人教版数学八年级上册 第12章 全等三角形 期末复习卷(含答案解析)

第十二章 全等三角形 期末复习卷
一、单选题
1．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 相交于点O ，给出四个条件：
①OB=OC ；②∠EBO=∠DCO ；③∠BEO=∠CDO ；④BE=CD ．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有（ ）
A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．6种
2．如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ，CD =2，则DF 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．如图，BE AC ⊥于点D ，且AD CD =，BD ED =.若54ABC ∠=，则E ∠的度数是（ ）
A ．25
B ．27
C ．30
D ．45
4．如图，在等边△ABC 中，点O 在AC 上，且AO ＝3，CO ＝6，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为点E ，
DE ＝1，BE △ABC 的周长是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6．如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，则BC 边上的中线AD 的取值范围是( )
A ．8＜AD ＜10
B ．2＜AD ＜18
C ．1＜A
D ＜9 D ．无法确定
7．如图所示，在下列条件中，能判断△ABD ≌△BAC 的条件是( )
①∠D=∠C,∠BAD=∠ABC;②∠BAD=∠ABC,AD=BC;③BD=AC,∠BAD=∠ABC;④AD=BC,BD=AC ．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
8．若ABC DEF ∆∆≌，且9AB =，8BC =，6AC =，则DF 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
9．如图，点C ，E 分别在BD ，AC 上，AC ⊥BD ，且AB ＝DE ，AC ＝CD ，则下列结论错误的是（ ）
A ．AE ＝CE
B ．∠A ＝∠D
C ．∠EBC ＝45°
D ．AB ⊥DE
10．下列四个结论：①任何一个三角形的三条高都．
在三角形的内部；②若多边形的内角和为1080︒，则这个多边形是八边形；③有一个角是60°的三角形是等边三角形；④在一个三角形中，较大的角所对的边也较大．其中正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
11．如图，在ABC 中，点M 为BC 的中点，AD 平分,BAC ∠且BD AD ⊥于点D ，延长BD 交AC 于点,N 若12,18AB AC ==，则MD =_______________________．
12．已知△ABC ≌△DEF ，∠A =40°，∠C =60°，则∠E =_____．
13．下列命题：①等边三角形的三个内角都等于60°；②对顶角相等；③同位角相等，两直线平行；④全等三角形的对应角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的是______．(填序号)
14．如图，已知BAC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F ，6AB =，3AC =，则BE 的长为__________．
三、解答题
15．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于点D ，延长AO 交⊙O 于点E ，连接CD 、CE ，若CE 是⊙O 的切线．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为4，OC ＝7，求BD 的长．
16．如图，C 是线段AB 的中点，且CD ∥BE ，CD ＝BE ．试猜想AD 与CE 平行吗？并说明理由．
17．如图，已知∠BDC+∠EFC ＝180°，∠DEF ＝∠B ．
(1)DE 与BC 是否平行，请说明理由；
(2)D 、E 、F 分别为AB 、AC 、DC 中点，连接BF ，若S 四边形 ADEF ＝6,求ABC S ∆．
18．如图，在Rt ABC ∆中，
,,ACB Rt BAC ABC ∠=∠∠∠的平分线, AE BE 相交于点E ，过点E 作,DE AE ⊥交AC 于点G ，交BC 的延长线于点D
（1）求证：;ABE DBE ∆∆≌
（2）当32AB AC ==，时，求CD 的长．
19．已知，在△ABC 中，以△ABC 的两边BC ，AC 为斜边向外测作Rt △BCD 和Rt △ACE ，使∠CAE =∠CBD ，取△ABC 边AB 的中点M ，连接ME ，MD ．
特例感知：
（1）如图1，若AC =BC ，∠ACB =60°，∠CAE =∠CBD =45°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，则ME 与MD 的数量关系为______，∠EMD =______；
（2）如图2，若∠ACB =90°，∠CAE =∠CBD =60°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，请猜想ME 与MD 的数量关系以及∠EMD 的度数，并给出证明；
类比探究：
（3）如图3，当△ABC 是任意三角形，∠CAE =∠CBD =α时，连接DE ，请猜想△DEM 的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点,E F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．
（1）求证：ABE CDF ∆∆≌；
（2）当2AC AB =时，四边形EGCF 是什么样的四边形？试说明理由．
21．如图，在ABCD □中，BD AD ⊥，45A ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，
CD 上的点，且BE DF =，
连接EF 交BD 于点O .
（1）求证：BO DO =.
（2）若EF AB ⊥，延长EF 交AD 的延长线于点G ，当1FG =时，求AD 的长.
22．根据下列语句作图．
(1)作∠AOB ＝100°；
(2)在∠AOB 的内部作射线OC ，使∠BOC ＝50°；
(3)在∠AOB 的外部作射线OD ，使∠DOA ＝40°；
(4)在射线OD 上取点E ，在射线OA 上取点F ，使∠OEF ＝90°；
(5)写出图中的直角．
23．如图，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，点B 在ED 的延长线上．
（1）找出图中一对全等三角形，并证明其全等；
（2）求BEC ∠的度数？若2AE =，3CE =，求BE 的长。

参考答案
1．C
①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出
∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．
解：有①②，①③，②④，③④，共4种，
①②，
理由是：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
①③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC OB OC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，
∵∠OBC=∠OCB（已证），
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC BE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
③④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC BE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故选C．
2．C
根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，且∠ECD=60°，可知△EDC是等边三角形，已知EF⊥DE，∠DEF=90°，可得∠F=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°
∴∠F=30°
∵∠ACB=∠EDC=60°
∴△DEC是等边三角形
∴ED=DC=2
∵∠DEF=90°，∠F=30°
∴DF=2DE=4
故答案为：4
本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等；等边三角形的判定与性质，以及解含30°角的直角三角形．
3．B
由BE 垂直于AC ，且AD=CD ，利用线段垂直平分线定理得到AB=CB ，即三角形ABC 为等腰三角形，利用三线合一得到BE 为角平分线，求出∠ABE 度数，利用SAS 得到三角形ABD 与三角形CED 全等，利用全等三角形对应角相等即可求出∠E 的度数．
∵BE ⊥AC ，AD=CD ，
∴AB=CB ，即△ABC 为等腰三角形，
∴BD 平分∠ABC ，即∠ABE=∠CBE=
12
∠ABC=27°， 在△ABD 和△CED 中， AD CD ADB CDE BD ED ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△ABD ≌△CED （SAS ），
∴∠E=∠ABE=27°，
故选B.
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 4．C
由于将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，当点D 恰好落在BC 上时，易得：△ODP 是等边三角形，根据旋转的性质可以得到△AOP ≌△CDO ，由此可以求出AP 的长．
解：当点D 恰好落在BC 上时，OP ＝OD ，∠A ＝∠C ＝60°，如图．
∵∠POD ＝60°
∴∠AOP +∠COD ＝∠COD +∠CDO ＝120°，
∴∠AOP ＝∠CDO ，
∴△AOP ≌△CDO ，
∴AP ＝CO ＝6．
故选：C ．
本题考查三角形动点问题及等边三角形的性质,三角形全等的判定和性质,关键在于熟练运用基础知识.
5．D
根据含30°角的直角三角形的性质可求出BD的长，根据角平分线的性质可得CD的长，即可求出
BC的长，根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=1
2
AB，利用勾股定理即可求出AC的长，进
而可得AB的长，即可求出△ABC的周长.
∵DE⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE＝1，
∴BC＝3，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝1
2
AB，即AB=2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即（2AC）2＝AC2+32，
解得，AC
则AB＝
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝
故选D．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握相关性质并灵活运用勾股定理是解题关键.
6．C
分析：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接CE ．根据SAS 证明△ABD ≌△ECD ，得CE =AB ，再根据三角形的三边关系即可求解．
详解：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接CE ．
∵BD =CD ，∠ADB =∠EDC ，AD =DE ，∴△ABD ≌△ECD ，∴CE =AB ．
在△ACE 中，CE ﹣AC ＜AE ＜CE +AC ，即2＜2AD ＜18，∴1＜AD ＜9．
故选C ．
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．
7．B
试题解析：A. 符合AAS ，能判断△ABD ≌△BAC ；
B. 符合SAS ,判断△ABD ≌△BAC ；
C. 符合SSA ，不能判断△ABD ≌△BAC ；
D. 符合SSS ，能判断△ABD ≌△BAC ；
所以根据全等三角形的判定方法. 满足SSA 不能判断两个三角形全等.
故选B.
点睛：本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，必须是这边和公共边的夹角对应相等，只有符合以上条件，才能根据三角形全等判定定理得出结论．
8．A
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等即可得．
由全等三角形的性质得：6DF AC ==
故选：A ．
本题考查了全等三角形的性质，熟记性质是解题关键．
9．A
由“HL”可证Rt △ABC ≌Rt △DEC ，可得∠A=∠D ，BC=CE ，可得∠EBC=45°，由余角的性质可证
AB ⊥DE ，利用排除法可求解．
如图，延长DE 交AB 于点H ，
∵AC ⊥BD ，
∴∠ACB ＝∠ECD ＝90°，
在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，
AB DE AC CD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEC （HL ），
∴∠A ＝∠D ，BC ＝CE ，
∴∠EBC ＝45°，
∵∠A +∠ABC ＝90°，
∴∠D +∠ABC ＝90°，
∴AB ⊥DE ，
∴B ，C ，D 正确；
故选：A ．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明Rt △ABC ≌Rt △DEC 是本题的关键．
10．C
①任何一个三角形的三条高都在三角形的内部，错误，如钝角三角形就有两条高在三角形的外部；②若多边形的内角和为1080°，则这个多边形是八边形，正确；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故③错误；④在一个三角形中，较大的角所对的边也较大，正确，
所以正确结论有2个，
故选C.
11．3
通过AD 平分,BAC ∠且BD AD ⊥于点D ，即可得()ABD AND ASA ≅，12AB AN ==，D 为BN 中点，DM 为BNC 的中位线，即可通过NC 求DM ．
解：AD 平分,BAC ∠且BD AD ⊥于点D ，
∴在ABD △和AND △中
BAD NAD AD AD
ADB ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABD AND ASA ∴≅
ABN ∴△为以BN 为底边的等腰三角形，D 为BN 中点
12AB AN ∴==
又18AC =
6CN ∴=
在BNC 中，
D 为BN 中点、M 为BC 中点
DM ∴为BNC 的中位线
132
DM CN ∴== 故答案为：3．
本题考查全等三角形的判定定理及中位线定理，注意找到全等的条件是解题的关键，属于中考常考题型．
12．80°
先根据△ABC ≌△DEF ，得出∠B 的度数，再根据∠A=40°，结合三角形内角和等于180°，可求∠E ． 解：∵∠A=40°，∠C=60°，
∴∠B=80°，
∵△ABC ≌△DEF ，
∴∠E=∠B=80°
故答案是：80°．
此题考查全等三角形的性质，解题关键在于掌握基本性质.
13．①③
分别写出原命题的逆命题，根据等边三角形的性质及判定、对顶角相等、平行线的性质及判定、全等三角形的性质及判定逐一判断即可．
解：①等边三角形的三个内角都等于60°；原命题为真命题，
逆命题为：三个内角都等于60°的三角形是等边三角形，逆命题也是真命题，故①符合题意；
②对顶角相等，原命题为真命题；
逆命题为：相等的角为对顶角，逆命题为假命题，故②不符合题意；
③同位角相等，两直线平行；原命题为真命题，
逆命题为：两直线平行，同位角相等，逆命题也是真命题，故③符合题意；
④全等三角形的对应角相等，原命题为真命题，
逆命题为：三个角相等的三角形是全等三角形，逆命题为假命题，故④不符合题意；
故答案为：①③．
本题考查了原命题与逆命题的判断以及全等三角形的性质及判定、等边三角形的性质及判定等知识点，解题的关键是正确写出逆命题，并熟悉相关的几何知识．
14．1.5
连接DC 、DB ，根据中垂线的性质即可得到DB=DC ，根据角平分线的性质即可得到DE=DF ，从而即可证出△DEB ≌DFC ，从而得到BE=CF ，再证△AED ≌△AFD ，即可得到AE=AF ，最后根据6AB =，3AC =即可求出BE.
解：如图所示，连接DC 、DB ，
∵DG 垂直平分BC
∴DB=DC
∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥
∴DE=DF ，∠DEB=∠DFC=90°
在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，
DE DF DB DC =⎧⎨=⎩
∴Rt △DEB ≌Rt △DFC
∴BE=CF
在Rt △AED 和Rt △AFD 中，
DE DF AD AD =⎧⎨=⎩
∴Rt △AED ≌Rt △AFD
∴AE=AF
∴AB=AE ＋BE=AF ＋BE=AC ＋CF ＋BE=AC ＋2BE
∵6AB =，3AC =
∴BE=12
（AB －AC ）=1.5. 故答案为：1.5.
此题考查的是垂直平分线的性质、角平分线的性质和全等三角形的判定，掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等、角平分线上的点到角两边的距离相等和用HL 证全等三角形是解决此题的关键.
15．（1）证明见解析；（2）BD=177
. （1）通过证明△EOC ≌△DOC ，可得∠ODC=∠OEC=90°，从而得CD 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
（1）证明：连接OD
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴OC ∥AB ．
∴∠EOC ＝∠A ，∠COD ＝∠ODA ，
∵AO ＝DO ，
∴∠A ＝∠ODA ．
∴∠EOC ＝∠COD
∵OD ＝OE ，OC ＝OC ，
∴△ODC ≌△OEC ．
∴∠OEC ＝∠ODC ，
∵CE 是⊙O 的切线，
∴∠OEC ＝90°
， ∴∠ODC ＝90°
． ∵OD 是⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 切线；
（2）连接DE ，
∵AE 是⊙O 直径，
∴∠ADE ＝90°
， ∵∠ODC ＝90°
． ∴∠ADE ＝∠ODC
∵∠COD ＝∠ODA ，∠A ＝∠ODA
∴∠COD ＝∠A ，
∴△ADE ∽△ODC ． ∴AD AE OD OC
=． ∵⊙O 的半径为4，OC ＝7． ∴327
AD =
， ∴BD=177． 本题考查了切线的判定、三角形全等的性质和判定，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 16．AD 与CE 平行，详见解析
根据C 是线段AB 的中点，可得AC ＝BC ，再根据CD ∥BE ，可得∠ACD ＝∠CBE ，再根据SAS 证明△ACD 和△CBE 全等，得∠A ＝∠BCE ，进而证明AD ∥CE ．
解：AD 与CE 平行，理由如下：
∵C 是线段AB 的中点，
∴AC ＝BC ，
∵CD ∥BE ，
∴∠ACD ＝∠CBE ，
在△ACD 和△CBE 中，
AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△CBE （SAS ），
∴∠A ＝∠BCE ，
∴AD ∥CE ．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
17．(1)见解析（2）16
（1）由BDC+∠EFC=180°和∠EFC+∠DFE=180°得到∠BDC=∠DFE，根据平行线的判定得AB∥EF，则∠ADE=∠DEF，而∠DEF=∠B，所以∠ADE=∠B，于是可判断DE∥BC.
（2）由E为AC的中点，根据三角形面积公式得到S△ADE=S△CDE=1
2
S△ADC，再由F为DC的中点得
S△DEF=S△CEF=1
2
S△DEC，而S四边形ADFE=6，则S△ADE+
1
2
S△EDC=6，可计算出S△ADE=4，则S△ADC=8，
然后利用D为AB的中点，根据S△ABC=2S△ADC进行计算即可．
证明：∵∠BDC+∠EFC=180°，
而∠EFC+∠DFE=180°，
∴∠BDC=∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠ADE=∠DEF，
∵∠DEF=∠B，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC.
(2) 解：∵E为AC的中点，
∴S△ADE=S△CDE=1
2
S△ADC，
∵F为DC的中点，
∴S△DEF=S△CEF=1
2
S△DEC，
∵S四边形ADFE=6，
∴S△ADE+1
2
S△EDC=6，
∴3
2
S△ADE=6，
∴S△ADE=4，
∴S△ADC=2×4=8，
∵D为AB的中点，
∴S△ABC=2S△ADC=2×8=16．
本题考查了行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的
性质是由平行关系来寻找角的数量关系；应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．也考查了三角形面积公式．
18．（1）见解析；（2）
（1）利用等角的余角相等，证得∠EAG=∠D ，利用AAS 即可证明结论；
（2）根据勾股定理求得BC 的长，再利用（1）的结论即可求解．
（1）∵BE ，AE 分别平分∠ABC ，∠BAC 的角平分线，
∴∠ABE=∠DBE ，∠BAE=∠EAG ，
∵DE ⊥AE ，
∴∠AED=90°，
∴∠EAG+∠AGE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=90°，
∴∠CGD+∠D=90°，
∵∠EGA=∠CGD ，
∴∠EAG=∠D ，
∴∠BAE =∠D ，
在△ABE 和△DBE 中，
BAE D ABE DBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△DBE （AAS ）；
（2）∵AB=3，AC=2，∠ACB=90°，
∴BC 2+AC 2=AB 2
，得：BC =
==，
∵△ABE ≌△DBE ，
∴AB=BD=3，
∴
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理．利用等角的余角相等，证得∠EAG=∠D 是解题的关键．
19．（1）ME=MD ，∠EMD=90°；（2）ME=MD ，∠EMD=120°；（3）△DEM 是等腰三角形，∠EMD=2α． （1）如图1，证明△EAM ≌△DBM ，可得EM=DM ，先根据三角形的中位线得：
11FM AC MG BC 22===，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12
EF AC =，得EF=FM ，且顶角∠EFM=150°，得∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，相加可得结论；
（2）如图2，证明△MEF ≌△DMG ，可得EM=DM ，∠EMF=∠MDG=15°，相加可得∠EMD=120°； （3）如图，作辅助线，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，同理可证出EF=MG ，DG=FM ，∠3=2∠2，∠4=2∠1，证明△MEF ≌△DMG ．则EM=DM ，∠EMF=∠MDG ．表示∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB ，代入可得结论．
解：（1）ME=MD ，∠EMD=90°；
理由是：如图1，∵AC=BC ，∠ACB=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，
在 Rt △BCD 和Rt △ACE 中，∠CAE=∠CBD=45°，
∴AE ，，
∴AE=BD ，
∵M 是AB 的中点，
∴AM=BM ，
∵∠EAM=45°+60°=105°，
∠DBM=45°+60°=105°，
∴∠EAM=∠DBM ，
∴△EAM ≌△DBM ，
∴EM=DM ，
∵F 、G 分别是AC 、BC 的中点，
∴FM=MG=12
AC=CF=CG ， ∴四边形CFMG 是菱形，
∴∠FMG=∠BCA=60°，
Rt △ACE 中，∵F 是斜边AC 的中点，
∴EF=1
2
AC=FM，
∵∠EFM=90°+60°=150°，
∴∠FEM=∠FME=15°，
同理∠DMG=15°，
∴∠EMD=60°+15°+15°=90°，
故答案为：EM=DM，90°；
（2）ME=MD，∠EMD=120°；
证明：∵F，G，M是△ABC的三边AC，BC，AB的中点，
∴FM=1
2
BC=CG，FM∥BC，MG=
1
2
AC=CF，MG∥AC．
∴四边形CFMG是平行四边形，
∴∠AFM=∠FMG=∠ACB=∠MGD=90°．
∵∠AEC=∠BDC=90°，F，G是AC，BC的中点，
∴EF=AF=FC=1
2
AC，CG=BG=DG=
1
2
BC．
∴∠2=∠CEF，∠1=∠CDG，EF=MG，DG=FM．
∴∠3=∠2+∠CEF=2∠2，
∠4=∠1+∠CDG=2∠1.
∵∠2+∠EAC=90°，
∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=60°，
∴∠1=∠2=30°．
∴∠3=∠4=60°．
∴∠EFM=∠3+∠AFM=150°，∠DGM=∠4+∠CGM=150°∴∠EFM=∠DGM．
又∵EF=MG，FM=DG，
∴△MEF≌△DMG．
∴EM=DM，∠EMF=∠MDG=15°．
∴∠EMD=90°+2×15°=90°30°=120°；
（3）△DEM 是等腰三角形，∠EMD=2α．
证明：取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，
同（2）证法相同，可证出EF=MG ，DG=FM ，∠3=2∠2，∠4=2∠1．
∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=α，
∴∠1=∠2=90°
-α． ∴∠3=∠4=2（90°-α）．
∴∠EFM=∠3+∠AFM=∠3+∠ACB ，∠DGM=∠4+∠BGM=∠4+∠ACB ．
∴∠EFM=∠DGM ．
又∵EF=MG ，FM=DG ，
∴△MEF ≌△DMG ．
∴EM=DM ，∠EMF=∠MDG ．
∴△DEM 是等腰三角形；
∵∠EMD=∠FME+∠FMG+∠DMG ，
由（2）知∠FMG=∠ACB ，
∴∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB ．
∵∠MDG+∠DMG=180°
-∠DGM =180°-（∠4+∠ACB ）=180°-2（90°-α）-∠ACB=2α-∠ACB ．
∴∠EMD=2α-∠ACB+∠ACB=2α．
本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，并运用了类比的思想依次解决问题． 20．（1）详见解析；（2）当2AC AB 时，四边形EGCF 是矩形，详见解析；
（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；
（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG ⊥OB ，∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，得出EG ∥CF ，
由△ABE ≌△CDF 得出AE= CF ，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论．
（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB CD =，AB ∥CD ，OB OD =，OA OC =，
∴ABE CDF ∠=∠，
∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴12
BE OB =，12DF OD =， ∴BE DF =，
在ABE ∆和CDF ∆中，
AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABE CDF SAS ∆∆≌；
（2）当2AC AB =时，四边形EGCF 是矩形．
∵2AC OA =，2AC AB =，
∴AB OA =，
∵E 是OB 的中点，
∴AG OB ⊥，
∴90OEG ∠=︒，
同理：CF OD ⊥，
∴AG ∥CF ，
∴EG ∥CF ，
由（1）得△ABE ≌△CDF ，
∴AE= CF ，
∵EG AE =，
∴EG CF =，又EG ∥CF ，
∴四边形EGCF 是平行四边形，
∵90OEG ∠=︒，
∴四边形EGCF 是矩形．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（1）见解析；（2
）AD =.
（1）通过证明△ODF 与△OBE 全等即可求得．
（2）由△ADB 是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF ⊥AB ，得出∠G=45°，所以△ODG 与△DFG 都是等腰直角三角形，从而求得DG 的长和EF=2，然后平行线分线段成比例定理即可求得．
解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴，
CDB ABD ∴∠=∠，即FDO EBO ∠=∠．
在DOF ∆与BOE ∆中，,,,DOF BOE FDO EBO DF BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BOE DOF AAS ∴∆∆≌，BO DO ∴=．
（2）AB CD ，
GDF A ∴∠=∠，GFD GEA ∠=∠，
EF AB ⊥，90GFD ∴∠=︒．
45A ∠=︒，45GDF ∴∠=︒，45G ∴∠=︒，DF FG ∴=．
11FG DF =∴=
，DG =
90BDG ∠=︒
，DO BO DG ∴===
BD ∴=
45A ∠=︒，90ADB ∠=︒
，AD BD ∴==．
本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和等腰直角三角形，解题关键在于证明△ODF 与△OBE 全等即可
22．(1)详见解析；(2) 详见解析；(3) 详见解析；(4) 详见解析； (5)∠OEF ，∠DEF ，∠DOC
严格按照所给顺序画图，注意是在内部还是在外部画图，注意射线的端点为O ，及垂足应为E .根据题意可写出图中的直角.
解：(1)(2)(3)(4)如图所示，
(5)根据题意可清晰的得到图中的直角为：∠OEF ，∠DEF ，∠DOC.
本题主要考查学生对角和垂线的画法的掌握，注意抓住关键词作图
.
23．（1）△ABD≌△ACE，证明见解析；（2）60°，5
（1）根据等边三角形的性质推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，根据SAS可证
△ABD≌△ACE；
（2）根据全等三角形的性质推出∠ABD=∠ACE，根据∠BAC+∠ABD=∠ACE+∠BEC,推出
∠BEC=∠BAC=60°即可．
（1）△ABD≌△ACE，证明如下，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE.
（2）如图，设AC与BE交于点O,
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠AOB=∠EOC, ∠AOB+∠ABE+∠BAC=∠EOC+∠ACE+∠BEC,
∴∠BEC=∠BAC=60°,
即∠BEC =60°；
∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE=3，
∵△ADE是等边三角形,
∴DE=AE=2，
∴BE=BD+DE=3+2=5
本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合应用，掌握全等的模型图是解答此题的关键.。