广东省惠州市2010年普通高中毕业班综合测试(一)文科数学考试试卷答案

惠州市2010届高三第一次高考模拟考试
数学试题(文科）答案
1．【解析】
11111222i i i -==-+，∴复数
11i +的虚部是1
2
-．故选A ． 2．【解析】()(){}0,1,0R A C A B =+∞⇒=-I ．故选C ．
3．【解析】由0a b +=，可得a b =-，即得a b ∥，但a b ∥，不一定有a b =-，所以“a b ∥”
是“0a b +=”成立的必要不充分条件。

故选B ．
4．【解析】函数()y f x =是ln y x =的反函数，()()2,2x f x e f e ∴==．故选C ． 5．【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数：
()1
8024667855+
++++=, 方差是：()()()()()22222
182858485868586858785 3.25⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦．
故选D ．
6．【解析】①显然正确；②三点在平面β的异侧，则相交；③正确。

故选B ． 7．【解析】
0.720.721(0.7)0log 2,>>->> 即a b c >>，∴输出的数是a ．故选A ．
8. 【解析】2
8y x =焦点是()2,0，∴双曲线22
21x y a
-=的半焦距2c =，又虚半轴1,b =
又
0a >a ∴==∴双曲线渐近线的方程是y x =．故选D ．
9．【解析】
2422222m n m n m n +>+≥⇒>⇒+<，即20m n +-<，故选A 。

10．【解析】当直线:(0l x t t =≤≤从左向右移动的过程中，直线l 左侧阴影部分的面积()
f t
的改变量开始逐渐增大，当到达中点t =()f t 的改变量最大，而后面积()f t 的改变量逐渐减小。

故选C ．
11．【解析】()
()()'
'
3
2
3933311y x x x x x =-+=-=-+
当(),1x ∈-∞-时，'
0y >，函数3
39y x x =-+递增；
当()1,1x ∈-时，'
0y <，函数3
39y x x =-+递减；
当()1,x ∈+∞时，'
0y >，函数3
39y x x =-+递增；
当1x =时，7y =极小值
12．【解析】41033()(7)28182a a a d a d d d +=+++=+=⇒=，∴1323a a d =-=-
另解：
72a =41018,a a +=79a ∴=，∴公差7391
2734
a a d --=
==-，1323a a d =-=-。

13．【解析】在ABC ∆
中，43cos ,sin 55
B B =∴== ，
由正弦定理得：32sin 25sin sin sin 35a b a B A A B b ⨯
=⇒=== 。

14．【解析】当3x ≠时，()00
3cos 2301
tan 230tan 18050tan 5031sin 230
x t y x y t ⎧-=+⇒==+=⎨-+=⎩， ∴直线倾斜角是50
15．【解析】设⊙O 的半径是R ，()()PA PB PC PD PO R PO R ⋅=⋅=-+⇒8R =。

16．解：（1）(2,2)AB =-u u u r ，(2cos2,sin 2)AC x x =-+u u u r ， …………2分
∴()f x =(2,2)(cos 22,sin 2)x x -⋅-42cos22sin 2x x =-
+)44
x π
=-+，
∴()f
x )44
x π
=-
+， …………6分 ∴()f x 的最小正周期为ππ
==
2
2T 。

…………8分 （2）∵()f
x )44
x π
=-+．
∴当sin(2)14
x π
-=，
即()224
2
x k k Z π
π
π-
=+
∈，即()38
x k k Z π
π=+
∈时， …………10分
max ()4f x =。

…………12分
17．解：（1）共有21个等可能性的基本事件，列举如下：)2,1(，)3,1(，)4,1(，)5,1(，)6,1(，
)7,1(，)3,2(，)4,2(，)5,2(，)6,2(，)7,2(，)4,3(，)5,3(，)6,3(，)7,3(，)5,4(，)6,4(，)7,4(，)6,5(，)7,5(，)7,6(，共21个； ……5分 （2）记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和大于6且小于10”为事件A . 即事件A 为“{},1,2,3,4,5,6,7x y ∈，且x y +∈()6,10，其中y x <”，
由（1）可知事件A 共含有9个基本事件，列举如下：
()()()()()()()()()1,6,1,7,2,5,2,6,2,7,3,4,3,5,3,6,4,5. 共9个； ………10分
93
()217
P A ∴=
=. …………………12分
18．解 ：（1）直三棱柱111ABC A B C -，
底面三边长3AC =，4BC =，5AB =,
222
AB AC BC ∴=+，∴ AC BC ⊥，
1,,CC ABC AC ABC ⊥⊂平面平面 1AC CC ∴⊥，又1,BC
CC C =
1111,AC B BC BCC B ∴⊥⊂1平面BCC 平面，
∴1AC BC ⊥ …………5分
（2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ， ∵D 是AB 的中点，E 是1C B 的中点，1,DE
AC ∴
11111,,DE CDB AC CDB AC CDB ⊂⊄∴平面平面平面。

………10分
（3）111111111134443
2322
C CDB
D B C C B C C V V S AC --⎛⎫==
⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ………14分 19．解：（1）依题意可设椭圆方程为 12
22=+y a
x
，则右焦点)
F
由题设
32
2
212=+-a ，解得32=a ……………………4分
故所求椭圆的方程为13
22
=+y x ……………………5分 （2）设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13
2
2y x m kx y 得 0)1(36)13(2
22=-+++m mkx x k 直线与椭圆相交，()()()
2
2
2
6431310mk k m ∴∆=-+⨯->⇒132
2
+<k m ①……8分
2
3231M N P x x mk x k +∴=
=-+ 从而231P P m
y kx m k =+=+ 2131
3P AP
P y m k k x mk
+++∴==-
又,AM AN AP MN =∴⊥，则 k
mk k m 1
3132-=++- 即 1322+=k m ② …………………………10分
把②代入①得 2
2m m < 解得 20<<m …………………………12分
由②得 03122
>-=m k 解得2
1>m ． ……………………………………13分 综上求得m 的取值范围是1
22
m << ……………………………………14分
1A
1B
1C
A
B
D
C E
20．解：（1）213(,)()22
n n n S f x S n n ∴=
+点在的图象上， 当121n n n n a S S n -≥=-=+时，；当1112n a S ===时，，适合上式，
1()n a n n N *
∴=+∈ ………………………………………4分
（2）11
1
22n n n n a n b --+=
=
， 1221341
2222
n n n n T b b b -+=+++=++++…… ①
211231
22222n n n n n T -+=++++…， ② ……………………5分 由①-②得： 2111111222222n n n n T -+=++++-…211111(1)(1)2222
n n n -+=+++++- (111211212)
n
n n -+=+--=112(1)122n n n +-+-，1362n n n T -+∴=- ………………8分 （3
）证明：由11122,21n n n n n a a n n c a a n n ++++=+=+>=++
122,n n c c c c n ∴++++> …………………………10分
又2
1
1121221+-
++=+++++=n n n n n n c n 12111111
2[()()()]233412
n c c c n n n ∴+++=+-+-++-++……12分
11122222
n n n =+-<++
121
222n n c c c n ∴<+++<+成立 …………………………………14分
21．解：（1）当12
a =-时，()()2111,222x
x x f x e x f x e x '=-
+-=-+， ………2分 从而得()()1
11,12
f e f e '=-=-， ………………………………………4分
故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1
1()(1)2
y e e x -+=--，
即11022e x y ⎛
⎫---= ⎪⎝
⎭. ………………………………………6分
（2）由()0f x ≥，得221
1
1121,,22x x e x ax e x x a x
--≤--≥∴≤， ……………7分
令()2112,x e x g x x --=则()()22111
2,x e x x g x x
--+'= ………………8分 再令21()(1)1,2x x e x x ϕ=--+则()()1(1),,02
x
x x e x x ϕϕ''=-≥∴>，
即()x ϕ在1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.所以()x ϕ17
0282ϕ⎛⎫≥=-> ⎪⎝⎭
，……………10分
因此()()100,2x g x x ϕ⎛⎫
⎡⎫'>⇒>∈+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝
⎭，
故()g x 在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣
⎭上单调递增. …………………12分
则()()12
min
1
1
1981242
e g x g x g --⎛⎫≥===
⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
， 因此 m a x a =9
4
. …………………………………………………………14分。