最新3-幂零矩阵的Jordan 标准型 高等代数毕业论文名师资料汇编

3-幂零矩阵的Jordan 标准型
摘要：本文主要对2-幂零矩阵，3-幂零矩阵的Jordan 标准型进行探讨，对2-幂零矩阵，
给出了2-幂零矩阵的Jordan 标准型的形式，并指出若固定秩，则有唯一的Jordan 标准型，对n 阶3-幂零矩阵，文中推导出其秩的范围和其Jordan 标准型的个数，并给予证明，若其秩为一固定值，文中推导出了它的Jordan 标准型的个数，并给予证明。

关键词：k-幂零矩阵征值；2-幂零矩阵；3-幂零矩阵；若当形矩阵；Jordan 标准型；特征
多项式；特征根；初等因子；秩
0、引言
定义1：设n n
A C
⨯∈（n n
P
⨯表示复数域C 上全体n n ⨯矩阵），若存在正整数k ，使得
10,0k k A A -≠=，则称A 是幂零指数为k 的幂零矩阵记为k-幂零矩阵 特别地，当k=2时，即矩阵A 满足20,0A A ≠=，称A 为2-幂零矩阵
当k=3时，即矩阵A 满足230,0A A ≠=，称A 为3-幂零矩阵。

定义2：形式为(,)110t t
J t λλλ⨯⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为J 块，其中λ是复数，由若干个若当
块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。

定义3：每个阶的复数矩阵A 都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若
当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的Jordan 标准型。

目前关于幂零矩阵的Jordan 标准型，仅有文[1]的关于2-幂零矩阵的研究探讨，有以
下三个性质：
性质1：当k=2即复数域C 上的n 阶2-幂零矩阵A 的Jordan 标准型为1J Jm ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，
其中0110i i
i k k J ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦（0,1,2;1,2i
k i m ==），1m
i i k n ==∑，且至少存在一个j ，使2j k =即至少存在一个0010j k J ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
性质2：设C 是复数域，而A 是C 上2-幂零矩阵，设A 的秩为r ，则2n r ⎡⎤
≤⎢⎥⎣⎦
，而A 的
Jordan 标准型为0010001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
，其中对角线上有r 个0010⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

性质3：两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。

1、引理
引理1.1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。

证明：可见文[2]
引理1.2：设0
1
(0,)10k k
J k ⨯⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦，则(0,)0,k J k =，而(0,)0,(1)l J k l k ≠≤<。

引理1.3：复数域C 上的k-幂零矩阵A 的标准型具有形式1m J J ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，
其中0110i i
i k k J ⨯⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦（0,1;1,2i
k k i m ==），且至少存在一个若当块，使j k k =。

证明：因为A 为幂零矩阵，故A 的特征值全为0，于是A 的特征多项式为n λ。

设幂零矩阵的A 的初等因子为1,
2
1
(m
k k k m k k λλ
λ可能相同，且1
m
i i k n ==∑）
，每一个初等因子i k λ对应一个J 块（0i k k ≤≤），这些J 块构成一个若当形矩阵1J Jm ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
因为A 为k-幂零矩阵，所以J 中存在0110j k k k
J ⨯⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦即至少存在一个j ，使j k k =
即命题成立。

由引理1.3，易证得关于2-幂零矩阵的那三个性质是成立的
2、主要结果及证明
由引理1.3我们知道n 阶k-幂零矩阵A 的Jordan 标准型为1m J J ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，其中
0110i i
i k k J ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦（0,1;1,2i k k i m ==），1m
i i k n ==∑且至少存在一个j ，使j k k =
当k=2，由推论3，任一个2-幂零矩阵，若它的秩确定，则它有唯一的一种Jordan 标准型。

那么对于k ，（k 为大于2的正整数）任一个k-幂零矩阵,若它的秩固定，它是否也有唯一的Jordan 标准型，若不唯一，它又含有多少种的Jordan 标准型？
下面我们对3-幂零矩阵进行探讨：
设A 为n 阶3-幂零矩阵，由引理 1.3知A 的Jordan 标准型为1J Jm ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，
0110i i
i k k J ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦（0,12,3;1,2i k i m ==），，且1m i i k n ==∑，至少存在一个j ，使3j k = 不妨设12m k k k ≥≥≥，则13k =
下面我们对3,411n =讨论i k 的值的情况（1,2i m =）及所对应的A 的秩r
(下面括号里的数表示秩的大小)
32(3,4
)
i m ≤=
11++
+11++(3)
11+++11+(4) 111+++11+(4)
1(5) 111++(5)
33= 9同理我们可以得出12,13n =的情况
将3,4
n =列表，得到阶数为n 的3-幂零矩阵，当其秩为r 时所含有的不同的Jordan
标准型的个数（空格表示0）
由上述表格，我们可以得出
定理2.1：n 阶3-幂零矩阵，它的秩2(3,0,1)321(3,2)
3n n q r r r n n q r r ⎧⎡⎤⨯=+=⎪⎢⎥⎪⎣⎦
≤⎨⎡⎤⎪⨯+=+=⎢⎥⎪⎣⎦⎩
证明：利用引理1.3及秩的性质显然。

定理2.2：设秩为r 的n 阶3-幂零矩阵的Jordan 标准型共有l 种， 其中4,(0,1,2,3)n a e e =+=
则若e=1,2,3时，
当2r a ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则2r l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
当2r a ⎡⎤
>⎢⎥⎣⎦
，若2r 为整数，即存在一个正整数b,使得2r ＝a+b
若2r 不是整数，则12r -为整数，因为2r a ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦
所以12r a -⎡⎤
>⎢⎥⎣⎦
即存在一个正整数b,使得12r -=a+b 则若,312
1,312
r
a b l a b e r a b l a b e ⎧=+=-++⎪⎪⎨-⎪=+=-+-⎪⎩（e=1,2,3）
若0,e =
当12r a +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦则2r l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
, 当12r a +⎡⎤>⎢⎥⎣⎦则若,312
1,312
r
a b l a b e r a b l a b e ⎛=+=-++ - =+=-+-
⎝
即若41n a =+，当2r a ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则2r l ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
当,3221,32r
a b l a b r a b l a b ⎧=+=-+⎪⎪⎨-⎪=+=-⎪⎩ 若42n a =+，当2r a ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则2r l ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
当,332
1,312r
a b l a b r a b l a b ⎧=+=-+⎪⎪⎨-⎪=+=-+⎪⎩
若43,n a =+当2r a ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则2r l ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
当,342
1,322r
a b l a b r a b l a b ⎧=+=-+⎪⎪⎨-⎪=+=-+⎪⎩ 若4n a =，若12r a +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦则2r l ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
, 若12r a +⎡⎤
>⎢⎥⎣⎦当,3121,312
r
a b l a b r a b l a b ⎛=+=-+ - =+=--
⎝ 其中b 表示正整数。

证明：当41,n a =+时， 1）若3,121a c n c ==+讨论12
m k k k 的值及秩r （表格中括号里的数表示秩的个数）
令
(0,3)10
10
J
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
即J（0，3）表示3阶Jordan块
122
c-
124
211
c-
+++（3
2211
++++
61
22
c-
+++（6c+1
61
c+的各一个
11
+++（
3211
+++++
3221
+++++
21
++（6c+1
61
c+的各一个
11
++（
21
++++
11
+++（
21
+（6c+2
01
01
⎛⎫
⎪
62
c+
)m
1
+（4）
11
+++（
21
+++
21
+（6c+1
01
01
⎛⎫
⎪
62
c+的各一个
6,7)m
1
+（4）
11
+++（
21
+++
21
+（6c+1
01
01
⎛⎫
⎪
63
c+的各一个
同理可得
含7个J(0,3)的A的Jordan标准型为1464
r c
=+的Jordan形矩阵各一个
含8个J（0，3）的A的Jordan标准型为1664
r c
=+的Jordan形矩阵各一个含9个J（0，3）的A的Jordan标准型为1865
r c
=+的Jordan形矩阵各一个含10个J（0，3）的A的Jordan标准型为2065
r c
=+的Jordan形矩阵各一个
不妨设61626364652,6,10,14,18,
c c c c c a a a a a +++++=====可看到数列
6{}24(1)42c f a f f +=+-=-， 当,2262,2r
a b r a b c b =+=+=+设至少存在x 个J （0，3）， 则有62282c b a x b +==-，41x b ∴=- 1
,221621,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 设至少存在y 个J （0，3），
则有621282c b a y b ++==+，41y b ∴=+
即含41b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8262r b c b =-+的Jordan 形矩阵各
一个
含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为862r b
c b =+的Jordan 形矩阵各一个
含41b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82621r b c b =+++的Jordan 形矩阵各一个
含42b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84621r b c b =+++的Jordan 形矩阵各一个
含41c -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为828r c c =-的各一个 含4c 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8r c =的一个
所以，当32r a c ⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦即123,61,12222r r r c r c l -⎡⎤⎡⎤
≤+≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
32r a c ⎡⎤
>=⎢⎥⎣⎦
若,2262,2r a b r a b c b =+=+=+ 62(82)1332322
c b b l c b a b +--=+=-+=-+
若1
,221621,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 621(82)13332
c b b l c b a b ++-++==-=-
2)若31,125a c n c =+=+同上，讨论12m k k k 的值及秩r ，可得 含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为263r c =+的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为463r c =+的矩阵各一个 含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为664r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为864r c =+的矩阵各一个
含41b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82622r b c b =-++的矩阵各一个 含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8622r b
c b =++的矩阵各一个
含41b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82621r b c b =+++的矩阵各一个 含42b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84623r b c b =+++的矩阵各一个
含4c 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为882r c
c =+的矩阵各一个
含41c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82,83r c c =++的矩阵各一个
所以，当312r a c ⎡⎤≤=+⎢⎥⎣⎦即1231,63,12222r r r c r c l -⎡⎤⎡⎤
≤++≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
312r a c ⎡⎤
>=+⎢⎥⎣⎦
若,22622,2r a b r a b c b =+=+=++ 622(82)1333322
c b b l c b a b ++--=+=-+=-+
若1
,221623,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 623(82)133132
c b b l c b a b ++-++==-+=-
3)若32,4(32)1129a c n c c =+=++=+，同上，可得
含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为265r c =+的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为465r c =+的矩阵各一个 含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为666r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为866r c =+的矩阵各一个
含41b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82624r b c b =-++的矩阵各一个 含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8624r b
c b =++的矩阵各一个
含41b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82625r b c b =+++的矩阵各一个 含42b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84625r b c b =+++的矩阵各一个
含42c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8485r c c =++的矩阵各一个 含43c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为86r c =+的矩阵一个
所以，当322r a c ⎡⎤≤=+⎢⎥⎣⎦即1232,65,12222r r r c r c l -⎡⎤⎡⎤
≤++≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
322r a c ⎡⎤
>=+⎢⎥⎣⎦
若,22624,2r a b r a b c b =+=+=++ 624(82)1334322
c b b l c b a b ++--=+=-+=-+
若1
,221625,2
r a b r a b c b -=+=++=++
625(82)1
33232c b b l c b a b ++-++=
=-+=-
综上，当41n a =+时， 若2r a ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则2r l ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
若2r a ⎡⎤
>⎢⎥⎣⎦时，若,3221,32
r
a b l a b r a b l a b ⎧=+=-+⎪⎪⎨-⎪=+=-⎪⎩
同上讨论可得 当42n a =+时，
1）若3,122a c n c ==+时，
含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为261r c =+的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为462r c =+的矩阵各一个 含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为662r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为863r c =+的矩阵各一个
含41b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8462r b c b =-+的矩阵各一个
含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8262r b c b =-+的矩阵各一个
含41b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8621r b
c b =++的矩阵各一个
含42b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82621r b c b =+++的矩阵各一个
含41c -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为828r c c =-的矩阵各一个 含4c 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为881r c c =+的矩阵各一个
所以，当2r a ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦即123,61,12222r r r c r c l -⎡⎤⎡⎤
≤+≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
32r a c ⎡⎤
>=⎢⎥⎣⎦
若,2262,2r a b r a b c b =+=+=+ 62(84)1333332
c b b l c b a b +--=+=-+=-+
若1
,221621,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 62181331312
c b b l c b a b ++-+==-+=-+
2）若31,126a c n c =+=+时
含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为263r c =+的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为464r c =+的矩阵各一个
含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为664r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为865r c =+的矩阵各一个
含42b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84622r b c b =-++的矩阵各一个 含41b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82622r b c b =-++的矩阵各一个
含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8623r b
c b =++的矩阵各一个
含41b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82623r b c b =+++的矩阵各一个
含41c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82,83r c c =++的矩阵各一个 含42c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84r c =+的矩阵一个
所以，当312r a c ⎡⎤≤=+⎢⎥⎣⎦即1231,63,12222r r r c r c l -⎡⎤⎡⎤
≤++≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
312r a c ⎡⎤
>=+⎢⎥⎣⎦
若,22622,2r a b r a b c b =+=+=++ 622(84)1334332
c b b l c b a b ++--=+=-+=-+
若1
,221623,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 62381332312
c b b l c b a b ++-+==-+=-+
3）若32,4(32)21210a c n c c =+=++=+时
含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为265r c =+的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为466r c =+的矩阵各一个 含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为666r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为867r c =+的矩阵各一个
含42b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84624r b c b =-++的矩阵各一个 含41b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82624r b c b =-++的矩阵各一个
含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8625r b
c b =++的矩阵各一个
含41b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82625r b c b =+++的矩阵各一个
含42c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8486r c c =++的各一个 含43c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为86r c =+的一个
所以，当322r a c ⎡⎤≤=+⎢⎥⎣⎦即1232,65,12222r r r c r c l -⎡⎤⎡⎤
≤++≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
322r a c ⎡⎤
>=+⎢⎥⎣⎦
若,22624,2r a b r a b c b =+=+=++ 624(84)1335332
c b b l c b a b ++--=+=-+=-+
若1
,221625,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 62581333312c b b l c b a b ++-+==-+=-+
综上，当42n a =+时， 若2r a ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则2r l ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
2r a ⎡⎤
>⎢⎥⎣⎦时，若,3321,31
2
r
a b l a b r a b l a b ⎧=+=-+⎪⎪⎨-⎪=+=-+⎪⎩ 当43n a =+时
1）若3,123a c n c ==+时，
含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为262r c =+的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为462r c =+的矩阵各一个 含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为663r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为863r c =+的矩阵各一个
含43b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8662r b c b =-+的矩阵各一个 含42b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84
62r b c b =-+的矩阵各一个
含41b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82621r b c b =-++的矩阵各一个 含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8621r b c b =++的矩阵各一个
含4c 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为881r c
c =+的矩阵各一个
含41c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82r c =+的矩阵一个 所以，当62r c ≤+时，2122r r l -⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以当2r a ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦即123,61,12222r r r c r c l -⎡⎤⎡⎤
≤+≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
32r a c ⎡⎤
>=⎢⎥⎣⎦
若,22622r a b r a b c b =+=+=+ 62(86)1334342
c b b l c b a b +--=+=-+=-+
若1
,221621,2
r a b r a b c b -=+=++=++
621(82)1
332322
c b b l c b a b ++--+=
=-+=-+
2）若31,127a c n c =+=+时
含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为264r c =+的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为464r c =+的矩阵各一个 含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为665r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为865r c =+的矩阵各一个
含43b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为86622r b c b =-++的矩阵各一个 含42b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84
622r b c b =-++的矩阵各一个
含41b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82623r b c b =-++的矩阵各一个 含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8623r b c b =++的矩阵各一个
含41c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8284r c c =++的矩阵各一个 含42c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84r c =+的矩阵一个
所以，当64r c ≤+时，2122r r l -⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以，312r a c ⎡⎤≤=+⎢⎥⎣⎦即1231,63,12222r r r c r c l -⎡⎤⎡⎤
≤++≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
312r a c ⎡⎤
>=+⎢⎥⎣⎦
若,22622,2r a b r a b c b =+=+=++ 622(86)1335342
c b b l c b a b ++--=+=-+=-+
若1
,221623,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 623(82)1332322
c b b l c b a b ++--+==-+=-+
3）若32,4(32)1129a c n c c =+=++=+
含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为266r c =+的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为466r c =+的矩阵各一个 含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为667r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为867r c =+的矩阵各一个
含43b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为86624r b c b =-++的矩阵各一个 含42b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84
624r b c b =-++的矩阵各一个
含41b -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82625r b c b =-++的矩阵各一个 含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8625r b c b =++的矩阵各一个
含42c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8486r c c =++的矩阵各一个 含43c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为86,87r c r c =+=+的矩阵各一个
所以，当66r c ≤+时，2122r r l -⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
322r a c ⎡⎤≤=+⎢⎥⎣⎦即1232,65,12222r r r c r c l -⎡⎤⎡⎤≤++≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 322r a c ⎡⎤
>=+⎢⎥⎣⎦
若,22624,2r a b r a b c b =+=+=++ 624(86)1336342
c b b l c b a b ++--=+=-+=-+
若1
,221625,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 625(82)1334322c b b l c b a b ++--+==-+=-+
综上，当43n a =+时， 若2r a ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则2r l ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
2r a ⎡⎤
>⎢⎥⎣⎦时，若,3421,32
2
r
a b l a b r a b l a b ⎧=+=-+⎪⎪⎨-⎪=+=-+⎪⎩ 当4n a =时
1）若3,12a c n c ==时，同上，可得
含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为26r c =的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为461r c =+的矩阵各一个 含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为661r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为862r c =+的矩阵各一个
含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为862r b
c b =+的矩阵各一个
含41b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8262r b c b =++的矩阵各一个
含42b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84621r b c b =+++的矩阵各一个
43b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84
621r b c b =+++的矩阵各一个
含41c -个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8281r c c =--的矩阵各一个
含4c 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8r c =的矩阵一个
所以，当6r c ≤时，2122r r l -⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
即12r a +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦即1123,6,12222r r r c r c l +-⎡⎤⎡⎤
≤+≤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
132r a c +⎡⎤
>=⎢⎥⎣⎦
若,2262,2r a b r a b c b =+=+=+ 6281331312c b b l c b a b +-=+=-+=-+
若1
,221621,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 621(84)1331312c b b l c b a b ++-++==--=--
2）若31,124a c n c =+=+时，
含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为262r c =+的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为463r c =+的矩阵各一个 含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为663r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为864r c =+的矩阵各一个
含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8622r b
c b =++的矩阵各一个
含41b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82622r b c b =+++的矩阵各一个
含42b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84623r b c b =+++的矩阵各一个 含43b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为86623r b c b =+++的矩阵各一个
含4c 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为882r c
c =+的矩阵各一个
含41c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82r c =+的矩阵一个
所以，当62r c ≤+时，2122r r l -⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
当1312r a c +⎡⎤≤=+⎢⎥⎣⎦即11231,62,12222r r r c r c l +-⎡⎤⎡⎤
≤++≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
1312r a c +⎡⎤
>=+⎢⎥⎣⎦
若,22622,2r a b r a b c b =+=+=++ 622(82)1333322
c b b l c b a b ++--=+=-+=-+
若1
,221623,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 623(82)133132c b b l c b a b ++-++==-+=-
3）若32,4(32)128a c n c c =+=+=+时，同上，可得
含1个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为264r c =+的矩阵各一个 含2个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为465r c =+的矩阵各一个 含3个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为665r c =+的矩阵各一个 含4个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为866r c =+的矩阵各一个
含4b 个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8624r b
c b =++的矩阵各一个
含41b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为82624r b c b =+++的矩阵各一个 含42b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84
625r b c b =+++的矩阵各一个
含43b +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为86625r b c b =+++的矩阵各一个
含41c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为8284r c c =++的矩阵各一个 含42c +个J （0，3）的A 的Jordan 标准型为84,85r c c =++的矩阵各一个
所以，当64r c ≤+时，2122r r l -⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以，当1322r a c +⎡⎤≤=+⎢⎥⎣⎦即11232,64,12222r r r c r c l +-⎡⎤⎡⎤
≤++≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
1322r a c +⎡⎤
>=+⎢⎥⎣⎦
若,22624,2r a b r a b c b =+=+=++ 62481333312
c b b l c b a b ++-=+=-+=-+
若1
,221625,2
r a b r a b c b -=+=++=++ 625(84)1331312
c b b l c b a b ++-++==-+=--
综上，当4n a =时， 若12r a +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则2r l ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
12r a +⎡⎤>⎢⎥⎣⎦时，若,312
1,31
2
r
a b l a b r a b l a b ⎧=+=-+⎪⎪⎨-⎪=+=--⎪⎩ 推论1：若n 阶3-幂零矩阵的秩为r ，则它至多存在2r ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
种Jordan 标准型; 特别地，
当r=2及r=3时，它只有一种Jordan 标准型。

则有下面推论：
推论2：秩不大于3的两个3-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等。

由定理2.2，我们还可以得到n 阶3-幂零矩阵的所有Jordan 标准型的个数，即下面定理：
定理2.3：设n 阶3-幂零矩阵的Jordan 标准型共有m 种，则：
当41n a =+，
(11)(22)()1((3)(4))((6)(7))m a a a a a a a =+++++++-+-+-+-+-+
若2242
3,12233a c m a a c c ==+=+
2242
31,1210233a c m a a c c =+=+=++
22421
32,12187333
a c m a a c c =+=++=++
当42n a =+，
(11)(22)()((2)(3))((5)(6))m a a a a a a a =++++++++-+-+-+-+
若224
3,()1243
a c m a a c c ==+=+
2241
31,()1212333a c m a a c c =+=++=++
224
32,()122083
a c m a a c c =+=+=++
当43n a =+，
(11)(22)()1((1)(2))((4)(5))m a a a a a a a =+++++++++-+-+-+-+
若224
3,2112613a c m a a c c ==++=++
2242
31,21214433a c m a a c c =+=++=++
2242
32,212221033
a c m a a c c =+=++=++
当4n a =，
(11)(22)(11)((1)(2))((4)(5))m a a a a a a a =+++++-+-++-+-+-+-+
若224
3,123a c m a c ===
2241
31,128133a c m a c c =+=-=++
2241
32,1216533
a c m a c c =+=-=++
证明：当41n a =+时，
所以(11)(22)()1((3)(4))((6)(7))m a a a a a a a =+++++++-+-+-+-+-+
当3a c =时
(11)(22)()1((3)(4))((6)(7))(65)32)
m a a a a a a a =++++
+++-+-+-+-+-++++
22(1)(11)(12)
(1)26
42
12233
a a a a a a a a c c -+-+-=++
-
=+=+
当31a c =+时
(11)()1((3)(4))((6)(7))(43)1m a a a a a a a =++
+++-+-+-+-+-+
++
22(1)(11)(1)(22)
(1)26
42
1210233
a a a a a a a a c c -+--+-=++-
=+=++
当32a c =+时
(11)()1((3)(4))((6)(7))(54)(21)m a a a a a a a =++
+++-+-+-+-+-+
+++
22(1)(11)(2)(32)
(1)26
421
12187333
a a a a a a a a c c -+--+-=++-
=++=++
当42n a =+时，
所以(11)(22)()((2)(3))((5)(6))m a a a a a a a =++++++++-+-+-+-+
当3a c =时
(11)()((2)(3))((5)(6))(43)1m a a a a a a a =++
++++-+-+-+-+
++
22(1)(12)
(1)26
4
()1243
a a a a a a a a c c +-+=++-
=+=+
当31a c =+时
(11)()((2)(3))((5)(6))(54)(21)m a a a a a a a =++
++++-+-+-+-++++
22(1)(1)(31)
(1)26
41
()1212333
a a a a a a a a c c +-+-=++-
=++=++
当32a c =+时
(11)()((2)(3))((5)(6))(65)(32)m a a a a a a a =++
++++-+-+-+-+
+++
22(1)(1)(11)
(1)26
4
()122083
a a a a a a a a c c +++-=++-
=+=++
43n a =+时，
所以
所以(11)(22)()1((1)(2))((4)(5))m a a a a a a a =++++
+++++-+-+-+-+
当3a c =时
(11)()1((1)(2))((4)(5))(54)(21)m a a a a a a a =++
+++++-+-+-+-++++
22(1)(2)(3)
(1)26
4
2112613
a a a a a a a a c c +++=++-
=++=++
当31a c =+时
(11)()1((1)(2))((4)(5))(65)(32)m a a a a a a a =++
+++++-+-+-+-++++
22(1)(2)(2)(1)
(1)26
42
21214433a a a a a a a a c c ++++=++-
=++=++
当32a c =+时
(11)()1((1)(2))((4)(5))(43)1m a a a a a a a =++
+++++-+-+-+-+
++
22(1)(2)(1)(2)
(1)26
42
212221033a a a a a a a a c c ++++=++-
=++=++
当4n a =时，
所以(11)(22)(11)((1)(2))((4)(5))m a a a a a a a =+++++-+-++-+-+-+-+
当3a c =时
(11)(22)(11)((1)(2))((4)(5))(65)(32)
m a a a a a a a =+++++-+-++-+-+-+-+
++++ 2
2(1)(3)(33)
(1)26
4123
a a a a a a a a c --+-=-++-
==
当31a c =+时
(11)(22)(11)((1)(2))((4)(5))(54)(21)m a a a a a a a =++++
+-+-++-+-+-+-+
++++
22(1)(1)(13)
(1)26
41
128133
a a a a a a a a c c --+-=-++
-=-=++
当32a c =+时
(11)(22)(11)((1)(2))((4)(5))(43)1m a a a a a a a =++++
+-+-++-+-+-+-+
+++
22(1)(2)(23)
(1)26
41
1216533
a a a a a a a a c c --+-=-++
-=-=++
综上，命题得证。

3、 例题
22阶3-幂零矩阵，它的秩最大可能达到多少？共存在多少种Jordan 标准型？若它的秩为8，则存在多少种Jordan 标准型？若秩为13呢？
解：因为2(3,0,1)321(3,2)
3n n q r r r n n q r r ⎧⎡⎤⨯=+=⎪⎢⎥⎪⎣⎦
≤⎨⎡⎤⎪⨯+=+=⎢⎥⎪⎣⎦
⎩，而22371=⨯+，所以22213r ⎡⎤≤⨯+⎢⎥⎣⎦=14
而22452,5312,1220840m =⨯+=⨯+∴=++=
845,421313165,651531322l l ⎡⎤
=≤∴=⎢⎥⎣⎦
-⎡⎤⎡⎤
=>==+∴=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以22阶3-幂零矩阵，它的秩最大可能达到多14，共存在40种Jordan 标准型，若它的秩为8，则存在4种Jordan 标准型，若秩为13，存在3种Jordan 标准型
参考文献：
[1]：李殿龙，隋思涟.2-幂零矩阵的Jordan 标准型[J].青岛建筑工程学报.2001，22[3]，（83～85）
[2]：韩道兰，罗雁，黄宗文.幂零矩阵的性质及其应用[J].玉林师范学院学报（自然科学）.2003，24[4].
[3]：北京大学数学系.高等代数[M].高等教育出版社.2001（318～319，350～55）
[4]：袁秉成.高等代数[M].东北师大出版社.1992（180～222）
[5]：华罗庚，万哲先.典型群[M].科技出版社.1963（45～60）
[6]：赵树嫖.线性代数[M].中国人民出版社.1997（107）
[7]：张远达.线性代数原理[M].上海教育出版社。

1997（140）
[8]：陈景良，陈向辉.特殊矩阵[M].清华大学出版社.2001（205～236）
[9]：程云鹏.矩阵论（第二版）[M].西北工业大学出版社.2000（168～196）
[10]：ncaster and M.Tismenetsky. The theory of matrix with application[M]. 2nd edn. Acaden Press, New York, 1985
Abstract
In this paper, it mainly about Jordan’s Normal Form of 2-nilpotent Matrix and 3-nilpotent Matrix. It give the Jordan’s Normal Form of 2-nilpotent, and prove 2-nilpotent Matrix have only one Jordan’s Normal Form when its rank fixed. It also derive and prove how many the Jordan’s Normal Form are about 3-nilpotent Matrix of n-order, and derive and prove how many the Jordan’s Normal Form are when its rank fixed about 3-nilpotent Matrix of n-order.
Key Words: k-nilpotent Matrix, 2-nilpotent Matrix, 3-nilpotent Matrix, Jordan’s Matrix Jordan’s Normal Form, characteristic polynomial, characteristic root, elementary factor, rank
致谢：
感谢教授在这次的论文中给我的悉心指导和帮助，要没有杨教授的点拨就没有这篇论文，也感谢他在这四年来对我的关怀和帮助，同时也感谢这四年来的各个老师的辛勤栽培及各个辅导员的关怀帮助，也感谢周围同学在平时的学习生活中及在这次的论文中给我的帮助，感谢江飞同学对我这篇论文所做的大量数据工作及其审稿。