轴对称及勾股定理

第五讲轴对称及勾股定理
例题1、如图所示，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别交AC、BC于点E、D，
△ABC的周长为23，BC=10，则△ABE的周长是。

例题1图1题图2题图
变式练习：1. 如图，已知CD垂直平分AB，AB平分∠CAD，试说明：CB∥AD。

2. 如图所示，在△ABC中，∠A=124°，BC边上的垂直平分线交AC于点D，交BC 于E，BD分∠ABC为两部分，若∠ABD: ∠DBC=3：2，则∠C= 。

例题2、如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6cm，BC=15cm，求△BDC的面积。

变式练习：1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是。

2. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。

S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是。

例题3、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少︒
30，求这个三角形的三个内角的度数。

变式练习: 1. 如图，已知：在ABC
B，CF
BD=。

∠70
=
AB=，CD
BE=，︒
∆中，AC
求：EDF
∠的度数。

2. 如图，已知：在ABC
∠80
∠的度数。

A，CF
=
∆中，︒
=,。

求：EDF
BD=
BE
CD
例题4、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线DE交BC 于点D，垂足为点E，BD=10cm，则AC= 。

例题4图1题图2题图
变式练习:1. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形。

2. 如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D。

若AC=6cm，则AD= cm。

例题5、如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，CD⊥AB交AB 于点D。

求：（1）AC的长；（2）△ABC的面积；（3）CD的长。

变式练习：直角三角形两直角边长为5,12，求斜边上的高。

例题6、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。

若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是。

变式：如图，在△ABC中∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面
积分别记为S 1，S 2，S 3，若S 2=4，S 3=6，则S 1= 。

专题训练 一、选择题
1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BE 、CD 分别是底角 的平分线，DE ∥BC ，图中等腰三角形的个数有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 3．如图,∠BAC=130°,若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC,
则∠PAQ 等于 ( ) A.50° B.75° C.80° D.105°
4. 如图，在△ABC 中,DE 垂直平分AB,AE 平分∠BAC,若∠C=900
,则∠B 的度数为（ ） A. 30° B. 20° C. 40° D. 25°
5．如图：DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC 的周长为（ ）厘米． A ．16 B ．18 C ．26 D ．28
6．如图，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论：①AB ∥CD ；②AB=BC ；
③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7. 如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ， 若PC=4，则PD= （ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 8. △ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于点D ，若∠BAD-∠DAC=22.5°，则∠B 等于（ ）
A ．37.5°
B ．67.5°
C ．37.5°或67.5°
D ．无法确定 9. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，AC=6cm ，则BC 等于（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．16cm
10. 以面积为9cm 2的正方形的对角线为边作一个正方形，这个正方形的面积为（ ）
M Q A
P
N
C
B
E
D
C
B
A
D
A
E
D
T4图
T5图
A．9cm2B．12cm2C．18cm2D．24cm2
11. 已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB
对称，则△P
1OP
2
是（）
A．含30°角的直角三角形；B．顶角是30的等腰三角形；
C．等边三角形D．等腰直角三角形.
二、填空题
1. 如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，则∠CAD= ．
(1)
E
D C
B
A
1题图3题图4题图
2. 等腰三角形的两个内角之比是1∶2，那么这个等腰三角形的顶角度数为___________.
3.如图，∆ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AC=6cm，∆ABD的周长为13cm，
则∆ABC的周长为______cm.
4. 如图,在△ABC中,∠A=90°,BD是∠ABC的平分线,DE是BC的垂直平分线, 则
∠C=________.
5. 在△ABC中，∠C=90°，若a：b=3:4，c=10，则a= ，b= 。

6.等边三角形两边上的高线所成的钝角的度数是。

三、解答题
1. 已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长．
2.如图,两个班的学生分别在M、N处参加植树劳动,现在要在道路AB、AC 的交叉处设
一个茶水供应站,使点P到AB、AC的距离相等,且P到M处,P到N处的距离也相等,一个同学说:“只要作出角的平分线,线段MN的垂直平分线,它们的交点处设茶水供应站就可以.”你认为他的做法对吗?如果对,请画出P点位置,如果不对,请说明理由.
3. 如图，P在∠AOB内；点M，N
，BO的对称点，且与AO、BO相交
点E、F，若∆PEF的周长为15，求
E
D
C
A
D C B
A
C
N P
O
M F E
B
A
4．如图（5）所示，在△ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB ，交AB 于E ，交 BC 于
D ，∠1=2
1
∠2，求∠B 的度数。

5. 如图，已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB ，且△DEF 也是等边三角形．除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的.
6. 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别是a 、b 斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

（1）画出拼成这个图形的示意图。

（2）证明勾股定理。