2021-2022学年江西省九江市英才高级中学高一数学理测试题含解析

2021-2022学年江西省九江市英才高级中学高一数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于( )
A．﹣B．C．D．﹣
参考答案：
C
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．
【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，
y=4，r=5，
∴sinα==，
故选C．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，
2. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点( ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
参考答案：
C
3. 设变量x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则
的最小值为（）
A. B. C. D. 4
参考答案：
D
【分析】
先由题得，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】
变量，满足约束条件的可行域如图，
当直线过直线和的交点时，有最小值为1，
所以，
.
当且仅当时取等.
故选：D.
【点睛】本题主要考查线性规划和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4. （5分）与直线3x+4y+2=0平行的直线方程是（）
A．3x+4y﹣6=0 B．6x+8y+4=0 C．4x﹣3y+5=0 D．4x﹣3y﹣5=0
参考答案：
A
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：直线与圆．
分析：求出已知直线的斜率和直线在y轴上的截距，然后分别求得四个选项的斜率与截距得答案．解答：由直线3x+4y+2=0，得，
则直线的斜率为﹣，且直线在y轴上的截距为．
直线3x+4y﹣6=0的斜率为，直线在y轴上的截距为，∴3x+4y﹣6=0与3x+4y+2=0平行；
直线6x+8y+4=0的斜率为，直线在y轴上的截距为，∴6x+8y+4=0与3x+4y+2=0重合；
直线4x﹣3y+5=0、4x﹣3y﹣5=0的斜率均为，与直线3x+4y+2=0垂直．
故选：A．
点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行间的关系，是基础的会考题型．
5. 已知直线a，b，平面α满足a∥α，bα，则直线a与直线b的位置关系是（）
A.平行
B.相交或异面
C.异面
D.平行或异面
参考答案：
D
∵a∥α，∴a与α没有公共点，b?α，∴a、b没有公共点，
∴a、b平行或异面。

故选：D.
6. 函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是( )
A．（1，2）B．（2，3）C．（1，）D．（e，+∞）
参考答案：
B 【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答．
【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．
又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0
∴f（2）?f（3）＜0，
∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．
故选：B．
【点评】本题考查的是零点存在的大致区间问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．
7. 函数的最小正周期
是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”，其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（）
A. 6里
B. 12里
C. 24里
D. 48里
参考答案：
B
【分析】
由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．
【详解】记每天走的路程里数为{a n}，
由题意知{a n}是公比的等比数列，
由S6=378，得=378，
解得：a1=192，
∴=12（里）．
故选：C．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质
的合理运用．
9. 设且，则下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
项，由得到，则，故项正确；
项，当时，该不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．
综上所述，故选．10. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是:
（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）=（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围
是．
参考答案：
（﹣4，4]
【考点】复合函数的单调性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】令t（x）=x2﹣ax+3a 由题意可得t（x）=x2﹣ax+3a 在[2，+∞）上是增函数，它的对称轴
x=≤2，且t（2）=4﹣2a+3a＞0，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：令t（x）=x2﹣ax+3a，由函数f（x）=（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是减函数，可得t（x）=x2﹣ax+3a 在[2，+∞）上是增函数，
故有对称轴x=≤2，且t（2）=4﹣2a+3a＞0．
解得﹣4＜a≤4，
故答案为：（﹣4，4]．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
12. 已知，则=
．
参考答案：
略
13. 假设某种动物在某天（从00:00到24:00）中的活跃程度可用“活跃指数”y 表示，y与这一天某一时
刻t （，单位：小时）的关系可用函数来拟合，如果该动物在15:00时的活跃指数为42，则该动物在9:00时的活跃指数大约为
．
参考答案：
24
14. 在相距千米的、两点处测量目标，若,，则,两点之间的距离是千米。

参考答案：
15. 在中，、、分别为角、、所对的边，若，则此三角形一定是
________三角形．
参考答案：
等腰
16. 已知点A(0,1)，B(3,2)，向量，则向量____，向量____．
参考答案：
(3,1) (－7,－4)；
【分析】
由点，，向量，先求出点坐标为，由此利用平面向量坐标运算法则能求出向量和向量．
【详解】点，，向量，
点坐标为，向量，向量．
【点睛】本题主要考查向量的加减坐标运算。

17. （8分）求圆心在直线上，且过和的圆的方程
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在三棱锥A-BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的三等份点，，.
（1）求证：BD∥平面AEF；
（2）若，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD.
参考答案：
(1)见证明；(2)见证明
【分析】
（1）由，，得，进而得即可证明平面. （2）平面得，由，，得，进而证明平面，则平面平面
【详解】证明：（1）因为，，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以.
因为，，所以，
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
【点睛】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题
19. 已知.
（1）求与的夹角；
（2）在中，若，求边的长度.
参考答案：
（1）∵，
∴，
∴，
又，∴；
（2）∵，
∴，
∴边的长度为为.
20. 已知函数，作如下变换：
.
（1）分别求出函数的对称中心和单调增区间；
（2）写出函数的解析式、值域和最小正周期.
参考答案：（1），；（2），
，.
【分析】
（1）直接利用对称中心和增区间公式得到答案.
（2）根据变换得到函数的解析式为，再求值域和最小正周期. 【详解】由题意知：（1）由得对称中心
由，得：
单调增区间为；
（2）所求解析式为：
值域：
最小正周期：.
【点睛】本题考查了三角函数的对称中心，单调区间，函数变换，周期，值域，综合性强，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.
21. 已知在等比数列中，，试求：
(I)与公比q；
(Ⅱ)该数列的前10项的和的值（结果用数字作答）．
参考答案：
略
22. （本小题满分12分）设函数是定义在上的减函数，并且满足，
，
（1）求的值。

（2）如果，求x的值
参考答案：
（1）；（2）.。