值可得1ln mk k k ≤-；同理()max ln 10x kx k --+≤在()0,∞+上恒成立，构造
()()ln 10v x x kx k x =--+>，求导分析最大值可得ln k k -≤，从而得到21mk k -≤即可.
【小问1详解】
由题意()11e x f x x
-'=-为减函数，且()10f '=，故在()0,1上()0f x ¢>，()f x 单调递增，在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减.
故()12f =-，即ln 12a -=-，解得1e a -=，
经检验，1e a -=符合题意．故1e a -=．
【小问2详解】
由（1）ln 1a =-，故()1ln e 1x f x x -=--，公切线公切线1y kx k =+-.
设ln y x =上切点为()11,ln x x ，则11k x =
，代入切线()()1111111ln 1111x k x x x x =+-=
+-=，解得ln k k =-①.设e x m y -=上切点为()22,e
x m x -，2e x m k -=，切线方程()222e e x m x m y x x ---=-，()
222e e 1x m x m y x x --=+-由于公切线()2
22e e
11x m x m k x k --⎧=⎪⎨-=-⎪⎩解得21111k x k k
--==-，21x k =因此代回，可得1e m k k -=，1ln k m k =-②再代入①，得1k m k
-=-，()1k m k -=【小问3详解】
对于e 1x m kx k -≥+-，可得不等式e 10x m kx k ---+≥在R 上恒成立，
即()
min e 10x m kx k ---+≥在R 上恒成立，设()()e 1R x m u x kx k x -=--+∈，则()e x m u x k -'=-，
若0k ≤，则()0u x '>，函数()u x 在R 上单调递增，
且()e 10x m u x kx k -=--+>，符合题意；
若0k >，令()0ln u x x m k '<⇒<+，令()0ln u x x m k '>⇒>+，
所以()u x 在(),ln m k -∞+上单调递减，在()ln ,m k ++∞上单调递增，
所以()()min ln ln 1u x u m k mk k k =+=--+，
由()min 0u x ≥，得ln 10mk k k --+≥，即1ln mk k k ≤-①；
对于1ln kx k x +-≥，可得不等式ln 10x kx k --+≤在()0,∞+上恒成立，
即()max ln 10x kx k --+≤在()0,∞+上恒成立，
设()()ln 10v x x kx k x =--+>，则()1v x k x '=
-，若0k ≤，则()1120v k =->，不符合题意；
若0k >，令()100v x x k '>⇒<<，令()10v x x k
'<⇒>，
所以()v x 在10,k ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，所以()max 1ln v x v k k k ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭
，由()max 0v x ≤，得ln 0k k --≤，即ln k k -≤②．
当0k >时，由①②得，22221ln 11mk k k k k k k -≤--≤+-=，即21mk k -≤，设()ln h k k k =+，则()22e 2e 0h --=-+<，()110h =>，
故()h k 存在零点0k ，故21
mk k -≤当且仅当0k k =，000
1ln k k m k -=时等号成立．综上，2mk k -的最大值为1．
【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义解决切线的问题，同时也考查了构造函数解决不等式恒成立的问题.需要根据题意将不等式转化到一边，构造函数，求导分情况讨论分析函数的最值，并结合前后问的关系推导.属于难题.。