大学物理实验-三摆线法测试物体的转动惯量

一、实验名称 三线摆法测试物体的转动惯量 二、实验目的
(1)学会用三线摆测定物体的转动惯量。

(2)学会用累积放大法测量周期运动的周期。

(3)验证转动惯量的平行轴定理。

三、实验原理 (基本原理概述、重要公式、简要推导过程、重要图形等；要求用自
己的语言概括与总结，不可照抄教材)
如图 1是三线摆实验装置的示意图.上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上. 三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连. 上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴OO ′做扭摆运动，当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看成简谐运动. 根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出物体绕中心轴OO ′的转动惯量：
2
00020
=
4m gRr I T H π
式中，m 0为下盘的质量；r 、R 分别为上、下悬点离各自圆盘中心的距离；H 0为平衡时上、下盘间的垂直距离； T0 为下盘做简谐运动的周期；g 为重力加速度（如成都为：9.79136m/s 2） 将质量为m 的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与OO ′轴重合.测出此时摆运动周期T1和上、下圆盘间的垂直距离H ，同理，可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴OO ′的总转动惯量为
()02
11
2
=
4m m gRr I T H
π+
如不计因重量变化而引起悬线伸长，则有 H ≈ H0 ，那么待测物体绕中心轴的转动 惯量为
()22
10010024gRr I I I m m T m T H
π⎡⎤=-=
+-⎣⎦ 因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量.
用三线摆法还可以验证平行轴定理. 若质量为 m 的物体绕通过其质心轴的转动惯量为 Ic ，
当转轴平行移动距离x 时， 则此物体对新轴OO ′的转动惯量为 2
'oo c I I mx =+
这一结论称为转动惯量的平行轴定理.
实验时将质量均为 m' ，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上(下盘
图 1
有对称的两个小孔).按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴OO ′的转动周期Tx ，则可求出每个柱体对中心转轴 OO ′的转动惯量:
()02
02
2'1=24x x m m gRr I T I H π+⎛⎫- ⎪⎝⎭
如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x 以及小圆柱体的半径R x ，则由平行轴定理可求得: 221
'''2
x x I m x m R =+
比较 I x 与Ix ′的大小，可验证平行轴定理.
四、实验内容和步骤（要求用自己的语言概括与总结，不可照抄教材）
实验内容：
1. 用三线摆测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量 ；
2. 用三线摆验证平行轴定理。

实验步骤：
(1) 尽量调整下盘水平。

(2) 测量空盘绕中心轴 OO ′ 转动的运动周期T0 ：轻轻转动上盘，带动下盘转动，这样可以避
免三线摆在做扭摆运动时发生晃动. 注意扭摆的转角控制在 5o
以内. 用累积放大法测出扭摆运动的周期。

测量时间时，应在下盘通过平衡位置时开始计数，并默读 5、4、3、2、1、0，当数到“0”时启动停表，这样既有一个计数的准备过程，又不至于少数一个周期。

(3) 测出待测圆环与下盘共同转动的周期T1 ：将待测圆环置于下盘上，注意使两者中心重合，按同样的方法测出它们一起运动的周期T1 。

(4) 测出两个小圆柱体(对称放置)与下盘共同转动的周期 Tx 。

(5) 由于本实验设备的便利性，可以测出上下底盘悬点所在圆的直径。

(6) 其他物理量的测量：用米尺测出两圆盘之间的垂直距离 H0 和放置两小圆柱体小孔间距 2x ；待测圆环的内、外直径 2R1 、 2R2 和小圆柱体的直径 2Rx 。

(7) 记录各刚体的质量。

实验过程中的照片：
图 2 总体实验仪器1
图 3 总体实验仪器设计
图 4 大圆柱体放到底盘上
图 5 小圆柱体放到底盘上
五、数据记录
1.实验仪器（记录实验中所用仪器的名称、型号、精度等级等参数）
笼屉（蒸笼），粗线，大圆柱体（罐装啤酒）一个，两个小圆柱体（打印墨水瓶），米尺（精度1mm），手机秒表，电子秤（精度1g）。

2.原始数据记录（原始数据表格只需要画出与数据记录有关的部分，禁止用铅笔记录数据，伪造、抄袭数据按作弊处理，该实验计零分）
表 1 累积法测周期数据记录表格
表 2 各长度测量数据记录表格
大圆柱体（罐装啤酒）质量：500g
小圆柱体（打印墨水瓶）质量：150g
平衡时上、下盘间的垂直距离H0=H=57.2cm
六、实验数据整理及数据处理（★需画表格，重新将原始数据整理、誊写一遍，在原始数据记录项中直接进行数据处理的视为无效。

要求表格清晰完整，有效数字位数正确，符号、单位清楚，写出必要的过程，运算过程规范，结果表达式正确）数据处理：
表 3 累积法测周期数据记录表格及计算
表 4 长度测量数据记录及计算
下圆盘的转动惯量：
2
22000220
43.529.4
2009.7913622=
1.41551.224457.2
m gRr I T g cm H ππ⨯⨯
⨯=⨯=⨯
大圆柱体的转动惯量：
()22
10010024gRr I I I m m T m T H
π⎡⎤=-=
+-⎣⎦ 220100200
22()4D d g
m m T m T H π⎡⎤=+-⎣
⎦ ()22243.529.4
9.7913622500200 1.73200 1.41457.2π⨯⨯
⎡⎤=+⨯-⨯⎣⎦⨯ 22366.49g cm =
大圆柱体理想的转动惯量：
22
211120.0=()500()2533.032222D I m g cm ππ
=⨯⨯=理
相对误差：
2533.032366.49 6.57%2533.03
r E -==
由实验可以算每个柱体对中心转轴 OO ′的转动惯量得：
()022022
2
43.529.4(200300)9.791362'1122=(3.44)551.22242457.27633.46x x m m gRr I T I H g cm ππ⎛⎫
+⨯⨯⨯ ⎪+⎛⎫-=⨯- ⎪ ⎪⨯⎝⎭ ⎪⎝⎭
=
由平行轴定理可求得:
2222
2114.2112.3'''150()150()7848.922222x x I m x m R g cm π
=+=⨯+⨯⨯=•
七、分析讨论: ①回答教材课后思考题 ②实验中遇到的问题（故障、差错）及处
理办法，结果如何？③实验后对实验原理和方法的新认识 ④对实验误差和标准不确定度来源的探讨及减小的办法 ⑤实验的独特见解；是否可通过其他途径达到同样的实验目的和结果 ⑥需要商榷的问题及对本实验的建议等。

①思考题：
(1) 用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下圆盘水平？
答：使转动的轴线与悬线的轴线重合，两盘如果不水平的话，就会导致摆动时不做简谐振动，
出现螺线摆运动 从而导致误差偏大。

(2) 在测量过程中，如下圆盘出现晃动，对周期测量有影响吗？如有影响，应如何避
免？
答：有影响。

当三线摆在扭动的同时产生晃动时，这时下圆盘的运动已不是一个简谐振动，从而运用公式测出的转动惯量将与理论值产生误差，其误差的大小是与晃动的轨迹以及幅度有关的。

让摆幅小一些；停止摆动，重新启动。

不要晃动仪器。

可避免晃动。

(3) 三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大，为什么？ 答：加上待测物体后三线摆的摆动周期不一定比空盘的周期大。

还与物体的形状及质量有关。

由下圆盘对中心轴转动惯量公式可知，若J/m>J 0/m 0，加上待测物体后，三线摆的摆动周期变大；若J/m<J 0/m o ，加上待测物体后，三线摆的摆动周期变小。

(4) 测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下圆盘转轴不重合，对实验结果有何影
响？
答：重力影响振动，增添额外误差差。

(5)如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？
答：可利用平行轴定理先测定物体绕与特定轴平行的过物体质心的轴的转动惯量J’，仪器可用扭摆或三线摆，若特定轴与过质心轴的距离为L，则物体绕特定轴转动的转动惯量J-J'。

(6)三线摆在摆动中受空气阻尼的影响，振幅越来越小，它的周期是否会变化？对测
量结果影响大吗，为什么？
答：对于阻尼不大的欠阻尼来说周期不变的，在周期计算公式中k为振动系统固有频率，w为阻尼系数。

对于阻尼过大的过阻尼来说，周期将会发生变化物体将以非
周期运动。

②实验结果及误差分析：
实验结果：用三线摆测得大圆柱体关于圆柱轴的的转动惯量为2366.49g*cm2，相对误差6.57%，实验误差较大，但是在排除实验仪器的误差外，可以认为是正确的，另外，实验也验证了平行轴定理即测量结果与平行轴定理计算结果在误差范围内相等。

本实验中产生误差的主要因素有：
（1）用米尺测H时，米尺未竖直、未拉直，读错数，容易造成较大误差；
（2）绳子长度的变化，H不等于H0；
（3）下圆盘由于确实水平测试仪器，下盘在一定程度上没有水平；
（4）圆盘扭转时有晃动也易造成时间测量误差；
（5）所用圆柱体不是严格意义上的圆柱体，导致理论计算时有误差。

③实验感想：
通过本次线下实验，充分认识到自己理论知识的缺陷和实际操作能力的不足，在仪器选择上没有较大的创新，但是通过自己设计实验，让我知道做这些实验的意义，一方面：锻炼自己的动手能力，如何固定装置会尽可能的减少误差，这样设置会产生什么误差，通过这些思考，可以加深对理论知识的认知，进而实现知识的融会贯通。

另一方面，在数据处理上，对用生活中的物品做实验有了全新的认识，对以后思考某些问题有巨大的帮助。

总的来说，现下实验，摆脱了实验室仪器的束缚，实现自己在家就能做的实验，很有意义。