江苏省清江中学2016届高三上学期第一次模拟考试数学试题 含解析

一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1。

设集合{1,2,3,4,5}
B=，则()
A=，{2,3,4}
U=，{1,2,3}
C A B=。

U
【答案】{5}
【解析】
试题分析：{1,2,3,4}
A B=，所以(){5}
C A B=．
U
考点：集合的运算．
2。

某程序框图如图所示，若判断框内为4
K>，则输出的
S= 。

【答案】57
考
点：程序框图．
3。

某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 根在棉花纤维的长度大于25mm.
【答案】40 【解析】
试题分析：(0.0550.0250.015)10040⨯+⨯+⨯⨯=． 考点：频率分布直方图． 4. 已知等差数列{}n
a 满足2
44a
a +=,3510a a +=，则它的前10项的和
10S = 。

【答案】95
考点:
等差数列的前n 项和． 5.
已知双曲线22122x y -=的准线经过椭圆22
214x y b
+=(0)b >的焦点，则
b = 。

【答案】3【解析】
试题分析：双曲线22122x y -=中2a b ==22
2c a b +=，其准线为21a x c
==，
所以2
41b
-=，3b =
考点：双曲线与椭圆的几何性质．
6。

将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数
sin()6
y x π
=-的图象，则ϕ
等于 。

【答案】116
π
【解析】
试题分析：因为11sin()sin(2)sin()6
6
6
y x x x ππππ=-=-+=+，所以116
πϕ=．
考点:三角函数的图象平移，诱导公式．
7. 设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=，若(1)2f =，则
(99)f =
.
【答案】132
考点：函数的周期性．
【名师点晴】
1．周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f（x)的周期，则kT （k∈Z,k≠0）也一定是f(x）的周期，周期函数的定义域无上、下界．
2．设a为非零常数，若对f（x）定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f（x＋a）＝－f（x）；②f(x＋a）＝错误!；③f(x＋a）＝－错误!；④f(x＋a）＝错误!；⑤f（x＋a)＝错误!;⑥f（x＋a）＝f（x－a)，则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期（上述式子分母不为零）．
8. 对于以下命题：
（1）若两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行;（2）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；
（3）若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与两个平面的交线平行；
（4)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行.
则真命题有个.
【答案】1
考
点：命题的真假判断，空间线面的位置关系．
9。

以点(2,1)-为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 。

【答案】2
225(2)(1)2
x y -++=
【解析】
试题分析：由题意216
2
2
r --==
，所以圆的方程为2225(2)(1)2x y -++=．
考点：圆的方程．
10.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，则1(21)()3
f x f -<的x 的取值
范围 . 【答案】12(,)33
【解析】
试题分析：因为()f x 是偶函数，所以不等式1(21)()3
f x f -<得1(21)()3
f x f -<，
又()f x 在[0,)+∞上是增函数，所以1213
x -<，解得123
3
x <<．
考点:函数的奇偶性与单调性．
【名师点晴】解函数不等式()()f m f n >的方法一般是利用函数的单调性，直接去掉符号""f ，化为()m n m n ><或,如果函数()f x 为奇函数，题目形式为1
2
()()0f x f x +>形式，化为2
2
()()f x f x >-，如果函数()f x 为偶函数，题
目形式为1
2
()()f x f x >形式，化为12
()()f x f x >．
11。

不等式2
ln x x x +>的解集为 .
【答案】(1,)+∞
【解析】
试题分析：当01x <≤时，2
x x <，ln 0x ≤，所以2ln x x x +≤，当1x >时，2x x >，
ln 0x >，所以2ln x x x +>，因此原不等式的解集为(1,)+∞．
考点：解函数不等式．
12。

在等腰梯形ABCD 中，已知//AB CD ,3,1AB BC ==，0
60ABC ∠=，动点E
和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE BC λ=,1
9DF DC λ
=,则AE AF •的最小值为 . 【答案】2318
考
点：向量的数量积．
13. 已知函数3
|lg()|,0
()64,0
x x f x x x x -<⎧=⎨
-+≥⎩，关于x 的函数2
()()3y f x bf x =-+有8个不
同的零点，则实数b 的范围为 . 【答案】19
(23,
]4
【解析】
试题分析：如图作出函数()f x 的图象，(0)4f =因此只有在04m <<时直线
y m =与()y f x =的图象有四个交点，所以要满足关于
x 的函数
2()()3y f x bf x =-+有8个不同的零点，则方程2
30t
bt -+=在(0,4]上有两个不
等实根，22
120443030042
b b b ⎧∆=->⎪-+≥⎪⎪
⎨>⎪
⎪<<⎪⎩，解得19234b <≤．
考点：一元二次方程根的分布，函数的零点．
【名师点晴】含有参数的方程根的个数问题，需要重点研究三个方面的问题：一是函数的单调性；二是函数极值的值的正负；三是区间端点的值正负．题中方程根不能够解出，所以用图象进行研究比较简单．题中方程,需要进行换元，分两步进行研究,一是t ＝f (x )；二是t 2－bt ＋3＝0，由于t 2－bt ＋3＝0最多只有两解，因此t ＝f (x ）必须有4解，这样由函数()f x 的图象知t 必须有范围限制，最终问题转化为一元二次方程根的分布问题． 14。

已知x ，y 是正整数,2
16
max{,
}()
t x y x y =-，则t 的最小值为 。

【答案】8
考
点：均值定理，函数的最值．
【名师点晴】本题是求多元函数的最小值,第一步是借助均值定理利用放缩法化多元问题为一元问题，第二步再根据函数的特征得出最小值．在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件，“一正”是说每个项都必须为正值,“二定”是说各个项的和(或积）必须为定值，“三相等”说的是各项相等时，等号成立． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. （14分）已知A ，B ，C 是三角形ABC ∆三内角，向量(3)m =-，
(cos ,sin )n A A =，且1m n •=。

（1)求角A ； （2）若
221sin 23cos sin B
B B
+=--,求tan C .
【答案】（1）3
A π=；（2）85311
+．
考点:数量积坐标运算，两角和与差的正弦公式、正切公式．
16。

(14分）如图,在四棱锥P-ABCD中，//
DC AB
=，
AB DC,2 =,PB AC
AP AD
⊥，E为PD的中点。

⊥,BD AC
求证：（1)//
AE平面PBC；（2）PD⊥平面ACE。

【答案】证明见解析．
考点：线面平行与线面垂直的判断定理．
17。

（15分）在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材存储区域(如图所示），已知0
∠=，B是墙角线
120
A
AM上的一点，C是墙角线AN上的一点.
(1）若20
==,求存储区域面积的最大值；
BC a
（2）若10
+=，求四边
BD DC
AB AC
==，在折线MBCN内选一点D,使20
形存储区域DBAC的最大面积。

【答案】（1）最大值为10033
;（2）最大面积为503.
【解析】
考点:
三角形面积，余弦定理，椭圆的定义． 18。

(16
分）已知椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，短轴
两个端点为A ，B ，且四边形1
2
F AF B 是边长为2的正方形.
（1）求椭圆的方程；
（2)若C ，D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明：OM OP •为定值。

【答案】(1)22
142
x y +=；(2）证明见解析．
考点：椭圆的标准方程，椭圆的综合应用．
【名师点晴】1．确定一个椭圆的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置）和两个定形条件(即确定a,b 的大小）．当焦点的位置不确定时,应设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1 （a 〉b>0）或错误!＋
错误!
＝1 （a>b 〉0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为
mx 2＋ny 2＝1 （m>0，n>0，且m≠n）．
2．解析几何中的定值问题,可根据已知条件设出一个参数，用这个参数表示出相应点的坐标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出OP OM ⋅，它的最终结果与参数无关，是定值． 19。

（16分)已知直线10x y --=为曲线()log a
f x x b =+在点(1,(1))f 处的一条
切线.
(1)求a ，b 的值；
（2）若函数()y f x =的图象1
C 与函数()n g x mx x
=+(0)n >的图象2C 交于11
(,)P x y ，
22(,)Q x y 两点，其中12x x <，过
PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1
2
,C C 于
点M ，N ，设1
C 在点M 处的切线的斜率为1
k ，2
C 在点N 处的切线的斜率为2
k ，求证：1
2k
k <。

【答案】（1）a e =，0b =;（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1)切线10x y --=的斜率为1，且过(1,0)点，因此有'(1)1,(1)0f f ==，由此可得,a b 值；
（2）首先由的几何意义可求得112
2k x x =+，
22
12()2
n
k m x x =-
+，它们之间的联系是1
1
()()f x g x =，2
2
()()f x g x =，为此应用放
缩法有2
12n
k
m x x >-
,2122112
()()()n x x k x x m x x ->-- 2121()n n
mx mx x x =+-+2211ln ln ln x x x x =-=,2
2112112121
2(
1)
2()()1x x x x x x k x x x x ---==++
，设21x t x =,则只要证明ln t >2(1)1
t t -+在1t >时成立，下面研究函数2(1)()ln 1
t r t t t -=-+（或
()(1)ln 2(1)r t t t t =+--）在[1,)+∞上的单调性，期望它在[1,)+∞的最小值为(1)r 且(1)0r ≥，这利用导数的知识易解决．
试题解析：（1）直线10x y --=的斜率为1，且过(1,0)点， 又
'1()ln f x x a =，∴11ln log 10
a a
b ⎧
=⎪
⎨⎪+=⎩，∴a e =，0b =.
考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值．
【名师点晴】1．(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线"与“在点P 处的切线"的差异；过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． （2）求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可．
(3）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决． 2．利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．本题考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化,本题实质还是利用单调性求最值问题． 20. (本小题满分16分） 已知等比数列{}n
a 的首项12012a
=，
公比1
2
q =-，数列{}n a 前n 项和记为n
S ，
前n 项积记为n
T 。

（1)证明：2
1n S
S S ≤≤；
(2）求n 为何值时,n
T 取得最大值；
（3）证明：若数列{}n
a 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以
使其成等差数列;若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为1
2
,,
,n d d d ,则数列{}n d 为等比数列.
【答案】（1）见解析;（2)12;（3）见解析． 【解析】
（2)
解：1
121112||
||2011
||||
||2n n n n n n n T
a a a a a T a a a +++=
==
∵11
10
20112011122<<,
∴当10n ≤时，1
||||n n T T +>，当11n ≥时，1||||n n T T +<，
故max
11||
||n T T =.
又10
0T
<,110T <，90T >，120T >,
∴n
T 的最大值是9
T 和12
T 中的较大者,
∵10312
10111291
[2011()]12
T
a a a T ==->,∴129T T >， 因此当12n =时，n
T 最大。

考点:等比数列的前n 项和，数列的最大(小)项,等差数列与等比数列的判断．
【名师点晴】 1。

等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考
查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．
2。

有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用①作差法，②作商法，③图象法．求最大项时也可用n
a 满足1
1
n n n n a a a a +-≥⎧⎨
≥⎩;若求最小项，则用n
a 满足
1
1
n n n n a a a a +-≤⎧⎨
≤⎩.本题中数列{}n T 中的正负依次出现，因此首先研究{}n T 的单调性及最大项，再考虑{}n
T 的最大值．。