陕西省西安音乐学院附中高三数学上学期期中试卷(含解析)

陕西省西安音乐学院附中 2015届高三上学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．计算（log54）•（log1625）=( )
A．2 B．1 C．D．
考点：换底公式的应用．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：可通过换底公式全部换成10为底的对数，即可对此对数式进行化简，得到计算结果．解答：解：（log54）•（log1625）=×
=×=1．
故选B．
点评：本题考查对数的运算性质，解答本题，熟练掌握对数的运算性质及对数的换底公式是关键，本题中选择底数很重要，一般换底时都选择常用对数．
2．函数f（x）=的定义域为( )
A．（0，2）B．（0，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：分析可知，，解出x即可．
解答：解：由题意可得，，
解得，即x＞2．
∴所求定义域为（2，+∞）．
故选：C．
点评：本题是对基本计算的考查，注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时，被开方数要大于等于0”，及“分母不为0”，即可确定所有条件．2015届高考中对定义域的考查，大多属于容易题．
3．若对于任意实数x，都有f（﹣x）=f（x），且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，则( )
A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用f（﹣x）=f（x），且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，将自变量化为同一单调区间，即可判断．
解答：解：因为对于任意实数x，都有f（﹣x）=f（x），所以函数f（x）为偶函数，
所以f（2）=f（﹣2）．
又f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，且﹣2＜﹣＜﹣1＜0，
所以f（﹣2）＜f（﹣）＜f（﹣1），即f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）．
故选D．
点评：本题重点考查函数的奇偶性、单调性，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，解题时应注意将变量化为同一单调区间，再作判断．
4．α是第四象限角，，则sinα=( )
A．B．C．D．
考点：同角三角函数间的基本关系．
分析：根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．
解答：解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，
∴sinα=﹣．
故选D．
点评：三角函数的基本关系是三角函数的基本，是2015届高考必考内容．
5．=( )
A．B．C．D．
考点：二倍角的余弦．
分析：看清本题的结构特点符合平方差公式，化简以后就可以看出是二倍角公式的逆用，最后结果为cos，用特殊角的三角函数得出结果．
解答：解：原式=
=cos
=，
故选D
点评：要深刻理解二倍角公式和两角和差的正弦和余弦公式，从形式和意义上来认识，对公式做到正用、逆用、变形用，本题就是逆用余弦的二倍角公式．
6．要得到函数y=2sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象( ) A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：作图题．
分析：y=2sin（2x﹣）=2sin2（x﹣），根据平移规律：左加右减可得答案．
解答：解：y=2sin（2x﹣）=2sin2（x﹣），
故要得到y=2sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移个单位，
故选D．
点评：本题考查三角函数图象的平移变换，该类题目要注意平移方向及平移对象．
7．若函数f（x）=sin2x﹣（x∈R），则f（x）是( )
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数
考点：二倍角的余弦．
专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
分析：先利用倍角公式化简f（x），然后利用周期公式可求得周期，利用定义可判断奇偶性．解答：解：f（x）=sin2x﹣=﹣=﹣cos2x，
最小正周期T=，
又f（﹣x）=﹣cos（﹣2x）=﹣cos2x=f（x），
∴f（x）为偶函数，
故选D．
点评：该题考查三角函数的周期性、奇偶性，属基础题，定义是解决相关问题的关键，三角恒等变换是解题基础．
8．函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程是( )
A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=π
考点：余弦函数的对称性．
专题：计算题．
分析：根据三角函数的图象，三角函数的函数值取最值时，对称轴的x取值．
解答：解：此函数的对称轴方程为，当k=0时，．
故选B．
点评：本题是基础题，求出余弦函数的对称轴方程是解决此问题的关键．
9．在△ABC中，a=，b=2，B=45°，则A等于( )
A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150
考点：正弦定理的应用．
专题：解三角形．
分析：直接利用正弦定理求出sinA的值，通过三角形的内角求出A的大小．
解答：解：由正弦定理可得：，a=，b=2，B=45°，所以sinA=，
因为A，B，C是三角形内角，B=45°，∵a＞b，∴A＞B，
∴A=60°或120°．
故选：C．
点评：本题是基础题，考查三角形的内角和，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．10．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于( )
A．12 B．C．28 D．
考点：解三角形；正弦定理的应用；余弦定理．
专题：计算题．
分析：已知三条边长利用余弦定理求得cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得
sinC=，代入△ABC的面积公式进行运算．
解答：解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，
由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3 cosC，
∴cosC=，
∴sinC=，
∴S△ABC==，
故选D．
点评：本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinC=的值是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．sin（﹣）的值为．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：直接利用诱导公式化简求值即可．
解答：解：sin（﹣）=﹣sin=﹣sin（4π﹣）=sin=．
故答案为：．
点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．
12．已知，则=4．
考点：三角函数的化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：由已知等式变形求出tanα的值，所求式子分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．
解答：解：∵=2，
∴tanα+1=10﹣2tanα，即tanα=3，
则原式===4．
故答案为：4
点评：此题考查了三角函数的化简求值，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键．
13．函数的值域是[0，1]．
考点：余弦函数的定义域和值域．
专题：计算题．
分析：余弦函数的单调性，函数在，上是增，在上减，由此性质即可求出函数的值域．
解答：解：由余弦函数的单调性，函数在，上是增，在上减，故其最大值在x=0处取到为1
最小值在x=处取到为0，故其值域是[0，1]；
故答案为[0，1]．
点评：本题考查余弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握余弦函数的单调性，根据单调性求出最值．
14．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A=120°．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：直接利用余弦定理，化简求解即可．
解答：解：因为在△ABC中，a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，
所以A=120°．
故答案为：120°．
点评：本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．
15．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC最大角的值是120°．
考点：余弦定理；正弦定理的应用．
专题：计算题．
分析：利用正弦定理==，化简已知的等式，得到a：b：c的比值，进而设
出a，b及c，得到C为最大角，利用余弦定理表示出cosC，把设出的a，b及c代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
解答：解：由sinA：sinB：sinC=3：5：7，
根据正弦定理得：a：b：c=3：5：7，
设a=3k，b=5k，c=7k，k＞0，可得7k为最大边，
设7k所对的角，即△ABC最大角为C，
根据余弦定理得：cosC===﹣，
又C∈（0，180°），∴C=120°，
则△ABC最大角的值是120°．
故答案为：120°
点评：此题考查了正弦、余弦定理，比例的性质以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，同时注意比例性质的运用．
三、解答题（共50分）
16．已知方程sin（α﹣3π）=2cos（α﹣4π），求的
值．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：利用三角函数的诱导公式可求得sinα=﹣2cosα，再将所求关系式化简整理即可求得其值．
解答：解：∵sin（α﹣3π）=2cos（α﹣4π）
∴﹣sin（3π﹣α）=2cos（4π﹣α）
∴﹣sin（π﹣α）=2cos（﹣α）
∴sinα=﹣2cosα且cosα≠0…
∴原式====﹣…
点评：本题考查三角函数的诱导公式及化简求值，熟练掌握诱导公式是化简的关键，属于中档题．
17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且sinB=，b=2．
（1）当A=30°时，求a的值；
（2）当a=2，且△ABC的面积为3时，求△ABC的周长．
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）利用正弦定理列出关系式，把sinA，sinB，以及b的值代入即可求出a的值；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把a，b，已知面积代入求出sinC的值，再由sinB，b的值，利用正弦定理求出c的值，即可确定出三角形周长．
解答：解：（1）∵在△ABC中，sinB=，b=2，A=30°，
∴由正弦定理=，得a===；
（2）∴在△ABC中，sinB=，b=2，a=2，且S△ABC=3，
∴S△ABC=absinC=×2×2sinC=2sinC=3，
∴sinC=，
由正弦定理=，得c===，
则△ABC的周长为a+b+c=2+2+=．
点评：此题考查了正弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
18．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且 b2+c2=a2+bc．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=，b+c=3，求b和c的值．
考点：余弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：（1）根据题中等式，结合余弦定理算出cosA=，而A∈（0，π），可得A=．
（2）由a=和b2+c2=a2+bc，配方得（b+c）2﹣3bc=3，结合b+c=3算出bc=2，再联解的方程组，即可得到b和c的值．
解答：解：（1）∵△ABC中，b2+c2=a2+bc
∴根据余弦定理，得cosA==
∵A∈（0，π），∴A=．
（2）由（1）得b2+c2﹣bc=a2=3
配方可得（b+c）2﹣3bc=3
∵b+c=3，∴32﹣3bc=3，可得bc=2
由，解得或
点评：本题给出三角形边之间的平方关系，求角A的大小并求边b、c的值，着重考查了特殊三角函数的值、利用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．
19．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，求该函数表达式．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由函数的最大、最小值求出k和A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
解答：解：由函数的图象可得A==2，k=3﹣A=1，
T==（﹣2）=6，∴ω=．
再根据五点法作图可得×2+φ=，求得φ=﹣，
∴f（x）=2sin（x﹣）+1．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最大、最小值求出k和A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
20．已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx﹣，
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值及取最大值时x的取值集合；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（1）首先利用三角恒等变换版型成正弦型函数，进一步求最小正周期和最值．（2）直接利用整体思想求x的集合．
（3）利用整体思想求单调区间．
解答：解：（1）函数f（x）=cos2x+sinxcosx﹣
==，
所以：；
（2）当2x+=2k时，即x=k函数取最大值，
{x|x=k}（k∈Z）；
（3）令，
解得：（k∈Z），
即函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．
点评：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，单调区间和最值．。