非正态变量的结构可靠性算法研究_马超

第25卷 第3期应用力学学报Vo l.25 No.3 2008年9月CHINESE JOURNAL OF APPLIED MEC HANIC S Sep.2008
文章编号:1000-4939(2008)03-0471-04
非正态变量的结构可靠性算法研究*
马 超 吕震宙
(西北工业大学 710072 西安)
摘要:针对含有非正态变量的结构可靠性分析,提出了基于等价正态三参数变换和模拟退火全局优化的可靠性计算方法。

首先给出等价正态三参数变换的过程并指出优化方法是影响三个参数求解精度的关键因素。

然后,给出用模拟退火方法优化三个参数的详细步骤并用算例证明所提方法的可行性和效率。

结果表明,由于采用基于模拟退火的全局优化使得等价正态的三个参数更加准确,从而降低了计算失效概率的误差;所提方法计算效率比Mo nte-Carlo方法明显提高,适于工程应用。

关键词:非正态随机变量;模拟退火算法;等价正态化
中图分类号:T B114 3 文献标识码: A
1 引 言
在实际结构可靠性分析中,基本随机变量常含有非正态变量,极限状态方程可能为线性,也可能为非线性。

对于含有非正态随机变量的可靠度计算,目前大多采用两种方法,其一是数值模拟,如M onte -Carlo法,这种方法适合于任何分布形式的随机变量,然而,高维小失效概率情况下,数值模拟方法计算量大,甚至不可实现;其二是近似解析法,这类方法首先对非正态变量进行等价正态化变换,然后利用一次二阶矩法或改进的一次二阶矩法进行可靠度分析。

文献[1]是两参数等价正态变换法,该法由国际结构安全委员会(JCSS)所采用,称之为JC 法[2]。

文献[3]和文献[4]是三参数等价正态变换法。

两参数正态等价变换的原则是:在设计点处等价正态变量与原变量具有相同的累积分布函数值和概率密度函数值。

文献[3]的等价原则是在设计点处除满足上述两参数等价正态变换法的条件外,还要满足在设计点处概率密度函数的导数之值也相等。

文献[4]是在文献[1]和文献[3]基础上发展起来的三参数等价正态变换法,其基本思想是在失效概率近似误差最小的前提下,寻找非正态变量的三参数等价正态分布。

本文针对文献[4]求解等价正态三个参数的方法较为复杂且计算量大等问题,采用模拟退火全局优化算法优化三个参数,简化了求解三个参数的计算方法,提高了计算精度和效率,文中用算例证明方法的可行性和优越性。

2 三参数等价正态变换法的分析
2 1 非正态变量的等价正态化
三参数等价正态变换法的基本思想是:在失效概率近似误差尽可能小的基础上,对于具有非正态分布函数F X
i
(x i)和密度函数f X
i
(x i)的变量x i,采用如下所示的具有三参数的正态分布来替代非正态分布[4-5]。

f X
i
(x i) A i (
x i- i
i)(1)
*来稿日期:2006-04-09 修回日期:2007-04-02
第一作者简介:马超,男,1981年生,西北工业大学航空学院硕士生;研究方向 飞行器可靠性工程。

E-m ail:zhenzhoulu@nw
F X i (x i )
A i (
x i - i
i
) 对于左尾部情况
1-A i [1- (x i - i
i )]
对于右尾部情况
(2)
其中: 、 分别为标准正态变量的密度函数、分布函数; i 、 i 分别为等价正态分布的均值、标准差,A i 可以看作是分布函数和密度函数近似的一个调整参数。

显然式(1)和式(2)只是近似成立的,对于非正态变量,要想在变量的所有取值范围内得到一个密度函数和分布函数均有很好近似精度的正态分布变量是不可能的,而且对于失效概率计算来说也是不必要的,因为只有基本变量的尾分布才会对失效概率计算产生较大影响,就应力 强度干涉模型而言,如果能对强度变量的左尾部和应力变量的右尾部的分布进行很好近似,则可以得到失效概率的高精度解。

上述近似关系式式(2)正是通过调整等价正态分布的尾分布函数,来近似非正态变量的尾分布的。

2 2 非正态变量情况下失效概率的计算
不失一般性,可假设结构可靠性分析的基本向量x =[x 1,x 2, ,x n ]中的x i 均为非正态变量,并假设各基本变量间相互独立,采用式(1)近似后,则x 的联合概率密度函数f X (x )如下所示。

f x (x )=
n
i=1f X i (x i )
n
i=1
A i (
x i - i
i )(3)而失效概率P f 为f x (x )在极限状态方程g(x )定义的失效域 f ={x |g(x ) 0}中的积分,可以近似采用下列公式给出
P f
n
i=1
A
i
(- )(4)
其中 为基本变量均等价成正态变量后所得到的可靠度指标。

当极限状态函数g(x )为基本变量的线性函数时,即g(x )=a 0+
n
i =1
a i x i ,则 =(a 0+
n
i=1a i
i
)/ n
i=1
(a i
i
)
2
,若基本变量中有正态分布
的变量,则只要将正态变量的均值与均方差直接用于上式的计算即可。

2 3 三参数A i 、 i 和 i 的确定1) 线性极限状态方程
线性极限状态函数g (x )=a 0+
n
i=1
a i x i 中含有
多个非正态变量时,三参数等价正态变换法是逐个变量作等价正态转换的。

首先利用二参数等价正态
变换法[1]求解设计点x *(2)=[x *2(1),x *(2)2, ,x *
(2)n ]
及相应的等价正态变量的均值
(2)i 和标准差 (2)i ,其中下标中的 (2) 表示二参数等价正态变换的结果,然后每次求解一个非正态变量x i 的三个参数,
其余的非正态变量可暂时用二参数等价正态变换的结果替代,并将它们用综合变量y 来表示
y =a 0+
n
j =1,j i
a j x j (5)
其中y 服从均值为 y =a 0+
n
j =1,j 1
a j (2)j 和方差为
2y
=
n
j =1,j 1
(a j (2)j )2
的正态分布。

若y 中含有正态变
量x j ,则 y 和 2y 计算公式中的 (2)j 和 2
(2)j 直接采用正态分布的均值与方差即可。

叙述方便起见,以x 表示待进行三参数等价正态化变换的x i 与其系数的乘积,即x =a i x i ,并以F X (x )和f X (x )表示非正态变量x 的分布函数和密度函数,这样极限状态方程就转化成只含有x 和y 两个变量的情况,可采用下式来计算失效概率P f 。

P f =
+
- F X (-y ) (y - y
y
)d y (6) 为使等价变换后失效概率计算的误差尽可能
小,可以用A (-y - ) (y - y y
)拟合F X (-y )
(y - y y
)的误差平方和的积分E 最小为目标来求
得等价的三个参数,则求三个等价参数的问题可转
化为如下无约束优化问题。

M in (E )=
+
- [A (-y - ) (y - y y
)-F X (-y ) (y - y y
)]2
d y (7)
假设E 0,则可以先确定A 的取值如下
A = +
- F X (-y ) (
y - y
y
)d y
+ - (-y - ) (y - y y
)d y (8)
将式(8)代入式(7)则只剩下求解 i 和 i 两个参数。

2) 非线性极限状态方程
将非线性极限状态函数在设计点x *(2)=[x *
(2)1,x *
(2)2, ,x *
(2)n ]展开成如下所示不含交叉项的二次多项式。

g(x )= n
i=1
(-a 2
i
4b i )+ n
i=1
b i
[x
i
-(x *
(2)i -
a i 2
b i
)]2
(9)
472应用力学学报第25卷
其中:a i= g
x i| x*(2);b i=
1
2
2g
x2i| x*(2)。

令b0= n i=1(-a2i4b i),y i=[x i-(x*(2)i-a i2b i)]2,则有
g(y)=b0+ n i=1b i y i(10)其中y=[y1,y2, ,y n]。

y i为x i的函数,x i(i=1, 2, ,n)的独立性可导致y i相互独立,并由x i的分布导出y i的分布。

则非线性极限状态方程的可靠性分析问题转化成含非正态变量的线性极限状态方程的可靠性分析问题。

上述三参数等价正态变换法的基本思路可知,该方法是建立在两参数等价正态化变换法基础上的,三个参数求解的正确与否直接影响最终失效概率的计算,本文将在下节给出具有全局优化性能的模拟退火算法求解等价三参数的步骤,以减少优化方法对结果的影响。

3 基于模拟退火算法确定三参数
对于式(7)所示的无约束优化问题,可以采用模拟退火算法[6]来确定参数。

优化过程中,每组(A i, i, i)对应一个目标函数E(A i, i, i),以Metropolis准则判断是否接受或拒绝新解,逐步迭代直至满足收敛准则(温度达到足够小的值),此时即可得所求参数的全局最优解,算法步骤如下所示。

1) 初始化参数值
确定非正态基本随机变量的等价正态参数均值 i和标准差 i取值域,这两个参数的取值域可根据二参数等价正态变换法的结果确定, i [u(2)i 1], i [ (2)i 2],当参数 1和 2较大时,相应 i 和 i搜索区间变大,搜索时间变长。

选定退火的初始温度T1、第k次迭代的马尔科夫链长L k和温度下降幅度,T1越高L k越大且温度下降越慢,则计算结果越精确,但所需的计算时间也越长,目前还没有精确的理论来指导它们的取值,可根据试算后取经验值。

2) 第1次退火,在T1温度下,随机产生L1个均值和标准差(l i,l i)(l=1,2, ,L n),并计算对应的l A i和目标函数l E,将第一次退火中目标函数值最小所对应的三参数向量记为* P1= (*A i,* i,* i)。

3) 在第k(k>1)次退火后,按较慢的速度衰减M etro po lis准则中的温度T k。

4) 第k次退火,在T k温度下,随机产生L k个均值和标准差(l i,l i)(l=1,2, ,L k),并计算对应的l A i和目标函数l E,将第k次退火中目标函数值最小所对应的三参数向量记为* P1= (*A i,* i,* i),按照M etr opo lis准则判断是否接受最优解从* P k-1=(*A i,* i,* i)向* P1= (*A i,* i,* i)转移。

5) 判断是否满足收敛准则,若满足,则停止迭代,否则返回到第3)步迭代。

4 算 例
算例1 线性极限状态方程
两极限状态函数分别为 :g(x)=x1-x2; :g(x)=x1-x2-x3,各随机变量的分布形式及参数如表1所示,计算结果列于表2中。

表1 算例1基本随机变量分布参数
基本变量分布函数均值 标准差 x1 型极大378 860864 1275
x2指数分布35 714335 7143 x1对数正态30 925 26
x2正态分布5 30 37
x3 型极大7 52 03
表2 算例1计算结果
失效概率P f
10-5 误差/% 10-4 误差/% M C法6 962 2 518
JC法7 676910 272 3187 94
本文方法6 68264 012 5370 75
算例2 非线性极限状态方程
两极限状态函数分别为 :g(x)=x21-x2; :g(x)=2x21-x22,各随机变量的分布形式及参数如表3所示,计算结果列于表4中。

表3 算例2基本随机变量分布参数
基本变量分布函数均值 标准差 x1 型极大7 52 03
x2正态分布103 x1指数分布50005000
x2对数正态1 780 95
从所列算例的结果可以看出,本文方法比JC法的计算精度有较大提高,特别是极限状态方程含有多于两个以上非正态随机变量时,结果更显示优越性,如算例1( )。

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第3期 马超,等:非正态变量的结构可靠性算法研究
表4 算例2计算结果
失效概率P f
10-5 误差/% 10-4 误差/% M C法8 032 2 517
JC法7 8991 662 82112 08
本文方法8 1050 912 5260 36
5 结 语
本文首先对非正态变量的三参数等价正态变换方法进行了分析,指出了影响该方法失效概率计算精度的因素,并针对影响精度的优化方法因素,提出了采用模拟退火确定等价变换三参数的方法,针对不同形式分布函数和极限状态方程给出一系列算例,并与Mo nte-Carlo法和JC法作了对比。

结果表明所提方法计算精度较JC法有明显的改善,而与Mo nte-Carlo法相比,本文方法在计算效率上有较大提高。

与确定等价变换三参数传统优化方法相比,模拟退火方法有全局优化的性能,并且该方法易于编程实现,且具有通用性,因而适于应用。

参 考 文 献
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CH INESE JOURNA L OF APPLIED MECH ANICS Vol.25
ear defo rmatio n,strain softening,coupling o f elasticity and plasticity as w ell as,dilatio n and degradation. Keywords:rock interf aces and j oints,constitutive model,nonlinear elasticity,p lastic sof tening,rock mechanics.
Computation and Analysis for Wake and Aerodynamic Characteristics
of Tiltrotors in Transitional Flight
L i Chunhua X u Guohua
(National Key Lab oratory of Rotorcraft Aer om ech anics,Nanjing U nivers ity of Aeronau tics and Astronautics,210016,Nanjing,Ch ina)
Abstract:An analytical m ethod w as developed to predict the w ake and aerody namic for ce of a tiltrotor in special tilting transitional flig ht.The rotor blade w as mo deled follow ing the Weissinger-L lifting-surface theory,and the effects of tilting mo tion o n w ake velocities w ere added into the go verning equation of vo r-tex filam ents.T he r otor w ake w as solv ed in a time-m ar ching w ay by em plo ying the4-o rder A dams-M ou-l to n predicto r-correcto r scheme,and a new blade flapping m otion equation w as derived so as to be suitable fo r the tiltr otor.In addition,a r otor tr im m odel w as coupled in the metho d.As numerical ex amples,the w ake g eo metries of a r otor in hov er and forw ard flight w ere firstly calculated and compared w ith available ex perimental data for validation purpo se.T hen,the method w as used to analyze the w ake characteristics of a tiltr otor during tilting process w ith emphasis o n the w ake lag and bending effects due to the tilting mo-tion.Also,the variations o f the tiltrotor thrust as w ell as pitching and ro lling mom ents w ith time in tilting tr ansitional process were calculated and discussed and so me conclusions w er e draw n.
Key word:r otor,tiltr otor f r ee w ak e,aer ody nam ic char acter istics,transitional f light.
Reliability method for Structure with Non-normal Variables
M a Chao L u Zhenz hou
(C ollege of Aeronautics,Northw estern Polytechnical University,710072,Xi'an,C hina)
Abstract:On the basis of the equiv alent norm al distribution w ith three parameters and the simulated an-nealing optim ization,a reliability m ethod is pro posed for the structure w ith non-nor mal random variables. The equivalent norm al transfor matio n w ith thr ee param eters is analyzed and the key affecting the accuracy of three parameters is pointed out.T hen the o ptimizing three parameters procedure w ith sim ulated annea-ling algor ithm is given in detail.So me ex amples are taken to demo nstrate its feasibility and efficiency.The results show that the error o f the failure probability calculatio n is decreased due to the accurate three pa-r am eters so ug ht by the simulated annealing w ith a glo bal optim ization property.The efficiency of the pres-ented method is higher than that o f Mo nte-Carlo simulatio n.
Key words:non-normal r and om variable,simulated annealing algorithm,equiv alent normal. Relationships Between Matsuoka-Nakai and Lade-Duncan Failure Criteria Yang X ueqiang1 A u S.K.2 Feng W.H.3 L iu Zud e4
(Guan gdon g U nivers ity of T echnology,510006,Guan gzhou,China)1 (H ong Kon g Un iversity,H on gkong,China)2 (City U niver sity of H ong Kong,H ong Kon g,China)3 (Wuh an University,430072,W uhan,C hina)4
Abstract:M atsuo ka-Nakai and Lade-Duncan failur e criteria both meet the convex ity and smoo thness for a w ide rang e o f frictional ang le in three-dimensional principal stress space,and also better describe the influ-。