高考数学二轮复习第三部分3回顾3三角函数与平面向量学案

高考数学二轮复习第三部分3回首3三角函数与平面向量教案
回首 3
三角函数与平面向量
[ 必记知识 ]
引诱公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
2k π＋
π＋α
－α
π－ α
π π
－ α
＋ α
α(k ∈ Z )
2
2
正弦 sin α － sin α － sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α － cos α cos α －cos α sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－ tan α
－tan α
函数名改变，符号看象
口诀 函数名不变，符号看象限
限
[提示 ]
奇变偶不变，符号看象限
π “奇、偶 ”指的是 的倍数是奇数，仍是偶数，
“ 变与不变 ”指的是三角函数名称的变化，
2
π
“变 ”是指正弦变余弦 （或余弦变正弦） .“符号看象限 ”的含义是： 把角 α看作锐角， 看 n ·2±α （n ∈ Z ）是第几象限角，进而获得等式右边是正号仍是负号
.
三种三角函数的性质
函数 y ＝ sin x y ＝ cos x y ＝ tan x
图象
在 －
π
π ＋ 2k π ，
＋ 2k π
2
2
单
(k ∈ Z )上单一递加；
调
π
在
＋ 2k π，
性
2
3π
＋2k π (k ∈ Z )上单一递减
2
在 [ － π ＋2k π ， 2k
π ](k ∈ Z )上单一递加；在 [2k π， π ＋ 2k
π ](k ∈ Z )上单一递减
π
在 － 2 ＋ k π ，
π
2 ＋ k π (k ∈ Z )上单一递加
对称中心： (k π， 0)(k ∈ Z )；对
对称中心： 对称中心： k π
， 0
对称性
π
π
2 称轴： x ＝ ＋k π (k ∈ Z ) ＋ k π， 0 (k ∈ Z )；
2 2 (k ∈ Z )
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对称轴：x＝ kπ (k∈Z )
[提示 ])求函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的单一区间时，要注意 A 与ω的符号，当ω＜
0 时，需把ω的符号化为正当后求解.
三角函数图象的变换
由函数 y＝ sin x 的图象变换获得y＝ sin( ωx＋φ)(A＞0，ω＞ 0)的图象的两种方法
[提示 ]图象变换的本质是点的坐标的变换，所以三角函数图象的伸缩、平移变换能够
利用两个函数图象上的特点点之间的对应确立变换的方式，一般选用离 y 轴近来的最高点或
最低点，自然也能够选用在原点左边或右边的第一个对称中心点，依据这些点的坐标即可确
定变换的方式、平移的单位与方向等.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)＝ cos αcos β? sin αsin β.
tan(α±β)＝tanα±tanβ
. 1? tan αtan β
sin(α＋β)sin(α－β)＝ sin2α－ sin2β(平方正弦公式 )．
22
cos(α＋β)cos(α－β)＝ cos α－ sin β.
二倍角、协助角及半角公式
(1)二倍角公式
sin 2α＝ 2sin αcos α.
2222
α.
cos 2α＝ cosα－ sin α＝2cos α－1＝ 1－ 2sin
2tan α
tan 2α＝2.
1－ tan α
①1＋ sin 2α＝ (sin α＋cos α)2.
②1－ sin 2α＝ (sin α－cos α)2.
(2)协助角公式
y＝ asin x＋ bcos x＝ a2＋ b2(sin xcos φ＋ cos xsin φ)＝a2＋ b2sin(x＋φ)，此中角φ的终边
所在象限由 a， b 的符号确立，角φ的值由 tan φ＝b
(a≠ 0)确立．a
正、余弦定理及其变形
定理内容
正弦定理
a
＝
b
＝
c
＝ 2R sin A
sin B sin C
(1)a＝ 2Rsin A，b＝ 2Rsin B，c
＝2Rsin C；
余弦定理
a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A；
b2＝ a2＋ c2－ 2accos B；
222
－ 2abcos C
c＝ a＋ b
变形
a b
(2)sin A＝2R
，
sin B
＝
2R
，
sin C
＝
c ；
2R
(3)a∶ b∶c＝ sin A∶ sin B∶
sin C；
(4) asin B＝bsin A， bsin C＝
cos A＝
222
b ＋
c － a
cos B＝
222
c ＋ a － b
cos C＝
；
；
csin B，asin C＝ csin A；
a＋b＋ c a
(5)
s in A＋ sin B＋ sin C
＝
sin A
＝2R
a2＋ b2－ c2
2ab
[提示 ])在已知两边和此中一边的对角时，要注意查验解能否知足“大边对大角”，防止增解 .
平面向量数目积的坐标表示
已知非零向量a＝( x1，y1)， b＝(x2，y2)，θ为向量 a，b 的夹角．
结论几何表示坐标表示
模|a|＝a·a|a|＝ x12＋y12
数目积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2
夹角cos θ＝a·b x
1x2＋ y1y2
cos θ＝
|a||b|x12＋ y12· x22＋ y22
续表
结论几何表示坐标表示
a⊥ b 的充要条件a·b＝0x1x2＋ y1y2＝ 0
|a·b|与 |a||b|的关系
|a·b| ≤|a||b|(当且仅当a∥b时|x1x2＋ y1y2|≤
等号建立 )x12＋ y12· x22＋ y22
[提示 ] （ 1）要特别注意零向量带来的问题：
0 的模是 0，方向随意， 其实不是没有方向；
0 与随意非零向量平行 .,（ 2）a ·b ＞ 0 是〈 a ，b 〉为锐角的必需不充足条件； ,a ·b ＜ 0 是〈 a ，
b 〉为钝角的必需不充足条件
.
[ 必会结论 ]
降幂、升幂公式 (1)降幂公式
2
1－ cos 2α
2
① sin α＝
；② cos α＝
2
(2)升幂公式
2α
① 1＋ cos α＝2cos 2；② 1－ cos
1＋ cos 2α
1 ；③ sin αcos α＝ sin 2α.
2
2
2α α
α＝ 2sin 2；③ 1＋ sin α＝ sin ＋ cos
2
α2
2
；④ 1－ sin α＝
α
α
2
sin － cos
2
.
2
常有的协助角结论
π (1)sin x ±cos x ＝
2sin x ± .
4
π
(2)cos x ±sin x ＝
2cos x? 4 .
π (3)sin x ± 3cos x ＝ 2sin x ± .
3
π
(4)cos x ± 3sin x ＝ 2cos x? 3 .
π
(5) 3sin x ±cos x ＝ 2sin x ± . 6
π
(6) 3cos x ±sin x ＝ 2cos x? 6 .
[ 必练习题 ]
cos （ π－ α）
1．已知 tan α＝3，则
π
的值为 ( )
cos
α－
2
1
B ．－ 3
A ．－ 3
1
C.3
D ． 3
分析： 选 A. cos （ π－ α） ＝ － cos α 1 ＝－1 .
＝－
cos α－ π sin α tan α 3
2
2．已知 x ∈ (0， π)，且 cos 2x － π ＝ sin 2
x ，则 tan x － π
等于 ()
2
4
1 1
A. 3
B ．－ 3
C．3D．－ 3
分析：选 A. 由 cos 2x－π
2＝ sin 2x 得 sin 2 x＝ sin 2x，由于 x∈ (0，π)，所以 tan x＝ 2，所以
π＝ tan x－ 1＝ 1
tan x－41＋ tan x3
.
3．函数 y＝ cos 2x＋ 2sin x 的最大值为 ()
3
A. 4B． 1
3
C.2D． 2
分析：选 C. y＝ cos 2x＋ 2sin x＝－ 2sin2x＋ 2sin x＋ 1.
2
1 231
设 t＝ sin x(－ 1≤t≤1)，则原函数能够化为y＝－ 2t ＋ 2t＋ 1＝－ 2t－2＋2，所以当 t＝2时，函数获得最大值
3
2
.
4．已知函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A＞ 0，ω＞ 0，0＜φ＜π ) ，其导函数 f′(x)的图象如图所π
示，则 f2的值为()
A．2 2 B.2
22
C．－2D．－4
2π分析：选 D. 依题意得 f′(x)＝ Aωcos(ωx＋φ)，联合函数y＝ f′(x)的图象可知，T＝ω＝
43π π
＝π，ω＝ 2.又 Aω＝ 1，所以A＝
1
.由于
3π 3π7π3π
＝8
－
2
0＜φ＜π，
4
＜＋φ＜，且f′
8 844
3π3ππ1π π1π 1 2
cos4＋φ＝－ 1，所以4＋φ＝π，所以φ＝4，f(x)＝2sin 2x＋4，f 2＝2sinπ＋4＝－2×2
＝－
2
，应选 D.
4
π
5．已知 x＝12是函数 f( x)＝ 3sin(2 x＋φ)＋ cos(2x＋φ)(0 ＜φ＜ x)图象的一条对称轴，将函
数 f(x)的图象向右平移3π
g(x)的图象，则函数g(x) 在
π π
4个单位长度后获得函数
－，
上的最
4 6
小值为 ()
A．－ 2B．－ 1 C．－2D．－ 3
π
π
π
π
分析： 选 B. 由于 x ＝ 12 是 f(x)＝ 2sin 2x ＋ ＋ φ
图象的一条对称轴，所以
3＋φ＝ k π＋ 2(k
6
π π
π
π π
∈ Z )，由于 0＜ φ＜ π，所以 φ＝ 6，则 f(x)＝ 2sin 2x ＋ 3 ，所以 g(x)＝－ 2sin 2x － 6 在 －4，6
π
上的最小值为 g 6 ＝－ 1.
6．已知 △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为
2 2
，bcos A ＋ acos B
a ，
b ，
c ，若 cos C ＝ 3
＝2，则 △ABC 的外接圆面积为 ( )
A ． 4π
B ． 8π
C ．9π
D ． 36π
分析： 选 C.由题意知 c ＝ bcos A ＋ acos B ＝2，由 cos C ＝
2 2
得 sin C ＝ 1
，再由正弦定理
3
3
c
2
可得 2R ＝sin C ＝ 6，所以 △ ABC 的外接圆面积为
πR ＝ 9π，应选 C.
7．已知非零单位向量
a ，
b 知足 |a ＋ b |＝ |a － b |，则 a 与 b － a 的夹角可能是 (
)
π π
A. 6
B.3 π 3π
C.4
D. 4
分析：选 D. 由 |a ＋b |＝ |a － b |可得 ( a ＋ b ) 2＝ (a － b )2，即 a ·b ＝ 0，而 a ·(b －a ) ＝a ·b － a 2＝－ |a |2＜ 0，即 a 与 b － a 的夹角为钝角，应选 D.
8．已知向量 a ＝ (1 ，3)， b ＝ (－ 2，k)，且 (a ＋ 2b )∥ (3a － b ) ，则实数 k ＝________．
分析： a ＋ 2b ＝ (－ 3， 3＋2k)， 3a － b ＝ (5， 9－ k)，由题意可得－ 3(9－ k)＝ 5(3＋ 2k)，解得 k ＝－ 6.
答案： －6
9．已知向量 a ＝ (1， 0)， |b |＝ 2， a 与 b 的夹角为 45°，若 c ＝a ＋ b ， d ＝ a － b ，则 c 在
d 方向上的投影为 ________．
分析： 依题意得 |a |＝ 1， a ·b ＝ 1× 2×cos 45 °＝1， |d |＝ （a － b ） 2＝ a 2＋ b 2
－ 2a ·b ＝1，
c ·
d ＝ a 2 －b 2＝－ 1，所以 c 在 d 方向上的投影等于 c
·d ＝－ 1. |d |
答案： －1
π
10．已知函数 f(x)＝ sin ωx＋3 (ω＞ 0)，A ，B 是函数 y ＝ f(x)图象上相邻的最高点和最低
点，若 |AB|＝ 2 2，则 f(1)＝ ________．
2
T
2
分析： 设 f(x)的最小正周期为 T ，则由题意，得 2 ＋ 2 ＝ 2 2，解得 T ＝ 4，所以 ω
2π 2π π
π π
π π
5π 1
＝T ＝4 ＝2 ，所以 f(x)＝sin 2x ＋3 ，所以 f(1) ＝ sin ＋
＝ sin 6 ＝ 2
.
2 3
答案：
1
2
△
ABC ＝ 3，则
c
＝______ ．
11．在△ABC 中， A＝ 60°， b＝ 1， S sin C
分析：依题意得，13
3，则 c＝ 4.由余弦定理得a＝22 bcsin A＝
4
c＝ b ＋ c － 2bccos A＝2
a ＝13＝2 39 c ＝ 239 13，所以sin A sin 60°3 .由正弦定理得sin C 3
.
答案：
2 39
3。