物体在有心力场中运动的分析(毕业论文)

本科毕业论文
题目：物体在有心力场中运动的分析
目录
1.引言 (1)
2.有心力基本概念及它的性质： (1)
3.推出动力学方程 (2)
4.用开普勒定律推出引力公式 (6)
5.两体问题 (7)
6.结论 (9)
7.参考文献 (10)
8.致谢......................................................... - 10 -
物体在有心力场中运动的分析
摘要有心力场中的运动是经典力学和天体力学的一个重要问题.本文概括地介绍了有心力及其有关它的一些重要结论.首先研究质点和质点系在有心力作用下的运动，有心力的基本性质.用动力学方法推导关于有心力的公式,及在开普勒三定律的基础上推导万有引力方程.,介绍有心力场在物理学中的应用。

关键词有心力；动力学；开普勒定律；两体问题。

1.引 言
经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的.早在17世纪初叶，开普勒（J.Kepler ）通过对太阳系各行星运动的观察，总结出行星运动的三个定律，于1620年发表在《论天体之协调》（On Celestial Harmonics ）一书中.在此基础上，牛顿建立了著名的万有引力定律.行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动.有心运动是一类常见的运动，天体的运行，原子核外的电子运动都属于这类运动.火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究.首先我们介绍有心力的基本概念及它的性质，然后利用开氏三定律推导出引力公式并对公式进行分析.
2.有心力基本概念及它的性质：
一般来讲，如果运动质点所受力的作用线始终通过惯性系中某一个固定点，则我们就说这个质点所受的力是有心力，此固定点称为力心.有心力的量值，一般是矢径（即质点和力心之间的距离）r 的函数，而力的方向则始终沿着质点和力心的连线，凡是趋向定点的是引力，离开定点的是斥力。

行星绕太阳运动时受到的力，电子饶原子核转动时受到的库仑引力，近似看做有心力.
有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.有心力构成的力场称为有心力场.我们平时假定力心不动研究有心力场问题.这时以力心作为坐标质点,变成一个平面问题.
质点受变力作用而沿曲线运动时，变力所作的总功为
d W B A .⎰= （1）
在平面极坐标系中，力所做的功为
θθd F dr F W B A r +=⎰ （2）
因为有心力只具有径矢方向的分量)(r F F r =,而横向分量为0=θF ，故质点由A 点运动到B 点时有心力作的功是
dr r F dr r F W B A r r ⎰⎰==21)()( (3)
这个顶积分的值只取决于起点和终点的矢径，与质点运动的路径无关，这就
证明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐标相互平行且应满足0=⨯∇,那么角动量守恒.这是有心力场的一个特点，根据有心力场的特点，下面推导有心力场的动力学方程及加讨论。

3.推出动力学方程
关于有心运动我们可以通过求解角动量方程，先得到以时间t 为参量的轨道参量方程)(t r r =， )(t θθ=，然后削去t 得出轨道曲线方程)(θr r =。

但也可以一开始就在运动方程中消去时间参量t 得到轨道微分方程，然后得到轨道曲线方程。

由式： ))()(2/(22r P V E m r dr P d θθθ--=
得： 22)()(2)/)(/(r P V E m d dr r P θθθ--= (4)
令 r u 1= ，则 θθ
d dr r d du 21-= (5) 并(5)式代入(1)式 2)()(2u P V E m d du P θθθ
---= 对θ再求导及整理得： u P d du P d mdV d u d P θθθθθθ--=//22 （6）
因 θθθθd du u F d du Fr d dr dr dV d dV 221
=== mF u d u d u P -=+)(222
2θθ （7） 这个方程就是我们要推导出的动力学方程，是二阶非线性微分方程。

对此求解可得)(θu u =，从而得到质点的轨道方程)()(/1θθr u r ==
下面用动力学方程（7）来研究行星的运动.
近似处理：行星只受到太阳引力的作用，而忽略行星之间的相互作用. 行星的运动是在平方反比引力作用下的运动，则
r s e r m GM 2-= （8）
令s Gm k =2，m Gm a m k s ==2
将 22/au r a F -=-= （9） 其中r u 1
=
代入（7）式 222θθP am u d u d =+
又令，2
/θξP am u -= 则 02
2=+ξθξd d （10） 可以看以上运动方程为谐振动方程, 其解为
)cos(0θθξ-=A （11）
（其中 θ0积分常数）
则 2/11θξp am u r +==
20/)cos(1
θθθp am A +-=
)cos()/(1)/(022θθθθ-+=am Ap am p （12）
比较,并令00=θ,及am AP e /2
θ=,am P P /2θ=.则以上)(θf r =关系的方程表示行星绕太阳运动时作圆锥线曲线运动.如图所示.
有 θ
cos 1e p r += （13）
离心率e 决定轨道形状,下面我们进行定量分析.
（1）c CF a CB ==, B 点：近日点
则)1(1)1()1(2e a p e p e a a c a c a r -=⇒+=-=-=-= 对B 点0,1><p e 轨道是椭圆
（2）q FB =, q r =, 0=θ, 1,2==⇒e q p 轨道是抛物线
（3） a BC c FC ==,
对B 点 )1(-=-=a c a c a r
e p
e a +=-=1)1(
故
1),1(2>-=e e a p 轨道是双曲线 如何判别圆锥线的类型？下面再进一步研究运动轨道，用能量E 来判据轨道的类别.利用下面式
r m k r r m r V mv E 2222
2)(21)(21-+=+=••θ （14）
h r =•
θ2 其中r m k r V 2)(-=
因 θθθθd du h d du hu u dt d d du du dr -=-=221 又2,1hu r u ==θ,此关系代入以上能量方程得
u mk u d du mh mu k u h d du h m E 222222222])[(21])([21-+=-+=θθ （15）
又考虑2k 和2h 常量,及令
22
cos h k A u +=θ
2222/cos )/(1k h k Ah θ+=
22/cos 1k h e θ
+=
求导 θθθsin sin 22h e k A d du -=-= （16）
把（16）代入（15）得：
]2/cos cos 21)sin [(2122
44222222u h k k h e e h e k mh E -+++-=θθθ
)]cos 1(2cos 21[2224
θθe e e h mk +-++=
)1(2224
-=e h m k
即 22224
)(21)1(2k h m E e e h mk E +=⇒-= （17）
可以看，通过能量来判断轨道的形状。

1:0<<e E 符合椭圆轨道（束缚运动）
1:0==e E 符合抛物线轨道（无限运动）
1:0>>e E 符合双曲线轨道（无限运动）
可见，能量E 是轨道类别的判据.
以上讨论以为太阳静止不动，实际上太阳也有运动，那么这种情况下引力公式的表达式如何？下面进一步讨论此问题。

4.用开普勒定律推出引力公式
下面我们从开普勒定律推出万有引力定律.开普勒以太阳为中心的说法,提出了下列三条关于行星运动的定律.
第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上.
第二定律：行星和太阳之间的联线（矢径），在相等时间所扫过面积相等. 第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比.
1）由第二定律
=dt dA 常量 (18)
质点扫过的面积为θd r dA 22
1=,两边除dt 得 •
•=θ22r A (19) =∴•
θ2mr 常量，表示行星绕太阳运动时的角动量,角动量是守恒.可以看出行星所受力对太阳的力矩为零.
结论1：行星所受力是有心力，太阳在力心.
（2）由第一定律，轨道为椭圆,则行星轨道方程为
θ
cos 1e p r += 或 θcos 1p e p u +=
求导 θθ
θθcos ,sin 22p e d u d p e d du -=-=
代入比耐公式 m F u d u d u h -=+)(2222θ m F p u h p e p p e u h -==++-222
2)cos 1cos (θθ 有心力为 2222
1r
p mh u p mh F -=-= (20) (负号说明是引力 )
这既然说明行星所受引力与距离平方成反比,但是与引力公式22r m k F -=相比较,式(9)中的2h 和p 都与行星有关,而2k 是一个与行星无关的常数.为了说明p h 2的物理含义实际问题进行再进一步讨论。

根据以上讨论开普勒的三定律具有近似性，但它的近似程度到底又多大？下面用两体问题来解释。

5.两体问题
根据以上讨论,开普勒定律具有近似性,其中一个原因就是太阳和行星相互吸引,两者都有加速度,太阳并不是静止不动的.太阳和行星都有运动,显然属于质点组的运动问题.我们现在就对这个问题作进一步的研究.
太阳对惯性坐标系的动力学方程为
r r GMm dt d M s 222=
(21) 其中p 点代表某一行星,p r 是行星p 对某一贯性坐标系原点o 的位矢,,而s r 是太阳对同一坐标系原点o 的位矢.
行星对同一坐标系的运动方程为
r r GMm dt r d m
p 22
2-
=
(22)
为了求行星对太阳的相对运动方程,将式(21)乘以m ,式(22)乘以M ,然后由后者减去前者，得
r m M r GMm dt r d dt r d Mm s p
)
()(22222+=-
（23） 因r r r s p =-，所以式（24）变为
r m M r GMm dt d M )(222+-=
消去M 得 r r
r m k r r r m M Gm dt r d m 22'222)(-=+-
=
（24） 式中)(2
'm M G k +=, m 是行星的质量, r 是行星对太阳的位矢, •
•r 是行星相对于太阳运动时的加速度,而右式则是行星所受的力.这时可认为太阳是不动的,但
它的质量却不等于M ,而增大为m M +.所以2'k 对所有行星并不一样.式(24)可写为
222
2m M Mm r r m
k dt d -=+ (25)
其中GM k =2
这时太阳质量仍为M ,但行星质量则不等于m ，而减小为M
m
m
m M Mm +=+=
1μ或M m 111
+=
μ
，
我们通常把μ叫做折合质量. 从(25)式出发,我们就可以对开普勒第三定律进行修改.
对行星1p :
)
(412
'1213
1
2m M G k a +==τπ
对行星2p ：
)
(422
'222
3
2
2m M G k a +==τπ
两者相除，得
M m M m m M m M a a 21
2
12
23
2
213
1
11:
+
+
=++=ττ
(26) 根据开普勒第三定律,式(26)的右方应该等于1.故开普勒第三定律只具有近似性质,只在1m 及2m 都远远小于M 时才是正确的.
实际上，太阳系中最大的行星是木星，它的质量也不过是太阳质量的1047
1
.
故如今下角标1代表木星，下角标2代表太阳系中其他行星，因21m M m M ++而之比
不会超过10471048，与1相差甚微。

故开普勒第三定律虽只具近似性质，但是近似
程度却是相当高的. ，与1相差甚微。

故开普勒第三定律虽只具近似性质
6.结论
以上讨论可以看有心力是保守力，它主要特点是质点所受的有心力场的运动时角动量守恒，在普通物理教学中推导出的万有引力公式是以太阳静止不动而得
出的公式，其中GM k =2
， k 是对其它行星无关的常量，在本文中利用开氏三定律推导出的引力公式中出现的2h 和p 与行星有关的量，那么理论力学方法来推导的引力公式有所不同，在这里太阳还是静止不动的，为解决以上差距而引入了两体问题来解释近似性，虽然这样但是近似性还是相当高。

7.参考文献
[1]周衍柏理论力学教程高等教育出版社 1986年
[2]陈世民理论力学简明教程高等教育出版社 2001年
[3]刘连寿理论物理基础教程高等教育出版社 2003年
[4]张建树、孙秀泉，张正军理论力学科学出版社 2005年
[5] 郭士坤理论力学（上，下）高等教育出版社1982年
[6] 胡慧玲，林纯镇，吴惟敏理论力学基础教程高等教育出版社 1986年
[7] 金尚年、马永利理论力学高等教育出版社2002年
[8] 王克协吴承埙经典力学教程吉林大学出版社 1994年
[9]郭士堃理论力学高等教育出版社1982年
[10] 胡静、程达三理论力学习作课指导北京师范大学出版社1987。