上海杨园中学数学整式的乘法与因式分解章末训练(Word版 含解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．（阅读材料）
因式分解：()()221x y x y ++++．
解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+．
再将“A ”还原，原式()21x y =++．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
（问题解决）
（1）因式分解：()()2154x y x y +-+-；
（2）因式分解：()()44a b a b ++-+；
（3）证明：若n 为正整数，则代数式()()()
21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方．
【答案】（1）()()144x y x y +-+-1．（2）()2
2a b +-；（3）见解析. 【解析】
【分析】
（1）把（x-y ）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；
（2）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为()()
223231n n n n ++++，进一步整理为（n 2+3n+1）2，根据n 为正整数得到n 2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】
（1）()()[][]21541()14()(1)(144)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-+-； （2）()()2244()4()4(2)a b a b a b a b a b ++-+=+-++=+-； （3）原式()()
223231n n n n =++++
()()2223231n n n n =++++ ()2
231n n =++． ∵n 为正整数，
∴231n n ++为正整数．
∴代数()()()
21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方． 【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
2．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪
（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,5,6)n =的展开式（按a 的次数由大到小的顺序）的系数规
律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着222()2a b a ab b +=++展开式
中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着
+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
（1）写出4()a b +的展开式；
（2）利用整式的乘法验证你的结论．
【答案】（1）++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.
【详解】
（1）4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，
（2）方法一：()()()43a b a b a b +=+•+
=()()322333a b a a b ab b ++++
4322332234=33+33a a b a b ab a b a b ab b ++++++
432234464a a b a b ab b =++++
方法二：()()()422a b a b a b +=+•+
=2222(2)(2)a ab b a ab b ++++
=43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b ++++++++
= ++++432234a 4a b 6a b 4ab b .
【点睛】
解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.
3．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知22
4250x y y x ++-+=，求x y +的值. 解：由已知得22
(21)(44)0x x y y -++++=
即22(1)(2)0x y -++=
∵2(1)0x -≥，2(2)0y +≥
∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩
∴1x y +=-. 题目：已知22464100x y x y +-++=，求xy 的值.
【答案】-
32 【解析】
【分析】
先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入求出xy 的值．
【详解】
解：将22464100x y x y +-++=，
化简得22694410x x y y -++++=，
即()()223210x y -++=．
∵()230x -≥，()2210y +≥，且它们的和为0，
∴3x = ，12y
， ∴12233xy ⎛⎫=⨯-
=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．
4．请你观察下列式子：
2(1)(1)1x x x -+=-
()()23111x x x x -++=-
()()324111x x x x x -+++=-
()()4325111x x x x x x -++++=-
……
根据上面的规律，解答下列问题：
（1）当3x =时，
计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________；
（2）设201720162015222a =+++…322221++++，则a 的个位数字为 ；
（3）求式子201720162015555+++…32555+++的和．
【答案】（1）20183
1-；（2）3；（3）2018554
- 【解析】
【分析】
（1）根据已知的等式发现规律即可求解；
（2）先根据x=2,求出a=20182-1，再发现2的幂个位数字的规律，即可求出a 的个位数字；
（3）利用已知的等式运算规律构造（5-1）×（2016201520142555...551++++++）即可求解.
【详解】
（1）∵2(1)(1)1x x x -+=- ()()23111x x x x -++=-
()()324111x x x x x -+++=-
()()4325111x x x x x x -++++=-
……
∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+
故x=3时，201720162015(31)(3
33-+++…323331)++++=201831-
故填：201831-； （2）201720162015222a =+++…322221++++
=（2-1）201720162015(222+++…322221)++++=201821-
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64
∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，
∵2018÷4=504…2，
∴20182的个位数为4，
∴201821-的个位数为3，
故填：3；
（3）201720162015555+++…32555+++ =
1(51)54-⨯⨯（201620152014555+++…2551+++） =
54×（5-1）（201620152014555+++…2551+++） =54
×（201751-） =2018554
-
【点睛】
此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.
5．观察以下等式：
（x+1)(x 2-x+1)=x 3＋1
（x+3）（x 2-3x+9）=x 3+27
（x+6）（x 2-6x+36）=x 3+216
．．．．．． ．．．．．．
(1)按以上等式的规律，填空：（a+b ）（___________________）=a 3+b 3
(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.
(3)利用（1）中的公式化简：（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）
【答案】（1）a 2-ab+b 2；（2）详见解析；（3）2y 3．
【解析】
【分析】
（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．
【详解】
（1）（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；
（2）（a+b ）（a 2-ab+b 2）
=a 3-a 2b+ab 2+a 2b-ab 2+b 3
=a 3+b 3；
（3）（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）
=x 3+y 3-（x 3-y 3）
=2y 3．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．
6．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；
（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
（3）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的
倍数的所有“和平数”；
【答案】（1）1001，9999；（2）见详解；（3）2754和4848
【解析】
【分析】
（1）根据和平数的定义，即可得到结论；
（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd，badc（a，b，c，d分别取0，1，2， (9)
a≠0，b≠0），于是得到abcd badc
+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论．
（3）设这个“和平数”为abcd，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7；②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
【详解】
解：（1）由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为：1001，9999；
（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd，badc（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），则
+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b）；
abcd badc
即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
（3）设这个“和平数”为abcd，则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5则b=7，
②当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4则b=8，
综上所述，这个数为：2754和4848．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．
7．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；
(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).
【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n ＋1.
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；
（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．
【详解】
(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）
(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）
(3)原式＝(1＋x)[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －1]
＝(1＋x)2[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －2]
＝(1＋x)3[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －3]
＝(1＋x)n (1＋x)
＝(1＋x)n ＋1.
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
8．对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当0a b ->时，一定有a b >；当0a b -=时，一定有a b =；当0a b -<时，一定有a b <．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目：
（1）已知：228A x y y =+，8B xy =，且A B >，试判断y 的符号；
（2）已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较222a c b +-和2ac 的大小．
【答案】（1）y ＞0；（2）222a c b +-＜2ac
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到22880x y y xy +->，因式分解得到22(2)0y x ->，进而得到y 的符
号即可；
（2）将222a c b +-和2ac 作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求．
【详解】
解：（1）因为A ＞B ，
所以A-B ＞0，
即2
2880x y y xy +->，
∴222(44)2(2)0y x x y x +-=->，
因为2(2)0x -≥，
∴y ＞0
（2）因为a 2−b 2＋c 2−2ac ＝a 2＋c 2−2ac−b 2＝（a−c ）2−b 2＝（a−c−b ）（a−c ＋b ）， ∵a ＋b ＞c ，a ＜b ＋c ，
所以（a−c−b ）（a−c ＋b ）＜0，
所以a 2−b 2＋c 2−2ac 的符号为负．
∴222a c b +-＜2ac
【点睛】
本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法．
9．（探究）如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，有阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用字母表示）
（应用）请应用这个公式完成下列各题
①已知22412m n -=，24m n +=，则2m n -的值为
②计算：(2)(2)a b c a b c +--+
（拓展）①()()()()24832(21)212121
21+1+++++结果的个位数字为 ②计算：222222221009998974321-+-++-+-
【答案】[探究]（1）a 2﹣b 2；（a +b ）（a ﹣b ）；（2）（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；[应用]①3；②4a 2﹣b 2+2bc ﹣c 2；[拓展]①6；②5050．
【解析】
【分析】
[探究]（1）由面积公式可得答案；
（2）公式由（1）直接可得；
[应用]①用平方差公式分解4m 2﹣n 2，将已知值代入可求解；②将三项恰当组分成两组，先用平方差，再用完全平方公式展开后合并同类项即可；
[拓展]①将原式乘以（2﹣1），就可以反复运用平方差公式化简，最后按照循环规律可得解；②将原式从左向右依次两项一组，运用平方差公式分解，化为
100+99+98+…+4+3+2+1，从而可得答案．
【详解】
（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；
图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．
（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
【应用】
①∵4m2﹣n2=12，2m+n=4，4m2﹣n2=（2m+n）（2m﹣n），∴（2m﹣n）=12÷4=3．
故答案为：3．
②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）
=[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]
=4a2﹣（b﹣c）2
=4a2﹣b2+2bc﹣c2
【拓展】
①
原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
=（216﹣1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264．
∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4=16．
故答案为：6．
②原式=（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1
=5050．
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．
10．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=
（）2，善于思考的小明进行了以下探索：设=（）2（其中a、b、
m、n均为正整数）则有：=m2+2n2，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明
就找到了一种把的式子化为平方式的方法．
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若（）2，用含m、n的式子分别表
示a、b，得a=，b=
（2）若（2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值．
【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）13．
【解析】
试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
试题解析：(1)∵)2，
∴2+3n2
∴a=m2+3n2，b=2mn.
故a=m2+3n2，b=2mn；
（2）由题意，得
22
3 {
42
a m n
mn
=+
=
∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13。