医学高等数学总复习

随机变量及其分布随机变量源自概念理解随机变量的定义，掌握离散型随机 变量和连续型随机变量的概念。
连续型随机变量的概率密度
掌握均匀分布、指数分布、正态分布 等连续型随机变量的概率密度函数及
数字特征。
离散型随机变量的分布律
掌握0-1分布、二项分布、泊松分布 等离散型随机变量的分布律及数字特 征。
随机变量的函数的分布
03
函数图形的描绘
了解函数图形的描绘方法，会利用一阶、二阶导数判断函数的单调性、
极值、拐点和凹凸性等信息，从而描绘出函数的图形。
03 一元函数积分学
不定积分的概念与性质
不定积分的定义
不定积分是求一个函数的原函数或反导数的 过程，表示了函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性、常数倍性质等。
01
通过牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，需要找到被积函数的原函
数。
定积分的近似计算
02
当被积函数难以找到原函数时，可以采用数值方法进行近似计
算，如矩形法、梯形法、辛普森法等。
定积分的应用
03
定积分在几何学、物理学、经济学等领域有广泛的应用，如求
曲线长度、求旋转体体积、求平均值等。
04 多元函数微积分学
药代动力学模型
通过建立数学模型，描述药物 在体内的吸收、分布、代谢和 排泄过程。
生物医学建模与仿真
利用高等数学方法建立生物医 学系统的数学模型，进行仿真
和预测。
函数、极限与连续
函数概念及性质
理解函数定义域、值域、对应法则等基本概念，掌握 函数性质如单调性、奇偶性、周期性等。
极限概念及性质
理解数列极限和函数极限的定义，掌握极限的性质和 运算法则。
多元函数在某一点处取得极值的必要条 件是该点的各个偏导数都为零。此外， 还需要通过二阶偏导数判断该点是否为 真正的极值点。
VS
多元函数的极值求法
求多元函数的极值时，首先求出各个偏导 数并令其为零，解出可能的极值点。然后 通过二阶偏导数判断这些点是否为真正的 极值点，并确定其极大值或极小值。
二重积分的概念与计算
连续概念及性质
理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判定方 法。
导数与微分
导数概念及计算
理解导数的定义和几何意义，掌握导 数的基本公式和运算法则。
微分概念及应用
理解微分的定义和几何意义，掌握微 分的基本公式和运算法则，了解微分 在医学中的应用。
积分学基础
不定积分概念及计算
理解不定积分的定义和性质，掌握不定积分的 基本公式和运算法则。
洛必达法则
掌握利用洛必达法则求未定式极限的 方法。
函数单调性的判别法
理解函数单调性的概念，掌握判别函 数单调性的方法。
函数的极值及其求法
理解函数极值的概念，掌握求函数极 值的方法，会解决一些简单的应用问 题。
函数的单调性与极值
函数单调性的定义及判定方法
理解函数单调性的定义，掌握利用导数判断 函数单调性的方法。
常系数线性方程法
适用于形如 y'' + py' + qy = f(x) 的二阶常系数线性方程，通过求 解特征方程得到通解，再根据特定条件确定特解。
变系数线性方程法
适用于形如 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) 的二阶变系数线性方程， 一般采用常数变易法或待定系数法求解。
常微分方程在医学中的应用
函数极值的定义及判定方法
理解函数极值的定义，掌握利用导数判断函 数极值的方法。
最值问题及其应用
了解最值问题的实际意义，掌握求函数在闭 区间上最值的方法。
曲线的凹凸性与拐点
01
曲线凹凸性的定义及判定方法
理解曲线凹凸性的定义，掌握利用二阶导数判断曲线凹凸性的方法。
02
拐点的定义及判定方法
理解拐点的定义，掌握利用二阶导数判断拐点的方法。
药物动力学模型
通过建立药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄等过程的数学模型， 描述药物浓度随时间的变化规律，为临床用药提供理论依据。
传染病模型
利用常微分方程描述传染病的传播过程，预测疫情发展趋 势，为防控策略的制定提供科学依据。
生理系统建模
通过建立生理系统的数学模型，如心血管系统、呼吸系统、神经系统等， 揭示生理现象的内在规律，为医学研究和临床实践提供有力支持。
05 常微分方程与医学应用
常微分方程的基本概念
01
常微分方程的定义
常微分方程是含有未知函数及其导数 （或微分）的方程，其中未知函数是 一元函数。
02
阶、线性与非线性的 概念
常微分方程的阶是指方程中出现的未 知函数的最高阶导数的阶数；线性常 微分方程是指未知函数及其各阶导数 均为一次的方程，否则为非线性常微 分方程。
06 概率论与数理统计基础
随机事件与概率
事件的关系与运算
掌握事件的包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥 事件、对立事件等概念及运算。
01
概率的定义与性质
理解概率的古典定义、几何定义、统计 定义及公理化定义，掌握概率的基本性 质。
02
03
条件概率与独立性
掌握条件概率的定义、乘法公式、全 概率公式和贝叶斯公式，理解事件的 独立性的概念。
03
解、通解与特解的概 念
常微分方程的解是指满足该方程的未 知函数；通解是包含任意常数的解， 特解是满足特定条件的解。
一阶常微分方程的解法
可分离变量法
适用于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的 一阶常微分方程，通过分离变量 并积分求解。
一阶线性方程法
适用于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶常微分方程，通过将其转 化为一阶线性方程并求解。
定积分概念及应用
理解定积分的定义和性质，掌握定积分的计算 方法和应用。
广义积分与含参量积分
了解广义积分和含参量积分的概念及计算方法。
02 一元函数微分学
导数的概念与计算
导数的定义及几何意义
理解导数的定义，掌握利用定义求某些特殊函数的导数的方法；理解导数的几何意义，会求平面 曲线的切线方程和法线方程。
多元函数的概念与极限
多元函数的概念
多元函数是指自变量个数多于一个的函数，通常表示为z=f(x,y)，其中x和y是自变量，z是因变量。
多元函数的极限
多元函数的极限描述了函数在某一点附近的变化趋势。求多元函数的极限时，需要分别考虑各个自变量的变化趋 势，并遵循一定的极限运算法则。
偏导数与全微分
偏导数
基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则
熟记基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则，能熟练求初等函数的导数。
复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微…
理解复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，会求这些函数的导数。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
理解罗尔定理、拉格朗日中值定理和 柯西中值定理的条件和结论，掌握这 些定理的简单应用。
二重积分的概念
二重积分是指对二元函数在某个区域上的积 分，其结果是一个数值。二重积分可以用来 计算平面区域的面积、体积等物理量，也可 以用来解决一些实际问题。
二重积分的计算方法
计算二重积分时，通常将其化为累次积分进 行计算。具体步骤包括确定积分区域、选择 适当的坐标系、将二重积分化为累次积分并 求解。
基本积分公式和法则
熟练掌握基本初等函数的不定积分公式和法 则，如幂函数、三角函数、指数函数等。
换元积分法与分部积分法
换元积分法
通过变量代换将复杂的不定积分转化 为简单的不定积分，包括三角代换、 根式代换等。
分部积分法
将两个函数乘积的不定积分转化为两 个函数分别求不定积分后再相乘的形 式，适用于被积函数是两类不同函数 乘积的情况。
参数估计与假设检验
点估计与区间估计
理解点估计和区间估计的概念 ，掌握矩估计法和最大似然估 计法等点估计方法，以及置信 区间和置信水平的概念及计算 方法。
假设检验的基本思想与步 骤
理解假设检验的基本思想，掌 握假设检验的步骤，包括建立 假设、构造检验统计量、确定 拒绝域和作出决策等。
单个正态总体参数的假设 检验
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上 的积分值，表示了函数图像与x 轴围成的面积。
02
定积分的性质
包括线性性质、区间可加性、保 号性等。
03
定积分的几何意义 与物理应用
定积分的几何意义是曲边梯形的 面积，物理应用包括求变力做功、 求水压力等。
定积分的计算与应用
定积分的计算
偏导数是指多元函数在某一点处，对其中一个自变量求导而保持其他自变量不变所得到的导数。偏导 数反映了函数在该点处沿某一坐标轴方向的变化率。
全微分
全微分是指多元函数在某一点处的全增量可以表示为各个自变量的偏增量与对应偏导数的乘积之和的 形式。全微分反映了函数在该点处的整体变化趋势。
多元函数的极值
多元函数的极值条件
恰当方程法
适用于形如 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 的一阶常微分方程，若 存在函数 u(x, y) 使得 du = Mdx + Ndy，则原方程可化为 du = 0， 从而求解。
二阶常微分方程的解法
可降阶法
适用于某些特殊形式的二阶常微分方程，如 y'' = f(x, y') 或 y'' = f(y, y')，可通过降阶转化为一阶常微分方程求解。
医学高等数学总复习
目录
• 绪论与基本概念 • 一元函数微分学 • 一元函数积分学 • 多元函数微积分学 • 常微分方程与医学应用 • 概率论与数理统计基础
01 绪论与基本概念
高等数学在医学中的应用
生物医学信号处理
利用高等数学工具对生物医学 信号进行分析和处理，如心电
图、脑电图等。
医学影像处理
应用高等数学中的图像处理技 术，对医学影像进行增强、分 割、识别等操作。
理解随机变量的函数的分布的概念， 掌握离散型和连续型随机变量的函数 的分布的求法。
数理统计的基本概念
总体与样本
理解总体与样本的概念，掌握样本数据的收集与整理方法。
统计量与抽样分布
理解统计量的概念，掌握常用统计量的计算方法，如样本均值、样本方差等。了解抽样 分布的概念及几种重要的抽样分布，如χ^2分布、t分布和F分布。
掌握单个正态总体均值和方差 的假设检验方法，包括Z检验、 t检验和χ^2检验等。
两个正态总体参数的假设 检验
了解两个正态总体均值差和方 差比的假设检验方法，包括u 检验、t检验和F检验等。
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