非线性互补问题的光滑算法

非线性互补问题的光滑算法
朱红焰;岳靖;巩成艳
【摘要】Based on the equivalent deformation of nonlinear complementarity problems (NCP(F)) and the use of smooth approximating functions of Fischer-Burmeister function,the problem is transformed into optimization problem. A smoothing approximation algorithm is proposed for solving the nonlinear complementarity problem.By introducing a new smoothing NCP-function,the problem is approximated by a family of parameterized smooth equations. The proposed al-gorithm has been proved to be globally convergent under certain conditions. Numerical experiment results demonstrate the effectiveness of the algorithm.%基于非线性互补问题(NCP(F))的等价变形,利用Fischer-Burmeister函数的光滑逼近函数将非线性互补问题转化为优化问题.提出了一种求解非线性互补问题的光滑逼近算法,通过构造非线性互补问题的一个新的光滑逼近函数,将非线性互补问题等价地转化为求解光滑方程组问题.在一定条件下证明了该算法的全局收敛性.数值实验结果说明了算法的有效性.
【期刊名称】《长春理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(039)005
【总页数】4页(P127-130)
【关键词】非线性互补问题;光滑逼近算法;全局收敛性
【作者】朱红焰;岳靖;巩成艳
【作者单位】安徽理工大学理学院,淮南 232001;安徽理工大学理学院,淮南232001;安徽理工大学理学院,淮南 232001
【正文语种】中文
【中图分类】O224
考虑以下非线性互补问题NCP(F):求向量x∈Rn使得
其中F∶Rn→Rn连续可微的P0-函数。

由于其在理论和实际应用上的重要性，近年来，非线性互补问题已经受到了许多研究者的关注。

首先，给出Fischer-Burmeister函数:
求非线性互补问题（1）等价转化为求解以下非线性方程组:
且Φ∶Rn→Rn，它的第i个分量由下面的表达式给出:
Fischer-burmeister函数有很多好的性质，在求解NCP（1）时，一般都以Fischer-Burmeister函数作为 NCP函数，但是Fischer-burmeister函数在
(a,b)=(0,0)点是不可微的，给算法的收敛性分析带来困难，于是光滑算法应运而生。

本文构造一个新的光滑NCP函数如下:
其中，μ＞0为光滑参数，记Φ(x,μ)=(φ1(x,μ),φ2(x,μ),…,φn(x,μ))T作为Φ(x)的光滑逼近函数，
对于任意的μ1＞μ≥0，有:
特别地，对于μ＞0，有即当μ→0时，φi(x,μ)一致收敛于φi(x).
引理1:若Φ(x,μ)，Φ(x)是如上所定义的，则Φμ是Φ的一致光滑逼近函数。

通过
简单计算得
显然，对于任意的μ＞0，都是连续的。

利用光滑逼近函数，问题可以转化为下面带约束的非线性方程组
显然，当μ＞0时，Φμ(x)是光滑的，且其Jacobi矩阵∇Φμ(x)T为:
其中，Jacobi矩阵的第i个分量为
算法1:
Step 1 选取参数ρ1,ρ2∈(0,1)，σ1,σ2＞0，选择正数序列{ηk}，满足
其中，η＞0，选取初始点x0∈Rn和正常数置k∶=0，
Step 2 如果算法终止；否则求解如下方程的解
若式（13）成立，置λk∶=1，转step5；
Step4 若m是满足下属不等式的最小非负整数
置λk∶=ρ1m；
Step5 置xk+1∶=xk+λkdk；
Step6 若（12）成立或者选取μk+1满足式（15）
否则，置μk+1∶=μk；
Step7 置k∶=k+1，转Step2
注1:由于ηk＞0，总可以选取充分小的λ=ρ1i＞0，使得不等式（14）成立，从而算法是可行的。

注2:若是{xk}是由于算法产生的无穷数列，则对于任意的k满足Φ(xk,μk)≠0，且正数序列{μ k}是非增的，并且满足式（16）:
则由于式（6）和式（16）可以得到证明如下:
从而可以得到式（19）:
假设
（a）水平集有界，且正数η由（11）给出；
（b）对于任意的μ＞0，Φ'(x,μ)非奇异，且x∈Ω。

引理2:设序列{xk}是由算法产生的，那么对于任意的k，有{xk}⊂Ω,
证明:对于算法1中步3中的式（13），结论显然成立，对于步4中的式（14），
有:
引理3:设序列{xk}由算法产生，定义指标集其中:
若指标集K为无限集，那么:
且序列{xk}的任意聚点是问题（1）的解。

证:由题中K为无限集，又因K={0}⋃K1⋃K2，故只需要考虑以下两种情况:
情形1:K2是无限集.此即意味着（21）式无限次成立，而ρ2∈(0,1)，故由引理即可得（22）成立。

情形2:K2是有限集，但K1是无限集，不失一般性，设对任意的非负整数k，记即ki是 K中不大于k的最大指标，则显然有μk=μki。

由（17），对i≥0，有:
由算法的step 6可知
以及
综上表明序列{xk}的每个聚点都是Φ(x)的一个零点，即问题（1）的一个解。

定理1:设假设成立，序列{xk}由算法产生，那么指标集K必是无限集，且
证明:用反证法，假设K是有限集，K采用情形2的假设方式，则μk=μki=μ，且步长λk由（14）确定，即
由假设（b），存在常数 M1＞0，使得
因此，对于充分大的K，有
不失一般性，假设并设x是相应序列的一个聚点，令则λ≥0，且λd=0
（a）当λ＞0时，有 d=0则由（12）式即得Φ(x)=0，矛盾。

（b）当λ=0时，由（14）式即得当k∈K充分大时，不满足（23）式，即有
对上式两端同时除以λk'，且令k(∈K)→∞，得
由于-∇Φ(xk,μ)dk=Φ(xk)，令k(∈K)→∞，得
又由（26）式得
因此式（25）与式（27）矛盾，从而K为无限集.
该问题有一个退化解和一个非退化解(1,0,3,0)T，选取的参数为γ=0.1，σ1=0.5，σ2=0.5，ρ1=0.6，ρ2=0.5算法的终止准则为Φ(xk+1)＜10-6。

选取不同的初始点，数值结果见表1
论文将NCP问题转化为光滑方程组来求解，构造了相应的光滑逼近算法，证明了在一定条件下该算法的全局收敛性，同时给出数值试验来验证算法的时效性，下一步工作的重点是证明算法的局部二次收敛和超线性收敛，以及算法产生的迭代序列至少存在一个聚点。

【相关文献】
［1］许小芳，马昌风.基于一个新的NCP函数的光滑牛顿法求解非线性互补问题［J］.数学杂志，2011，31（4）: 750-755.
［2］范斌，马昌凤.求解非线性互补问题的一个雅可比光滑化方法［J］.福建师范大学学报，2012，28（3）:27-31.
［3］张修梅，蒋利华.非线性互补问题的光滑逼近法［J］.安徽大学学报，2012，36（2）:24-28. ［4］陈争，马昌凤.求解非线性互补问题的一个新的Jacobin光滑化方法［J］.计算数学，2010，32（4）:362-372.
［5］柴婧，马昌凤.求解广义非线性互补问题的光滑拟牛顿算法［J］.高校应用数学学报，2011，26（4）:453-466.
［6］于一超，田志远，刘相静，等.非线性互补问题的一个数值解法［J］.青岛大学学报，2014，27（3）:14-18.
［7］韩继业，修乃华，戚厚锋.非线性互补理论与算法［M］.上海:上海技术科学出版社，2003:248-296.
［8］马昌凤.最优化方法及其Matlab程序设计［M］.北京:科学出版社，2010:53-68.。