(广东专用)2013高考数学总复习 第四章第四节 平面向量应用举例课件 理
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P→A＝(2，－y)，P→B＝(1，a－y)， ∴P→A＋3P→B＝(5,3a－4y)， |P→A＋3P→B|2＝25＋(3a－4y)2， 由点 P 是腰 DC 上的动点，知 0≤y≤a. 因此当 y＝34a 时，|P→A＋3P→B|2 的最小值为 25. ∴|P→A＋3P→B|的最小值为 5.
【答案】 5
规范解答之八 数量积在解析几何中的应用
(14 分)(2012·茂名质检)已知平面上一定点 C(－1,0)和一定 直线 l：x＝－4，P 为该平面上一动点，作 PQ⊥l，垂足为 Q，且 (P→Q＋2P→C)·(P→Q－2P→C)＝0.
4．平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满 足O→P·O→A＝4，则点 P 的轨迹方程是________．
【解析】 ∵O→P·O→A＝4，∴(x，y)·(1,2)＝4. ∴x＋2y－4＝0.
【答案】 x＋2y－4＝0
向量在平面几何中的应用
如图4－4－1所示，在等腰直角三角 形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D 为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝ 2EB.求证：AD⊥CE.
3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合， 常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关 问题．
过点(1,2)且与向量a＝(4,2)所在的直线平行的直线，其斜率与a 的坐标有何关系？你能写出该直线的方程吗？
【提示】 直线的斜率 k＝24＝12，为 a 的纵坐标与横坐标的比值， ∴直线方程为 y－2＝12(x－1)，即 x－2y＋3＝0.
【答案】 C
从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面 几何及力学问题，要求较低，只是在2011·天津，2010·辽宁 高考中各考一个小题，重点考查向量方法的简单应用，另外向 量作为载体，常与相关知识交汇，平面向量在其中起一个穿针 引线的作用，如2011·江西高考，此类题目常以向量的运算为 切入口，体现了向量的工具性作用．
(2011·天津高考)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， ∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|P→A＋3P→B |的最小值为________．
【解析】 以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC＝a，DP＝y.则 D(0,0)， A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，
一质点受到平面上的三个力 F1、F2、F3(单位：牛顿)
的作用而处于平衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的大小
分别为 2 和 4，则 F3 的大小为( )
A．2 7
B．2 5
C．2
D．6
【解析】 如图所示，由已知得 F1＋F2 ＋F3＝0，
∴F3＝－(F1＋F2)． F23＝F21＋F22＋2F1·F2 ＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos 60°＝28.
∴|F3|＝2 7.
【答案】 A
向量在三角函数中的应用
(2012·韶关调研)已知向量 a＝(cos α，sin α)， b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)． (1)求向量 b＋c 的长度的最大值； (2)设 α＝π4且 a⊥(b＋c)，求 cos β 的值． 【思路点拨】 (1)把b＋c用坐标表示，再求|b＋c|2的表达式；
∴(m－12)2＋(n－12)2＝21，
∴点(m，n)在以(12，12)为圆心，
2为半径的圆上． 2
∵圆心(12，12)到直线l的距离d＝|12＋12＋1|＝ 2
2，
∴直线 x＋y＋1＝0 与圆(m－21)2＋(n－21)2＝12相离，
∴点(m，n)到直线 l 的距离的最小值为 d－r＝
2－
22＝
2 2.
(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1 ＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x ＝ 2sin(2x－π4)． ∵x∈[π2，98π]，∴2x－π4∈[34π，2π]，
故 sin(2x－π4)∈[－1， 22]， ∴当 2x－π4＝34π，即 x＝π2时，f(x)max＝1.
1．(教材改编题)若向量O→F1＝(2,2)，O→F2＝(－2,3)分别表示两
个力 F1 与 F2，则|F1＋F2|为( )
A．2.5
B．4 2
C．2 2
D．5
【解析】 ∵F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)， ∴|F1＋F2|＝ 0＋52＝5.
【答案】 D
2．已知 O 是△ABC 所在平面上一点，若O→A·O→B＝O→B·O→C＝
已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)， c＝(－1,0)．
(1)若 x＝π6，求向量 a，c 的夹角； (2)当 x∈[π2，98π]时，求函数 f(x)＝2a·b＋1 的最大值．
【解】 (1)当 x＝π6时，a＝( 23，12)，且 c＝(－1,0)， 则|a|＝1，|c|＝1， ∴cos 〈a，c〉＝|aa|··|cc|＝ 23，211×·－1 1，0＝－ 23. ∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝56π.
(2)由向量垂直得数量积为0，从而列方程求解．
【尝试解答】 (1)b＋c＝(cos β－1，sin β)，则 |b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1. ∴0≤|b＋c|2≤4， 即 0≤|b＋c|≤2. 当 cos β＝－1 时，有|b＋c|＝2， 所以向量 b＋c 的长度的最大值为 2.
向量在物理中的应用
如图4－4－2所示，已知力F与水 平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大 小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在 摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了 20 m，问F、摩擦力f所做的功分别为多 少？
【思路点拨】 力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含 义，要先求出力F，f和位移的夹角．
a·b
＝___|a_|_|b_|___＝ xx21＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22，②|AB|＝|A→B|＝
＝
___x_2_－__x_1_2_＋___y_2－__y_1__2 ____.
2．向量在物理中的应用 (1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． (2)向量在速度的分解与合成中的应用． (3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.
则P→A＝(a,3)， A→M＝(x－a，y)，M→Q＝(－x，b－y)．
由P→A·A→M＝0，得 a(x－a)＋3y＝0.
①
由A→M＝－23M→Q，得(x－a，y)＝－32(－x，b－y)．
∴xy＝－32a＝ y－3232xb，，
∴ab＝ ＝－ 3y. x2，
把 a＝－x2代入①，得－x2(x＋x2)＋3y＝0，
【尝试解答】 设木块的位移为 s，
则 F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20× 23＝500 3 J， F 在竖直方向上的分力大小为 |F|sin 30°＝50×12＝25(N)， 所以摩擦力 f 的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 所以 f·s＝|f|·|s|cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22 J.
第四节 平面向量应用举例
1．向量在几何中的应用
(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b ⇔____a_＝__λ_b______ ⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔_____a_·_b_＝__0____ ⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用①cos〈a，b〉
(2)若
α＝π4，则
a＝(
2， 2
22)．
又由 b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)，得
a·(b＋c)＝(
2， 2
2 2 )·(cos
β－1，sin β)
＝
2 2 cos
β＋
2 2 sin
β－
2 2.
∵a⊥(b＋c)，
∴a·(b＋c)＝0，即 cos β＋sin β＝1，∴sin β＝1－cos β.
整理得 y＝14x2.
∴动点 M 的轨迹方程是 y＝14x2(x≠0)．
1．(1)向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标 转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．(2)相等向量、共线 向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握．
2．向量在解析几何中出现，多用于“包装”，求解这类 问题要根据向量的意义与运算“脱去”向量外衣，导出曲线上 点的坐标之间的关系，从而解决有关斜率、距离、轨迹与最值 等问题．
O→C·O→A，则 O 是△ABC 的( )
A．内心
B．重心
C．外心
D．垂心
【解析】 O→A·O→B＝O→B·O→C⇒O→B·(O→A－O→C)＝0， ∴O→B·C→A＝0⇒OB⊥AC. 同理：OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O 是△ABC 的垂心．
【答案】 D
3．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量， 且 满足 a与 b不 共线 ， a⊥c ， |a|＝ |c|， 则 |b·c|的 值 一 定等 于 () A．以a，b为两边的平行四边形的面积 B．以b，c为两边的平行四边形的面积 C．以a，b为两边的三角形的面积 D．以b，c为两边的三角形的面积 【解析】 由题知，a⊥c，∴|cos〈b，c〉|＝|sin〈a，b〉|. 又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|b||c|cos〈b，c〉＝|b||a|sin〈a，b〉． 【答案】 A
平方后化简得 cos β(cos β－1)＝0.
解得 cos β＝0 或 cos β＝1，
经检验 cos β＝0 或 cos β＝1 满足题设要求．
故 cos β 的值是 1 或 0.
1．解答本题主要用到两方面的知识，一是把向量模转化 为向量的数量积，二是把向量垂直转化为数量积为0.
2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将 向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用 三角函数基本公式求解．
∴A→D⊥C→E，即 AD⊥CE.
1．本题把证明 AD⊥CE 转化为证明向量垂直，即证明A→D·C→E ＝0.解题的关键是把A→D，C→E用基向量C→A，C→B表示出来，然后利 用向量的运算法则和性质解决问题．
2．用向量法解决几何问题的“三步曲”，先用向量表示相应 的点、线段、夹角等几何元素；通过平面向量的运算解决向量问 题；把向量运算结果“翻译”成几何关系．
【思路点拨】 要证 AD⊥CE，只需证A→D·C→E＝0.
【尝试解答】 A→D·C→E＝(A→C＋21C→B)·(C→A＋23A→B) ＝－|A→C|2＋12C→B·C→A＋23A→B·A→C＋13A→B·C→B ＝－|A→C|2＋12|C→B||C→A|cos 90°＋23 2|A→C|2cos 45°＋ 32|A→C|2cos 45° ＝－ |A→C|2＋ |A→C|2＝ 0，
∴F，f 所做的功分别是 500 3J，－22 J．
1 ．(1) 物 理学 中 的 “ 功” 可 看 作 是向 量 的 数 量积 的 原 型．(2)善于将平面向量与物理知识进行类比．例如，向量加法 的平行四边形法则可与物理中力、位移的合成分解进行类比．
2．用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中 的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量 运算解决问题；三是将结果还原为物理问题．
已知向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，若向量 c＝(m，n)满足(a －c)·(b－c)＝0，则点(m，n)到直线 l：x＋y＋1＝0 的距离的最小 值为( )
A.21
B．1
C.
2 2
D. 2
【解析】 ∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(m，n)，
由(a－c)·(b－c)＝0 得－m(1－m)－n(1－n)＝0，
向量在解析几何中的应用
已知点 P(0，－3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴 上，点 M 满足P→A·A→M＝0，A→M＝－32M→Q，当点 A 在 x 轴上移动 时，求动点 M 的轨迹方程．
【思路点拨】 设动点M(x，y)，利用向量共线，垂直等条件 构建x，y满足的代数方程．
【尝试解答】 设 M(x，y)，A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，
【答案】 5
规范解答之八 数量积在解析几何中的应用
(14 分)(2012·茂名质检)已知平面上一定点 C(－1,0)和一定 直线 l：x＝－4，P 为该平面上一动点，作 PQ⊥l，垂足为 Q，且 (P→Q＋2P→C)·(P→Q－2P→C)＝0.
4．平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满 足O→P·O→A＝4，则点 P 的轨迹方程是________．
【解析】 ∵O→P·O→A＝4，∴(x，y)·(1,2)＝4. ∴x＋2y－4＝0.
【答案】 x＋2y－4＝0
向量在平面几何中的应用
如图4－4－1所示，在等腰直角三角 形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D 为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝ 2EB.求证：AD⊥CE.
3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合， 常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关 问题．
过点(1,2)且与向量a＝(4,2)所在的直线平行的直线，其斜率与a 的坐标有何关系？你能写出该直线的方程吗？
【提示】 直线的斜率 k＝24＝12，为 a 的纵坐标与横坐标的比值， ∴直线方程为 y－2＝12(x－1)，即 x－2y＋3＝0.
【答案】 C
从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面 几何及力学问题，要求较低，只是在2011·天津，2010·辽宁 高考中各考一个小题，重点考查向量方法的简单应用，另外向 量作为载体，常与相关知识交汇，平面向量在其中起一个穿针 引线的作用，如2011·江西高考，此类题目常以向量的运算为 切入口，体现了向量的工具性作用．
(2011·天津高考)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， ∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|P→A＋3P→B |的最小值为________．
【解析】 以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC＝a，DP＝y.则 D(0,0)， A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，
一质点受到平面上的三个力 F1、F2、F3(单位：牛顿)
的作用而处于平衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的大小
分别为 2 和 4，则 F3 的大小为( )
A．2 7
B．2 5
C．2
D．6
【解析】 如图所示，由已知得 F1＋F2 ＋F3＝0，
∴F3＝－(F1＋F2)． F23＝F21＋F22＋2F1·F2 ＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos 60°＝28.
∴|F3|＝2 7.
【答案】 A
向量在三角函数中的应用
(2012·韶关调研)已知向量 a＝(cos α，sin α)， b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)． (1)求向量 b＋c 的长度的最大值； (2)设 α＝π4且 a⊥(b＋c)，求 cos β 的值． 【思路点拨】 (1)把b＋c用坐标表示，再求|b＋c|2的表达式；
∴(m－12)2＋(n－12)2＝21，
∴点(m，n)在以(12，12)为圆心，
2为半径的圆上． 2
∵圆心(12，12)到直线l的距离d＝|12＋12＋1|＝ 2
2，
∴直线 x＋y＋1＝0 与圆(m－21)2＋(n－21)2＝12相离，
∴点(m，n)到直线 l 的距离的最小值为 d－r＝
2－
22＝
2 2.
(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1 ＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x ＝ 2sin(2x－π4)． ∵x∈[π2，98π]，∴2x－π4∈[34π，2π]，
故 sin(2x－π4)∈[－1， 22]， ∴当 2x－π4＝34π，即 x＝π2时，f(x)max＝1.
1．(教材改编题)若向量O→F1＝(2,2)，O→F2＝(－2,3)分别表示两
个力 F1 与 F2，则|F1＋F2|为( )
A．2.5
B．4 2
C．2 2
D．5
【解析】 ∵F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)， ∴|F1＋F2|＝ 0＋52＝5.
【答案】 D
2．已知 O 是△ABC 所在平面上一点，若O→A·O→B＝O→B·O→C＝
已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)， c＝(－1,0)．
(1)若 x＝π6，求向量 a，c 的夹角； (2)当 x∈[π2，98π]时，求函数 f(x)＝2a·b＋1 的最大值．
【解】 (1)当 x＝π6时，a＝( 23，12)，且 c＝(－1,0)， 则|a|＝1，|c|＝1， ∴cos 〈a，c〉＝|aa|··|cc|＝ 23，211×·－1 1，0＝－ 23. ∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝56π.
(2)由向量垂直得数量积为0，从而列方程求解．
【尝试解答】 (1)b＋c＝(cos β－1，sin β)，则 |b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1. ∴0≤|b＋c|2≤4， 即 0≤|b＋c|≤2. 当 cos β＝－1 时，有|b＋c|＝2， 所以向量 b＋c 的长度的最大值为 2.
向量在物理中的应用
如图4－4－2所示，已知力F与水 平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大 小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在 摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了 20 m，问F、摩擦力f所做的功分别为多 少？
【思路点拨】 力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含 义，要先求出力F，f和位移的夹角．
a·b
＝___|a_|_|b_|___＝ xx21＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22，②|AB|＝|A→B|＝
＝
___x_2_－__x_1_2_＋___y_2－__y_1__2 ____.
2．向量在物理中的应用 (1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． (2)向量在速度的分解与合成中的应用． (3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.
则P→A＝(a,3)， A→M＝(x－a，y)，M→Q＝(－x，b－y)．
由P→A·A→M＝0，得 a(x－a)＋3y＝0.
①
由A→M＝－23M→Q，得(x－a，y)＝－32(－x，b－y)．
∴xy＝－32a＝ y－3232xb，，
∴ab＝ ＝－ 3y. x2，
把 a＝－x2代入①，得－x2(x＋x2)＋3y＝0，
【尝试解答】 设木块的位移为 s，
则 F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20× 23＝500 3 J， F 在竖直方向上的分力大小为 |F|sin 30°＝50×12＝25(N)， 所以摩擦力 f 的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 所以 f·s＝|f|·|s|cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22 J.
第四节 平面向量应用举例
1．向量在几何中的应用
(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b ⇔____a_＝__λ_b______ ⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔_____a_·_b_＝__0____ ⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用①cos〈a，b〉
(2)若
α＝π4，则
a＝(
2， 2
22)．
又由 b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)，得
a·(b＋c)＝(
2， 2
2 2 )·(cos
β－1，sin β)
＝
2 2 cos
β＋
2 2 sin
β－
2 2.
∵a⊥(b＋c)，
∴a·(b＋c)＝0，即 cos β＋sin β＝1，∴sin β＝1－cos β.
整理得 y＝14x2.
∴动点 M 的轨迹方程是 y＝14x2(x≠0)．
1．(1)向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标 转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．(2)相等向量、共线 向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握．
2．向量在解析几何中出现，多用于“包装”，求解这类 问题要根据向量的意义与运算“脱去”向量外衣，导出曲线上 点的坐标之间的关系，从而解决有关斜率、距离、轨迹与最值 等问题．
O→C·O→A，则 O 是△ABC 的( )
A．内心
B．重心
C．外心
D．垂心
【解析】 O→A·O→B＝O→B·O→C⇒O→B·(O→A－O→C)＝0， ∴O→B·C→A＝0⇒OB⊥AC. 同理：OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O 是△ABC 的垂心．
【答案】 D
3．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量， 且 满足 a与 b不 共线 ， a⊥c ， |a|＝ |c|， 则 |b·c|的 值 一 定等 于 () A．以a，b为两边的平行四边形的面积 B．以b，c为两边的平行四边形的面积 C．以a，b为两边的三角形的面积 D．以b，c为两边的三角形的面积 【解析】 由题知，a⊥c，∴|cos〈b，c〉|＝|sin〈a，b〉|. 又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|b||c|cos〈b，c〉＝|b||a|sin〈a，b〉． 【答案】 A
平方后化简得 cos β(cos β－1)＝0.
解得 cos β＝0 或 cos β＝1，
经检验 cos β＝0 或 cos β＝1 满足题设要求．
故 cos β 的值是 1 或 0.
1．解答本题主要用到两方面的知识，一是把向量模转化 为向量的数量积，二是把向量垂直转化为数量积为0.
2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将 向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用 三角函数基本公式求解．
∴A→D⊥C→E，即 AD⊥CE.
1．本题把证明 AD⊥CE 转化为证明向量垂直，即证明A→D·C→E ＝0.解题的关键是把A→D，C→E用基向量C→A，C→B表示出来，然后利 用向量的运算法则和性质解决问题．
2．用向量法解决几何问题的“三步曲”，先用向量表示相应 的点、线段、夹角等几何元素；通过平面向量的运算解决向量问 题；把向量运算结果“翻译”成几何关系．
【思路点拨】 要证 AD⊥CE，只需证A→D·C→E＝0.
【尝试解答】 A→D·C→E＝(A→C＋21C→B)·(C→A＋23A→B) ＝－|A→C|2＋12C→B·C→A＋23A→B·A→C＋13A→B·C→B ＝－|A→C|2＋12|C→B||C→A|cos 90°＋23 2|A→C|2cos 45°＋ 32|A→C|2cos 45° ＝－ |A→C|2＋ |A→C|2＝ 0，
∴F，f 所做的功分别是 500 3J，－22 J．
1 ．(1) 物 理学 中 的 “ 功” 可 看 作 是向 量 的 数 量积 的 原 型．(2)善于将平面向量与物理知识进行类比．例如，向量加法 的平行四边形法则可与物理中力、位移的合成分解进行类比．
2．用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中 的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量 运算解决问题；三是将结果还原为物理问题．
已知向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，若向量 c＝(m，n)满足(a －c)·(b－c)＝0，则点(m，n)到直线 l：x＋y＋1＝0 的距离的最小 值为( )
A.21
B．1
C.
2 2
D. 2
【解析】 ∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(m，n)，
由(a－c)·(b－c)＝0 得－m(1－m)－n(1－n)＝0，
向量在解析几何中的应用
已知点 P(0，－3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴 上，点 M 满足P→A·A→M＝0，A→M＝－32M→Q，当点 A 在 x 轴上移动 时，求动点 M 的轨迹方程．
【思路点拨】 设动点M(x，y)，利用向量共线，垂直等条件 构建x，y满足的代数方程．
【尝试解答】 设 M(x，y)，A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，