《心理统计学》重要知识点

《心理统计学》重要知识点
第二章 统计图表
简单次数分布表的编制：Excel 数据透视表
列联表(交叉表）：两个类别变量或等级变量的交叉次数分布，Excel 数据透视表
直方图（histogram ）：直观描述连续变量分组次数分布情况，可用Excel 图表向导的柱形图来绘制 散点图（Scatter plot ）：主要用于直观描述两个连续性变量的关系状况和变化趋向。

条形图（Bar chart)：用于直观描述称名数据、类别数据、等级数据的次数分布情况. 简单条形图：用于描述一个样组的类别（或等级）数据变量次数分布。

复式条形图：用于描述和比较两个或多个样组的类别(或等级)数据的次数分布。

圆形图（circle graph ）、饼图（pie graph ）：用于直观描述类别数据或等级数据的分布情况。

线形图（line graph ）：用于直观描述不同时期的发展成就的变化趋势;
第三章 集中量数
● 集中趋势和离中趋势是数据分布的两个基本特征.
● 集中趋势：就是数据分布中大量数据向某个数据点集中的趋势。

● 集中量数：描述数据分布集中趋势的统计量数。

● 离中趋势:是指数据分布中数据分散的程度。

● 差异量数：描述数据分布离中趋势(离散程度）的统计量数 ● 常用的集中量数有：算术平均数、众数(M O ）、中位数（M d ） 1．算术平均数（简称平均数，M 、X 、Y ）：n
x X i
∑= Excel 统计函数AVERAGE
算术平均数的重要特性：
(1）一组数据的离均差(离差)总和为0，即0)(=-∑x x i
(2）如果变量X 的平均数为X ,将变量X 按照公式bx a y +=转换为Y 变量后，
那么,变量Y 的平均数X b a Y +=
2．中位数（median ，M d )：在一组有序排列的数据中，处于中间位置的数值。

中位数上下的数据出
现次数各占50％。

3．众数(mode ，M O )：一组数据中出现次数最多的数据. 4．算术平均数、中数、众数之间的关系。

5．加权平均数:i
i
i n n n w w w x w w w w x w x w x M ∑∑=++++++=
212211
6．调和平均数（harmonic mean ，M H )：一组数值倒数的平均数的倒数。

∑=
+⋅⋅⋅++=
i
n
H x
n
n x x x M 1)111(
1
21 Excel 统计函数HARMEAN （1）用于描述同一个体(或一组个体）不同时间段的平均学习速度、平均工作效率。

（2）用于描述不同能力水平个体的平均学习速度、平均工作效率。

7．几何平均数（geometric mean,Mg ）是指n 个观察值连乘积的n 次方根.
(1）一组数据中少部分偏大(或偏小)，数据分布呈偏态时,几何平均数比算术平均数更能反映数据
的集中趋势。

n n g x x x M ⨯⨯= 21 Excel 统计函数GEOMEAN
（2)用于计算平均学习进步速度、平均发展速度（平均发展倍数），即环比的几何平均数。

11
1
134
2312---=⨯⨯⨯=n n n n n g x x x x x x x x x x M （n x x x 、、
、 21为各个时间段的成果数据） 平均增长率：1-g M
第四章 差异量数
● 差异量数：描述一组数据离散程度（离中趋势）的统计量数.差异量数较大，说明数据分布得比较分散，数据之间的差异较大;差异量数较小，说明数据分布的比较集中，数据间的差异较小。

● 差异量数还能反映平均数对一组数据的代表性.差异量数越小，平均数的代表性越好；差异量数越大,平均数的代表性越差。

● 常用的差异量数是标准差、方差、差异系数
标准差s ：n X X s i 2
)(∑-=
Excel 统计函数STDEVP(给定样本总体的标准偏差)
标准差s n-1：1
)(2
1--=∑-n X X s i n Excel 统计函数STDEV(给定样本的标准偏差）
方差2s ：n
X X s i 22
)(∑-=
Excel 统计函数VARP （给定样本总体的方差)
方差2
1
-n s
：1
)(22
1
--=
∑-n X X s i n Excel 统计函数VAR （给定样本的方差) 差异系数（又称变异系数、离散系数、相对标准差)：X
S
CV =
(1）用于比较不同观测工具测量结果（数据单位不同）的离散程度，例如，身高离散程度大，还
是体重离散程度大？
（2)用于比较用同一观测工具测得的、均数差异较大的不同样本数据的离散程度.例如:7岁组儿童
和13组岁儿童的体重离散程度，哪个较大？
● 标准差的重要特性：如果变量X 的标准差为X S ，将变量X 按照公式bx a y +=转换为Y 变量后，
那么，变量Y 的标准差X Y bS S =
● 相对位置量数：反映个体（数据）在团体中相对位置的统计量数。

主要有标准分数及其线性转换分数（Z 分数、T 分数）、百分等级（PR ）、正态化标准分数等。

1．标准分数的计算与应用:S X X Z i -=
或：σ
μ
-=i X Z ， 5010+=Z T ,500100+=Z CEEB
Z 分数的特点：Z 分数的平均数为0,即0=Z μ，标准差为1，即1Z =σ T 分数的平均数50T =μ，标准差为10T =σ
CEEB 分数的平均数=___________？，标准差=__________?
（1）可用于比较个体各方面水平高低（横向比较，个体内差异评价)。

（2）对被试多方面的测量结果进行综合，如对高考各科成绩的综合,各分测验分数的综合。

（3）可用于对个体或样组某方面水平进行前后比较（纵向比较）,判断其水平是提高了，退
步了，还是没有变化.
2．原始分数X 的百分等级的含义与计算
根据简单次数分布表计算：1005.0⨯+=
N
F f PR b
X 根据分组次数分布表计算：100⨯+•-=N
F f i L X PR b b
X
第五章 相关关系
● 相关关系的描述方法
（1）相关散点图：适用于直观描述两个连续性数值变量(等距数据、比率数据）之间的关系。

可
用Excel 图表向导中的“XY 散点图"绘制。

（2）双向次数分布表（交叉表、列联表）：适用于描述两个等级变量（或称名变量、类别变量）
之间的关系。

可用Excel 数据透视表编制列联表）。

（3）相关系数(相关关系的特征值）。

● 相关系数：描述两个变量相关关系的统计量数,在—1。

00~1.00之间取值，绝对值越大，越接近1,说明两个变量之间的关系程度越密切；绝对值越小，越接近0，说明两个变量的关系程度越低。

● 常用的相关系数: 1．积差相关:y
x i i s ns y y x x r ∑--=
))(( Excel 统计函数CORREL
适用条件：（1）X 、Y 两个变量都是连续性变量（等距数据或比率数据）;
(2）X 、Y 两个变量总体上为正态分布或接近正态分布。

2．斯皮尔曼等级相关：是一对（两列）名次变量的积差相关。

对数据变量的分布形态没有要求。

（1）等级积差相关法（名次积差相关法）。

Y
X R R Y Y X X R S NS R R R R r )
)((--∑=
Excel 统计函数CORREL
公式中的R X 和R Y 是分别代表两变量中每个数据在变量中的名次。

（2）等级差数法(名次差数法）。

如果每个等级(即名次）变量中没有相同的等级名次，可用下面公式计算：
等级差数法简化公式：)
1(612
2
-∑-=N N D r R 如果等级（即名次)变量中有相同的等级名次,需用下面校正公式计算： 等级差数法校正公式：)
)((222222y x D y x r RC ∑∑•∑-∑+∑=
，2x ∑、2y ∑计算方法参见教材125页
3．肯德尔W 系数（肯德尔和谐系数)：描述多个名次变量一致性程度的统计量数。

适用于描述和分析不同评价者（如主考、阅卷者）对同一组个体（考生或答卷）评价结果（名次）的一致性程度，在心理测量与教育评价中称为评分信度。

例如，5位阅卷老师对10篇论文评分排名的一致性。

如果评价者给出的不是个体的水平名次,而是分数（或等第、符号），可先将其转换成名次，然后再计算W 系数。

)(121)(3222
N N K N R R W i i --=
∑∑ 校正公式：∑∑∑---=T N N K N R R W i i )(12
1)(3222
∑∑-=12)
1(2n n T 公式中：n 为每个名次变量中相同名次的数目。

4．点二列相关（point —biserial correlation ）：
用于描述一列续性变量和一列真正二分变量(或非正态二分变量）之间的相关.
真正二变量：指按某种性质或标准将个体划分为两种结果的变量，如对、错,男、女等.
pq s X X r t
q
p pb •-=
Excel 统计函数CORREL
5．二列相关（biserial correlation ）：用于描述由一个正态连续变量人为划分成的二分变量与另外一
个正态连续变量之间的相关。

或者说，用于描述一正态二分变量与一正态连续变量之间的相关。

人为二分变量?是指由连续变量转换而来的二分变量，例如，将测验或考试分数区分为及格和不
及格，80分以上和80分以下；按中考（或高考）成绩，将考生区分为录取、未录取。

正态二分变量?如果二分变量是根据正态连续变量转换而来，那么，可称之为正态二分变量。

y
pq
s X X r t
q
p b •
-=
y 为将正态分布面积画分为p 、q 两部分的纵线的高度。

y 的计算方法：利用Excel 统计函数计算
标准正态分布区间点函数NORMSINV(p 值） →区间点Z 值 正态分布函数NORMDIST （区间点Z 值,0,1，0） →Z 值的概率密度y
6．Φ相关（Φ系数）：)
)()()((|
|d b c a d c b a bc ad r ++++-=
Φ
用于描述两个真正二分变量的相关程度,也用于描述一个人为二分变量和真正二分变量的相关。

注意：Φ相关计算公式是由皮尔逊积差相关计算公式转换来的。

因此,如果两列二分变量转换
为0、1(或1、2)的数值变量时,可以用Excel统计函数CORREL计算Φ系数。

第六章 概率分布
1．正态分布的特征（见教材）
2．Excel 软件中正态分布函数和正态分布区间点函数的应用
◆标准正态分布函数NORMSDIST 的应用：
（1）P （Z ＜1.96)=？ =NORMSDIST （1.96）=0。

9750 (2）P(Z ＞1。

96）=？ =1—NORMSDIST(1。

96)=0。

0250
（3）P(-1。

5＜X ＜2.5)=？ =NORMSDIST （2.5)—NORMSDIST （—1。

5)=0。

9270 ◆正态分布函数NORMDIST 的应用
例如:已知某次测验的分数呈正态分布，平均分为75分,标准差为10分，试计算： （1）低于80分的考生占多大比例，P （X ＜80分)=? （2)80分以上的考生占多大比例，P （X ≥80分)=？
（3）80分以上,低于90分的考生占多大比例，P(80≤X ＜90）=? P （X ＜80分)：“=NORMDIST (79。

5,75，10,1）"=0。

6736 P （X ≥80分):“=1—NORMDIST （79.5,75，10,1)"=0。

3264
P （80≤X ＜90):“=NORMDIST （89.5,75，10,1)—NORMDIST (79.5,75,10,1)”=0.2528 ◆标准正态分布区间点函数NORMSINV 的应用
根据给定的向上累积概率P （Z 〈a),标准正态分布的临界值a=? a=NORMSINV(p 值） 例如：P （Z 〈a)=0。

90 =NORMSINV(0.90)= 1。

28，a= 1.28，P(Z ＞1。

28）=0.10 ◆正态分布区间点函数NORMINV 的应用
根据正态变量X 的平均数、标准差和向上累积概率P （X 〈a ），计算临界值a=?
例：已知某次大规模招聘考试分数呈正态分布，平均分为55分，标准差为12分。

现准备录取
10%的考生进行面试，录取分数线大致是多少？
P(X ＞？)=0。

10，即P(X ＜?)=1-0.10=0。

9，=NORMINV （0。

9,55,12）=70.38，
最低分数线应为70分。

3．测验分数、测评等级的正态化：
根据被试样本原始分或等级的简单次数分布表,计算各个不同分数或等级的正态标准分数 (1)计算每个不同分数X(或等级）以下累计次数F b ；
(2）计算每个不同分数X （或等级）中点以下累积比率CP:N
F f CP b
X +=
5.0 （3）利用Excel 统计函数NORMSINV ，计算CP 对应的正态Z 分数。

(4）根据需要，将正态Z 分数转为其他标准分数形式：
T 分数、CEEB 分数、托福考试分数、离差智商IQ 等，
5010+=Z T ，500100+=Z CEEB ，50070+=Z TOEFL ，10015+=Z IQ
4．偏态系数（SK ）和峰态系数(Kurt ）的计算与应用
偏态系数：Excel 统计函数SKEW ； 峰态系数：Excel 统计函数KURT 。

偏态系数SK ＝0，对称分布；SK ＞0,正偏态分布;SK ＜0，负偏态分布。

峰态系数Kurt ＝0，正态分布的峰态；Kurt ＞0，次数分布的峰度比正态分布峰度低阔；
Kurt ＜0，次数分布峰度比正态分布峰度高狭。

偏态系数和峰态系数都等于0或接近0时，变量的分布为正态分布。

5．二项分布的定义
二项分布是二项试验验结果的概率分布.进行n 次二项试验，各次试验彼此独立,每次试验时某事件出现的概率都是p ，该事件不出现的概率为q （=1—p ),则该事件出现x 次的概率分布为：
x
n x x n q p C p n x b x X P -===),,,()(。

二项分布的Excel 统计函数：BINOMDIST 6．二项分布函数BINOMDIST 的应用
对20道四选一的单项选择题，如果完全凭猜测答题，那么 （1）猜对5道题的概率是多少？ （2）猜对5题以下概率是多少？ （3)猜对6题以上的概率是多少？ n =20，每题猜对的概率为p =0。

25
（1）猜对5道题的概率P (X =5） =BINOMDIST （5，20,0.25，0）=0。

20233 （2）猜对5题以下的概率P （X ≤5) =BINOMDIST(5,20，0.25，1）=0.61717
（3）猜对6题以上的概率P (X ≥6)=1—P (X ≤5） =1—BINOMDIST （5，20，0。

25,1）=0.38283 7．二项分布的形态:随n 、p 的变化具有不同的分布形态
(1）当p =q 时，二项分布是对称分布。

(2）当p =q ，np ≥5时，接近正态分布。

（3)当p ≠q ，np ＜5或nq ＜5时,二项分布为偏态分布. （4）当p ≠q ,np ≥5且nq ≥5时，二项分布接近正态分布. 8．二项分布的平均数和标准差
进行n 次二项试验，每次试验时某事件出现的概率都是p ，则该事件出现次数的理论平均数(μ）、 方差(2σ）和标准差σ分别为：npq npq np ===σσμ，，2。

如果np ≥5且nq ≥5，成功事件出现结果的概率分布接近np =μ、npq =σ的正态分布。

进行投掷100枚硬币试验,如果进行无数次试验，正面向上的硬币数目会在0～100个之间变化。

那么,正面向上次数的理论平均数：μ=np =100×0.5=50,标准差为55.05.0100=⨯⨯==npq σ.
20道四选一的单项选择题,如果完全凭猜测答题，那么， 猜对题数的平均数为μ=np =20×1/4=5
猜对题数的理论标准差为94.14/34/120=⨯⨯==npq σ。

第七章 总体参数估计
1．常用的点估计:
总体均数μ的点估计：用样本平均数X ，Excel 统计函数为AVERAGE 总体方差σ2的点估计：用样本标准差21-n S ，或12-•n n
S . 总体标准差σ的点估计：用样本标准差1-n S ，或1
-•
n n
S 。

2．总体平均数的区间估计
1．若样本均数的抽样分布为正态分布，
总体均数的0。

95置信区间为:1
96.1205.0-⨯±=±n S X SE Z X X 总体均数的0.99置信区间为：158.2201.0-⨯±=±n S X SE Z X X
2．若样本均数的抽样分布为df =n —1的t 分布，那么，
总体均数的0。

95置信区间为：12/05.02/05.0-⨯±=±n S t X SE t X X
总体均数的0.99置信区间为：1
2/01.02/01.0-⨯
±=±n S t X SE t X X
自由度df =n -1,205.0t =？,205.0t =？，可用Excel 统计函数TINV 计算. 也可查教材453页t 值表
3． 总体方差与标准差的区间估计
总体方差2σ的0。

95置信区间为:
2975
.02
2
2025
.02
χσχnS nS <
<，或
2975
.021
2
2025
.021
)1()1(χσχ---<
<-n n S n S n ，
总体方差2σ的0。

99置信区间为：
2995
.02
2
2005
.02
χσχnS nS <
<，或
2995
.021
2
2005
.021
)1()1(χσχ---<
<-n n S n S n
自由度df =n -1的2χ分布右侧概率区间点的计算，也可用Excel 统计函数CHIINV 。

也可查教材475页2χ分布数值表
总体标准差σ的置信区间：取总体方差2σ置信区间上、下限的正平方根。

4．总体积差相关系数的区间估计:
（1)将样本相关系数r 转换为费舍Zr 值，转换方法:Excel 统计函数FISHER （2）计算Zr 的标准误SE Zr ：3
1-=
n SE Zr
(3）计算总体Z ρ值的1-α置信区间:Zr r SE Z Z 2α±
0.95置信区间为：396.1205.0-±=±n Z SE Z Z r Zr r 0。

99置信区间为：3
58
.201.0-±
=±n Z SE Z Z r Zr r
（4）计算总体相关系数ρ值的置信区间：将总体Z ρ值区间上、下限进行费舍逆转换，
转换方法：Excel 统计函数FISHERINV
5．总体比率（比例）的区间估计
5ˆ5ˆ≥≥q n p
n ，时，样本比率p ˆ的抽样分布渐近正态分布。

总体比率的0.95置信区间为：n q p
p SE p
p ˆˆ96.1ˆ96.1ˆ⨯±=± 总体比率的0.99置信区间为：n
q p p SE p
p ˆˆ58.2ˆ58.2ˆ⨯±=±
第八章 假设检验
在Z 检验中:双侧检验临界值：2/05.0Z =1.96 2/01.0Z =2。

58
单侧检验临界值：05.0Z =1.645 01.0Z =2。

326 单侧显著性概率P ：=1-NORMSDIST （ABS （Z 值)） 双侧显著性概率P ：=(1-NORMSDIST(ABS （Z 值）））＊2
在t 检验中：单侧显著性概率P:=TDIST （ABS （t 值),df ,1）
双侧显著性概率P ：=TDIST （ABS （t 值），df ，2）
1．单个样本Z 检验
主要用途:分析单个样本均数x 与已知的总体均值μ0的有无显著差异， 适用条件:（1)总体呈正态分布，总体方差2σ已知；
（2）总体是正态分布,总体方差2σ虽然未知,但样本容量30≥n ； （3)即使总体非正态分布，总体方差2σ也未知，样本容量30≥n .
1
'00
--=
-=
n S
X Z n
X Z μσμ或：
2．单个样本t 检验
主要用途：用于分析单个样本均数x 与已知的总体均数μ0的差异，
适用条件：（1）总体呈正态分布，总体方差2σ未知，样本容量30<n 的情况下.
（2）总体非正态分布,总体方差2σ未知，样本容量30≥n 的情况下.
1
0--=
n S
X t μ 1-=n df
3．单个样本比率Z 检验
主要用途：根据一个样本的比率p
ˆ，分析样本所代表的总体比率p 与已知比率0p 有无显著差异. 适用条件：5500≥≥nq np ，
n
p p p p Z )1(ˆ000--=
4．两独立样本比率差异Z 检验
主要用途:根据两个独立样本的比率21ˆˆp p
-，推断两总体比率p 1、p 2有无显著差异 适用条件：两个样本相互独立，22112211ˆˆˆˆq n q n p n p
n ，，，都≥5 )
()ˆˆ)(ˆˆ(ˆˆ21212211221121n n n n q n q n p n p
n p p
Z +++-=
5．两独立样本方差齐性检验
主要用途:根据相互独立的两个样本的方差，推断两个总体的方差是否相等或是否有显著差异。

)
1()
1(222
212112
1
2
121--=
=
--n S n n S n S S F n
n
小的大的 分子方差的自由度df=n 1—1，分母方差的自由度df=n 2-1
双侧显著性概率P 值：=FDIST （F 值，分子自由度，分母自由度)＊2
6．相关样本t 检验
主要用途:
(1）根据一组被试前、后两次测评结果，推断两次测验结果的总体均数有无显著差异. （2）根据实验组和配对对照组测评结果，推断实验组和对照组的总体均数有无显著差异。

适用条件:两个样本的数据有一一对应关系，且有可比性；两总体数据呈正态分布。

1
22122
2
121--+
-=
n S rS S S X X t 1-=n df
7．独立样本Z 检验
主要用途：根据两个独立样本的均数差异21X X -,推断两总体均数21μμ、有无显著差异。

适用条件：（1）两总体为正态分布，总体方差21σ、2
2σ已知，不管样本大小
（2)两总体非正态分布，总体方差21σ、2
2σ已知，303021≥≥n n ，时 （3）两总体非正态分布，总体方差21σ、22σ未知，303021≥≥n n ，时
总体21σ、2
2σ已知时：2
22
1
2
1
2
1n n X X Z σ
σ
+
-=
； 总体21σ、2
2σ未知时：2
221
2121n s n s X X Z +-=
8．独立样本等方差假设t 检验
主要用途：根据两个独立样本的均数差异21X X -，推断两总体均数21μμ、有无显著差异?
适用条件：（1)两总体为正态分布,总体21σ、22σ未知，且21σ=2
2σ，不管样本大小
（2)两总体非正态分布，总体21σ、22σ未知，且21σ=2
2σ，303021≥≥n n ，时
两总体方差21σ、2
2σ是否相等，需要先做方差齐性检验。

注意：大多数情况下，两总体方差基本相等。

)
1
1(221212222112
1n n n n s n s n X X t +•-++-=
221-+=n n df 9．独立样本异方差假设t 检验
主要用途：根据两个独立样本的均数差异21X X -，推断两总体均数21μμ、有无显著差异？
适用条件：（1)两总体为正态分布，总体21σ、22σ未知,且21σ≠2
2σ，不管样本大小
(2）两总体非正态分布，总体21σ、22σ未知，且21σ≠2
2σ，303021≥≥n n ，时
2
2212121n s n s X X t +-=
当n n n ==21时,1-=n df ；当21n n ≠时，()1
)(1)(22
121121212
22
2121
-+-+=n n s n n s n s n s
df 10．积差相关显著性t 检验
主要用途：根据一对变量的样本数据及其积差相关系数r ，推断两变量有无显著关系。

适用条件：两变量为连续性数值变量，且总上正态分布。

2
12r n r t --•
= 2-=n df
第十四章 抽样原理及方法（参见教材)。