4-CPS

2023年第47卷第7期
Journal of Mechanical Transmission
4-CPS/UPU并联机构运动学分析与仿真
刘娟1,2李瑞琴2王远1,2宁峰平2
（1 山西工程职业学院机械工程系，山西太原030009）
（2 中北大学机械工程学院，山西太原030051）
摘要提出了一种用于并联机床领域的4-CPS/UPU并联机构。

基于旋量理论，建立了该并联机
构的运动和约束螺旋系，该机构具有5个自由度，可实现三移两转功能；通过修正的K-G公式对其
自由度进行了验证；进一步分析了并联机构的位置正逆解、工作空间；运用Adams软件对其进行了
仿真分析。

该机构工作空间连续，形状近似四棱台，规则对称，无空洞，且仿真得到的位移和速度
曲线光滑，表明该机构具有良好的运动性能。

研究结果为其在并联机床领域的参数化设计提供了一
定的理论基础。

关键词4-CPS/UPU并联机构自由度位置逆解位置正解工作空间Adams软件Kinematics Analysis and Simulation of a 4-CPS/UPU Parallel Mechanism
Liu Juan1,2Li Ruiqin2Wang Yuan1,2Ning Fengping2
(1 Department of Mechanical Engineering, Shanxi Engineering Vocational College, Taiyuan 030009, China)
（2 College of Mechanical Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China）
Abstract A 4-CPS/UPU parallel mechanism used in the field of parallel machine tools is proposed. Based on the screw theory, the kinematic and constrained screw system of the parallel mechanism is established. The mechanism has five degrees of freedom and can realize the function of three shifts and two rotations. The degree of freedom is verified by the modified K-G formula. The forward and inverse solutions of the parallel mechanism and the working space are analyzed. The simulation analysis is carried out by Adams software. The workspace of the mechanism is continuous without cavity, and its shape is similar to that of a pyramid, which is regular and symmetrical; the smooth displacement and velocity curves obtained by simulation show that the mechanism has good kinematic performance, which provides a certain theoretical basis for its parametric design in the field of parallel machine tools.
Key words 4-CPS/UPU parallel mechanism Degree of freedom Position inverse solution Positive position solution Workspace Adams software
0 引言
并联机构具有刚度大、反应灵敏、误差不累计等优势[1]，在并联机床领域中有着广泛的应用[2-4]。

黄道阳等[5]设计了一种（2PSR+PUU）&RP混联机床，对其自由度和位置正逆解进行了分析。

王汝贵等[6]运用可重构原理对并联机床进行分析，分析了该可重构机床的运动杆尺度综合，并研究了该机床的可达工作空间。

叶勇[7]设计了一种4SPS+UPU并联机床，对其进行了运动学分析和刀具轨迹规划，并通过CAD 软件进行了仿真。

熊万涛等[8]设计了一种3-（2SPS）并联机床，对该机床进行了刚度分析。

方喜峰等[9]提出了一种求解6-UPS交叉杆型并联机床的运动学正解方法，该方法可有效减少迭代次数。

王书森等[10]设计了一种3T2R五轴机床，该机床是基于混联机构的龙门式机床，通过驱动副的合理选择，减少了机构的奇异位形，并对机构的动力学进行了分析。

Li等[11]以RPR/RRPR并联机构为主体，设计了一种球面雕刻机，在不同直径的内外球形表面上雕刻复杂的图案，根据可达工作空间的变化规则，通过改变可重构的角度，可灵活地调整雕刻机的雕刻范围。

Luo等[12]将基于螺旋理论的误差建模方法应用于各连杆，对一种五
文章编号：1004-2539（2023）07-0090-06DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2023.07.013 90
第7期刘娟，等：4-CPS/UPU并联机构运动学分析与仿真
轴联动机床进行了误差建模和灵敏度分析。

Hu等[13]
对4PUS-1RPU并联机构进行了鲁棒性设计，将1阶
固有频率作为单响应目标，并将拉丁超立方体设计、
克里格插值和神经网络训练（Latin Hypercube Design，
Kriging Interpolation，and Neural Network Training，
LKN）方法与传统响应面分析（Response Surface Meth⁃
odology，RSM）方法相结合，设计结果表明，LKN方
法比传统RSM方法更有效，最后利用该鲁棒性设计
方案得到的参数，研制了基于该鲁棒性设计方案的
混动机床样机。

Kanaan等[14]对VERNE串并联机床进
行了分析，由于该并联机构是不对称的，其中一条
腿与其他两条腿的结构不同，推导了该机器人的逆
运动学和正运动学。

Xie等[15]提出了一种新型的具有
高转动能力的冗余3自由度并联机构，在考虑运动/
力传递性的基础上，引入局部极小传递指标作为冗余驱动并联机构的性能评价指标，在此基础上，对所提出的并联机构进行了优化设计，并对其转动性能进行了研究。

Cai等[16]研制了一种3PTT-2R五轴并联机床，对该机床的奇异性和动态耦合问题进行了研究，并提出了一种分析动态耦合性的方法。

Guo 等[17]研制了一种3-PRS/UPS并联机床，其刀具摆角可达±60°，对该机床的运动学和工作空间进行了分析。

Ni等[18]研制了一种3-PRS并联机床，提出了一种面向制造的误差分析方法。

本文以4-CPS/UPU并联机构为研究对象，计算了机构的自由度；采用闭环矢量法求出了该机构的位置逆解；利用粒子群优化（Particle Swarm Optimiza⁃
tion，PSO）算法分析了该机构的位置正解；通过三维动态法分析了该机构的工作空间；运用Adams软件对其进行仿真分析，为其在并联机床领域的参数化设计提供了一定的理论基础。

1 4-CPS/UPU并联机构描述
4-CPS/UPU并联机构初始位型构型如图1所示。

该机构由4条CPS支链、1条UPU支链、动平台和定平台组成（C副表示圆柱副，P副表示移动副，S副表示球副，U副表示虎克铰）。

由图1可看出，4个CPS 支链分别通过各自的C副与定平台相连，通过S副与动平台相连；中间支链UPU通过其两端的U副分别与动平台和定平台相连；动平台和定平台的几何形状均为正方形，4个S副位于动平台的4个顶点上，4个C副位于定平台的4条边线上，U1副位于定平台形心，U2副位于动平台形心；该机构均以各支链中的P 副作为驱动副。

定平台边长为l B，动平台边长为l A。

定平台的几何中心O B为定坐标系原点，建立定坐标系{O B}：z B轴与静平台垂直，方向竖直向下；y B轴水平向右，通过右手定则确定x B轴方向。

动平台的几何中心O A为动坐标系原点，建立动坐标系{O A}：z A轴垂直于动平台竖直向下，y A轴水平向右。

B i（i=1，2，…，4）表示各条支链中C副的位置，A i（i=1，2，…，4）表示各条支链中中间S副的位置，B5表示U1副的位置，A5表示U2副的位置，l i（i=1，2，…，5）表示A i、B i（i=1，2，…，
5）之间的距离，即支链长度。

2 机构自由度分析
运用旋量理论对4-CPS/UPU并联机构进行自由度分析。

由于CPS支链的自由度为6，对动平台不会产生约束，因此，只分析UPU支链对动平台自由度的影响。

UPU运动螺旋如图2所示。

在定坐标系{O B}下，UPU
支链的运动螺旋为
图2　UPU支链运动螺旋
Fig. 2　
UPU branched chain moving screw
图1　4-CPS/UPU并联机构
Fig. 1　4-CPS/UPU parallel mechanism
91
第47
卷
ìíîïïïïï
ïïïïïïï$1=(0 1 0 ；
0 0 0)$2=(1 0 0 ； 0 0 0)$3=(0 0 0 ；
0 0 1)$4=(1 0 0 ； 0 e 0)$5=(0 1 0 ；
-e 0 0)（1）
式中，e 与运动副的方向和位置有关。

对式（1）进行反螺旋运算，可得中间支链UPU 的约束螺旋系为
$r 1=(0 0 0 ； 0 0 1)
（2）
式（2）中的约束螺旋是一个平行于z B 轴的力偶矢，该力偶有个约束的作用，即限制动平台绕z B 轴的旋转。

对式（2）反螺旋运算，可得动平台的运动螺旋系为
ìíîïïïïïïïïïï$rr
1=(0 1 0 ； 0 0 0)$rr
2=(1 0 0 ； 0 0 0)$rr 3=(0 0 0 ； 1 0 0)$rr 4=(0 0 0 ； 0 1 0)$rr 5
=(0 0 0 ； 0 0 1)
（3）
由式（3）可知，该机构具有3T2R 的5个自由度，分别是围绕x B 轴和y B 轴的转动及沿x B 轴、y B 轴、z B 轴的平移。

运用修正的K-G 公式验证自由度，可得M =d (n -g -1)+∑i
g f i +ν-ζ=5
（4）
式中，M 为自由度数；无公共约束，机构阶数d =6；构件总数（包括机架）n =12；运动副总数g =15；f i 为第i 个运动副的自由度；冗余约束ν=0；无局部自由度，ζ=0。

综上分析可知，本文提出的4-CPS/UPU 并联机构，动平台在5条支链的驱动下，能完成绕x B 轴和y B 轴的转动及沿x B 轴、y B 轴、z B 轴的平移。

因此，该机构为3T2R 的5自由度机构。

3 机构位置逆解分析
本节采用闭环矢量法对4-CPS/UPU 并联机构的位置逆解进行分析。

动平台位姿为（x ，y ，z ；α，β，γ），其中，O A 在{O B }中的坐标为（x ，y ，z ），并联机构的动平台在{O B }中的姿态角为（α，β，γ）。

采用RPY 坐标变换表示动坐标系{O A }相对定坐标系{O B }的相对位置关系，变换矩阵B A T 为
B
A T =éëêê
êê
êùû
úúúúú
c βc γs αs βc γ-s αs γc γc αs β+s αs γ
x c βs γs αs βs γ+c αc γc αs βs γ-c γs αy -s β c βs α c γc αz 0001（5）
式中，c 代表cos ；s 代表sin 。

动平台上的点A i （i=1，2，…，5）在动坐标系{O A }中的位置矢量分别为
A 1(0，
-
A ，0)，A 2
A
，0，0)，A 3(0A ，0)，A 4A
，0，0)，A 5(0，0，0)（6）A i （i=1，2，…，5）在定坐标系{O B }中的位置矢量A ′i 为
A ′i =B
A TA ′i （i=1，2，
…，5）（7）
定平台上的点B i （i=1，2，…，5
）在定坐标系{O B }中的位置矢量分别为
B 1(x 1，-12l B ，0)，B 2(12l B ，y 2，0)，B 3(x 3，1
2
l B ，0)，B 4(-1
2
l B ，y 4，0)，B 5(0，0，0)
（8）
式中，x 1为A 1中对应的x 分量；y 2为A 2中对应的y 分量；x 3为A 3中对应的x 分量；y 4为A 4中对应的y 分量。

联立式（5）~式（8），可得
ì
íîïïïïïïïïïïïïïïïïl 1
=
l 2=
l 3=
l 4=l 5
=
x 2+y 2+z 2
（9）
式（9）为4-CPS/UPU 并联机构的位置逆解，通过各支链中的P 副作为驱动，改变各支链长度l i （i=1，2，…，5），达到对该机构动平台的精准控制。

4 机构位置正解分析
本文采用PSO 算法对4-CPS/UPU 并联机构位置正解进行分析。

构建最优解方程进行逐次迭代，具体过程如下：
92
第7期刘娟，等：4-CPS/UPU 并联机构运动学分析与仿真
ìíîï
ïïïïï
ïïïïï
ïïïf 1
=
-q 1f 2=
-q 2
f 3=-q 3
f 4
=2-q 4f 5=x 2+y 2+z 2-q 5
（10）式中，q 1、q 2、q 3、q 4、q 5均为机构的驱动输入参数。

2）确定适应度函数F 。

F =| f 1|+| f 2|+| f 3|+| f 4|+| f 5|当F <10-6
时，完成迭代。

3）初始化参数。

速度更新公式、位置更新公式
分别为
ìí
îï
ïïïv
（i ，：）=ωv （i ，：）+m 1rand [y （i ，：）-x （i ，：）]+m 2rand [p g -x （i ，：）]x
（i ，：）=x （i ，：）+v （i ，：）（11）式中，x （i ，:）为粒子i 在某时刻的位置；v （i ，:）为粒子i 在某时刻的迭代速度；m 1和m 2均为学习因子；ω为惯性权重；p g 为全局最优解。

算法运行开始时，设定相关参数的值，如表1所示。

输入5组不同参数，输出结果如表2所示。

由表2中的输出数据可知，在输入参数一定的情况下，通过PSO 算法可计算出并联机构动平台的精确的位置正解。

图3所示为5个算例的适应度曲线。

由图3中每条曲线的变化趋势可知，每个算例的适应度曲线都可以较快地收敛，这进一步说明了所得位置正解的正确性。

5 工作空间分析
采用三维动态法求解4-CPS/UPU 并联机构工作
台的工作空间。

该工作台的参数：动平台边长l A =
100 mm ，定平台边长l B =600 mm ；支链i （i =1，2，3，4）的长度l i 取值范围为300~600 mm ，支链5的长度l 5取值范围为260~580 mm 。

给该并联机构的5个P 副添加驱动马达，以动平台形心O A 作为参考点，采用三维动态法求解4-CPS/UPU 并联机构工作台的工作空间，如图4所示。

观察图4中xz 投影和yz 投影可知，并联机构的
工作空间关于xz 平面和yz 平面是对称的，形状近似于四棱台，符合机构中各支链的布局情况；其最大
横截面出现在z =300 mm 的平面上，大小为620 mm×620 mm ，动平台在z 轴方向上的运动范围为240~560 mm ；整个工作空间连续无空洞，动平台在工作空间范围内可沿任意曲线进行运动，能够满足并联机床作业时对刀具调整的要求。

表1　粒子群优化算法参数Tab. 1　Parameters of PSO algorithm
参数学习因子惯性权重空间维数种群规模最大迭代次数
数值2
0.85501 500
参数l 1的范围/mm l 2的范围/mm l 3的范围/mm l 4的范围/mm l 5的范围/mm
数值［300，560］［300，560］［300，560］［300，560］［300，560］
表2　位置正解计算结果
Tab. 2 Calculation results of the position positive solution
算例12345
输入
q 1/mm 330350370390410
q 2/mm 340360380400420
q 3/mm 360380*********
q 4/mm 380400420440460
q 5/mm 300320340360
380
输出x /mm 123.46122.36121.69121.21120.81
y /mm 52.3945.1737.6228.8616.91
z /mm 268.35292.21315.24337.75359.89
α/（°）10.1013.3511.6410.018.14
β/（°）13.4111.5810.199.058.08
图3　各算例PSO 算法适应度曲线
Fig. 3　PSO algorithm fitness curves of each example
93
第47
卷
6 Adams 进行运动仿真分析
通过三维制图软件对4-CPS/UPU 并联机构进行三维建模，联合Adams 软件，根据该并联机构各支链的驱动副添加适当约束，将Step 函数导入每个运动副。

将Step 函数作为机构中各P 副的驱动方式，设置机构仿真步长为8 s ，步数为1 000。

通过软件中的Simulation 对机构的运动学进行仿真，仿真完成后可得到该机构动平台的线性位移、角位移、线性速度和角速度等相关曲线，分别如图5和图6所示。

由图5和图6可知，动平台运动过程中线性位移和角位移曲线连续，沿x 轴和y 轴的转动角度均可达到±60°，且线性速度和角速度曲线光滑、无突变。

表明该机构动平台可以在三维空间中进行连续运动，
且运行平稳，机构驱动性能良好，在并联机床领域具有良好的应用前景。

7 结论
提出了一种5自由度的4-CPS/UPU 并联机构（三
移两转），该并联机构可用于并联机床领域。

基于旋
量理论，建立了该并联机构的运动螺旋系和约束螺旋系，通过修正的K-G 公式对其自由度进行了验证。

进一步对该并联机构的位置正逆解、工作空间进行
图4　4-CPS/UPU 并联机构工作空间
Fig. 4　Workspace of the 4-CPS/UPU parallel mechanism
（a ）动平台线性位移曲线 （b ）动平台角位移曲线
图5　动平台线性位移和角位移曲线
Fig. 5　Linear displacement and angular displacement curves of the moving platform
（a ）动平台线性速度曲线 （b ）动平台角速度曲线
图6　动平台线性速度和角速度曲线
Fig. 6　Linear velocity and angular velocity curves of the moving platform
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第7期刘娟，等：4-CPS/UPU并联机构运动学分析与仿真
了分析。

该并联机构工作空间形状近似四棱台，关于xz平面和yz平面对称，符合各支链的布局情况，且连续无空洞，最大横截面为620 mm×620 mm，z轴方向上的范围为240~560 mm；通过Adams软件对该并联机构进行了运动学仿真，并分析了其动平台的位移和速度随时间变化的曲线。

由于现阶段复杂零部件和异形曲面加工的多样性，需要现代机床具备多自由度、大范围工作空间、平稳运行等特点。

本文提出的4-CPS/UPU型并联机构应用于并联机床，具备三转两移的功能，并且动平台可在机床的工作区域内实现连续平稳运动，该特性可使复杂零部件在加工过程中次品率降低，效率增加，表面光滑。

而动平台的运行轨迹并不是最优轨迹，需要进一步通过优化算法研究动平台的轨迹优化问题。

分析可知，该机构在运动过程中运行平稳、运动性能优越，利用并联机构开发多功能并联机床具有良好的实验价值和意义。

参考文献
［1］叶鹏达，尤晶晶，仇鑫，等.并联机器人运动性能的研究现状及发展趋势［J］.南京航空航天大学学报，2020，52（3）：363-377.
YE Pengda，YOU Jingjing，QIU Xin，et al.Status and development
trend of motion performance in parallel robot［J］.Journal of Nanjing
University of Aeronautics & Astronautics，2020，52（3）：363-377.［2］CHENG Y M.Machining with a precision five-axis machine tools cre⁃ated by combining a horizontal parallel three-axis motion platform
and a three-axis machine tools［J］.Materials，2022，15（6）：1-20.［3］黄俊杰，王鹏霏，张博文，等.3-PRS并联机构冗余设计与工作空间分析［J］.机械传动，2022，46（5）：25-34.
HUANG Junjie，WANG Pengfei，ZHANG Bowen，et al.Redundancy
design and workspace analysis of 3-PRS parallel mechanism［J］.
Journal of Mechanical Transmission，2022，46（5）：25-34.
［4］郭强，崔国华，张帆，等.5自由度4-SPRR-SPR并联机构的运动学与工作空间分析［J］.机械传动，2019，43（12）：97-102.
GUO Qiang，CUI Guohua，ZHANG Fan，et al.Kinematics and work⁃
space analysis of 4-SPRR-SPR 5-DOF parallel mechanism［J］.
Journal of Mechanical Transmission，2019，43（12）：97-102.
［5］黄道阳，薄瑞峰，张旺旺，等.（2PSR+PUU）&RP混联机床的位置及其工作空间分析［J］.制造技术与机床，2022（3）：92-97.
HUANG Daoyang，BO Ruifeng，ZHANG Wangwang，et al.The posi⁃
tion and workspace analysis of （2PSR+PUU）&RP hybrid machine
tool［J］.Manufacturing Technology & Machine Tool，2022（3）：92-97.［6］王汝贵，张航菲，许润昊.一种新型全自由度可重构并联机床的尺度综合［J］.机械设计与研究，2021，37（1）：60-65.
WANG Rugui，ZHANG Hangfei，XU Runhao.Dimensional synthesis
of a novel 6-DOF reconfigurable parallel machine tool［J］.Machine
Design & Research，2021，37（1）：60-65.
［7］叶勇.4SPS+UPU并联机床法向加工自由曲面的研究与仿真［J］.
机械传动，2011，35（11）：26-29.
YE Yong.Study and simulation on three-dimensional free-form sur⁃
face normal machining by 4SPS+UPU parallel machine tool［J］.Jour⁃
nal of Mechanical Transmission，2011，35（11）：26-29.
［8］熊万涛，李开明.3-（2SPS）并联机床设计及刚度分析［J］.机械传动，2019，43（3）：90-94.
XIONG Wantao，LI Kaiming.Design and stiffness analysis of 3-
（2SPS）parallel machine tool［J］.Journal of Mechanical Transmis⁃
sion，2019，43（3）：90-94.
［9］方喜峰，赵若愚，吴洪涛，等.6-UPS交叉杆型并联机床的运动学正解算法［J］.机械工程学报，2012，48（13）：56-60.
FANG Xifeng，ZHAO Ruoyu，WU Hongtao，et al.Forward kinemat⁃
ics analysis of 6-UPS parallel machine tool with cross rod［J］.Jour⁃
nal of Mechanical Engineering，2012，48（13）：56-60.
［10］王书森，梅瑛，李瑞琴.新型3T2R龙门式混联机床动力学模型［J］.机械工程学报，2016，52（15）：81-90.
WANG Shusen，MEI Ying，LI Ruiqin.Solving dynamics for a novel
3T2R gantry hybrid machine tool［J］.Journal of Mechanical Engi⁃
neering，2016，52（15）：81-90.
［11］LI R Q，LIANG S J，ZHANG M R，et al.Kinematics and workspace of a spherical engraving machine with the RPR/RRPR parallel con⁃
figuration［C］//IFToMM World Congress on Mechanism and Ma⁃
chine Science.Springer，Cham，2019：2369-2377.
［12］LUO X，XIE F，LIU X J，et al.Error modeling and sensitivity analy⁃sis of a novel 5-degree-of-freedom parallel kinematic machine tool
［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part B：Journal of Engineering Manufacture，2019，233（6）：1637-1652.［13］HU Y，LI B.Robust design and analysis of 4PUS-1RPU parallel mechanism for a 5-degree-of-freedom hybrid kinematics machine
［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part B：Journal of Engineering Manufacture，2011，225（5）：685-698.［14］KANAAN D，WENGER P，CHABLAT D.Kinematic analysis of a se⁃rial-parallel machine tool：the VERNE machine［J］.Mechanism and
Machine Theory，2009，44（2）：487-498.
［15］XIE F，LIU X J，ZHOU Y.Optimization of a redundantly actuated parallel kinematic mechanism for a 5-degree-of-freedom hybrid
machine tool［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engi⁃
neers，Part B：Journal of Engineering Manufacture，2014，228（12）：1630-1641.
［16］CAI Y，ZHANG B，YAO Y.Study on the dynamic coupling character⁃istics of 3PTT-2R numerical control serial-parallel machine based
on singular constraints and position coupling factors［J］.Proceedings
of the Institution of Mechanical Engineers，Part B：Journal of Engi⁃
neering Manufacture，2017，231（9）：1628-1645.
［17］GUO J，WANG D，FAN R，et al.Design and workspace analysis of a 3-degree-of-freedom parallel swivel head with large tilting capacity
［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part B：Journal of Engineering Manufacture，2017，231（10）：1838-1849.［18］NI Y B，JIA S L，ZHANG Z W，et al.A manufacturing-oriented er⁃ror modelling method for a hybrid machine tool based on the 3-PRS
parallel spindle head［J］.Advances in Mechanical Engineering，2019，11（5）：1-13.
收稿日期： 2023-02-02
基金项目：山西省重点研发计划项目（201803D421028，201903D421051）山西省高等学校科技创新项目（2022L708）
山西省研究生创新项目（2021Y581）
作者简介：刘娟（1987—），女，山西太原人，博士，讲师；研究方向为机器人机构及设计；***************。

95。