2010-2014五年高考(浙江卷)文科数学立体几何

2010-2014五年高考（浙江卷）文科数学立体几何
1．（2010浙江文8）若某几何体的三视图（单位：cm）
如图所示，则此几何体的体积是
（A）352
3
cm3（B）
320
3
cm3
（C）224
3
cm3（D）
160
3
cm3
2．（2011浙江文7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
3．（2012浙江文3）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）
如图所示，则该三棱锥的体积是
（A）1 cm3（B）2 cm3
（C）3 cm3（D）6 cm3
4．（2013浙江文5）已知某几何体的三视图（单位：cm）
如图所示，则该几何体的体积是
（A）108cm3（B）100 cm3
（C）92cm3（D）84cm3
5．(2014浙江文3)某几何体的三视图(单位：cm)
如图所示，则该几何体的体积是( )．
（A ）72 cm 3 （B ）90 cm 3
（C ）108 cm 3 （D ）138cm 3
6．（2011浙江文4）若直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，
则
(A) a 内存在直线与异面 (B) a 内不存在与l 平行的直线
(C) a 内存在唯一的直线与l 平行 (D) a 内的直线与l 都相交
7．（2012浙江文5）设l 是直线，,αβ是两个不同的平面
(A)若//,//l l αβ，则//αβ (B)若//,l l αβ⊥，则αβ⊥
(C)若,l αβα⊥⊥，则l β⊥
(D)若,//l αβα⊥，则l β⊥ 8．（2013浙江文4）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，
(A)若m ∥α，n ∥α,则m ∥n (B)若m ∥α，m ∥β,则α∥β
(C)若m ∥n ，m ⊥α,则n ⊥α (D)若m ∥α，α⊥β,则m ⊥β
9．(2014浙江文6)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )．
(A)若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α (B)若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α
(C)若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α (D)若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α
10．（2010浙江文20）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°。

E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ’DE ，使平面A ’DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ’C 的中点。

（Ⅰ）求证：BF ∥平面A ’DE ；
（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面
A ’DE 所成角的余弦值。

11．（2011浙江文20）如图，在三棱锥P ABC -中，
AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，
垂足O 落在线段AD 上.
（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；
（Ⅱ）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =.求二面角
B AP
C --的大小.
12．（2012浙江文20）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，
//AD BC ， ,2AD AB AB ⊥=. 12,4,2AD BC AA ===，E 是1DD 的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。

（1）证明：①11//EF A D ；
②1BA ⊥平面11B C EF ；
（2）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。

13．（2013浙江文20）在在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，
AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.
（Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC ;
（Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与PAC 所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC
的值.
14．(2014浙江文20)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，2AC .
(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；
(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．
2010-2014五年高考（浙江卷）文科数学立体几何详细答
案
1．（2010浙江文8）B
2．（2011浙江文7）B
3．（2012浙江文3）A
4．（2013浙江文5）B
5．(2014浙江文3) B
6．（2011浙江文4）B
7．（2012浙江文5）B
8．（2013浙江文4）C
9．(2014浙江文6) C
10．（2010浙江文20）
(Ⅰ)证明：取A′D 的中点G ，连结GF ，CE ，由条件易知
FG ∥CD ，FG =
12CD . BE ∥CD ,BE =12
CD . 所以FG ∥BE ,FG =BE .
故四边形BEGF 为平行四边形,
所以BF ∥EG
⊄因为EG ⊂平面'A DE ，BF ⊄平面'A DE
所以 BF//平面'A DE
（Ⅱ）解：在平行四边形,ABCD 中，设BC=a
则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a,
连CE
因为0
120ABC ∠=
在△BCE 中，可得CE =3a, 在△ADE 中，可得DE =a, 在△CDE 中，因为CD 2=CE 2+DE 2，所以CE ⊥DE ,
在正三角形A ′DE 中，M 为DE 中点，所以A ′M ⊥DE .
由平面A ′DE ⊥平面BCD ,
可知A ′M ⊥平面BCD ,A ′M ⊥CE .
取A ′E 的中点N ，连线NM 、NF ，
所以NF ⊥DE ,NF ⊥A ′M .
因为DE 交A ′M 于M ,
所以NF ⊥平面A ′DE ,
则∠FMN 为直线FM 与平面A ′DE 新成角.
在Rt △FMN 中，NF =3
a, M N =1
2a, FM =a,
则cos FMN ∠=1
2.
所以直线F M 与平面A ′DE 所成角的余弦值为1
2.
11．（2011浙江文20）
（Ⅰ）证明：由AB=AC,D 是BC 的中点，得AD ⊥BC,
又PO ⊥平面ABC,得PO ⊥BC 。

因为PO ∩AD=0，所以BC ⊥平面PAD
故BC ⊥PA.
（Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内作BM ⊥PA 于M,连CM.
因为BC ⊥PA.，得AP ⊥平面BMC.
所以AP ⊥CM.
故∠BMC 为二面角B-AP-C 的平面角。

在Rt ⊿ADB 中，AB 2=AD 2+BD 2=41，得AB=41
在Rt ⊿POD 中, PD 2=PO 2+OD 2,
在Rt ⊿PDB 中, PB 2=PD 2+BD 2,
所以PB 2=PO 2+OD 2+BD 2=36，得PB=6.
在Rt ⊿POB 中, PA 2=AO 2+OP 2=25,得PA=5
又222
1
cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅
从而22sin ,3BPA ∠=所以sin 42BM PB BPA =∠= 同理CM 42=
因为BM 2+MC 2=BC
2 所以BPA ∠=900
即二面角B-AP-C 的大小为900。

12．（2012浙江文20）
证：（1）① 因为1111//C B A D ，11C B ⊄平面11ADD A ，所以11//C B 平面11ADD A 又因为平面11B C EF
平面11ADD A EF =，所以11//C B EF 所以11//EF A D
② 因为1BB ⊥平面1111A B C D ，所以111BB B C ⊥
又因为1111B C B A ⊥，所以11B C ⊥平面11ABB A
所以111B C BA ⊥
在矩形11ABB A 中，F 是1AA 的中点，1112tan tan A B F AA B ∠=∠=，即 111A B F AA B ∠=∠
故11BA B F ⊥
所以1BA ⊥平面11B C EF
解：（2）设1BA 与1B F 交点为H ，连接1C H
由（1）知1BA ⊥平面11B C EF ，所以1BC H ∠是1
BC 与平面11B C EF 所成的角
在矩形11ABB A 中，12,2AB AA ==，得
6
BH = 在直角1BHC ∆中，125,6BC BH ==
，得
11sin 15
BH BC H BC ∠== 所以1BC 与平面11B C EF
所成的角的正弦值是
15.
13．（2013浙江文20）
解：(1)设点O 为AC ，BD 的交点．
由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线．
所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .
又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
所以PA ⊥BD .
所以BD ⊥平面APC .
(2)连结OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．
由题意得OG ＝
12
PA
＝2. 在△ABC 中， AC
＝
所以OC ＝12
AC
在直角△OCD 中，OD
2.
在直角△OGD 中，tan ∠OGD
＝
3
OD OG =. 所以DG 与平面APC
所成的角的正切值为3
. (3)连结OG .因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG .
在直角△PAC 中，得PC
所以GC
＝
AC OC PC ⋅=从而PG
， 所以32PG GC =.
14．(2014浙江文20)
(1)证明：连接BD .
在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，
得BD BC ==AC =，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE .
(2)解：在直角梯形BCDE 中，由BD BC ==DC ＝2，
得BD ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCDE ，
所以BD ⊥平面ABC .
作EF ∥BD ，与CB 延长线交于F ，连接AF ，则EF ⊥平面ABC .
所以∠EAF 是直线AE 与平面ABC 所成的角．
在Rt △BEF 中，由EB ＝1，π4
EBF ∠=，得2EF =，2BF =.
在Rt △ACF 中，由AC =，CF =AF =.
在Rt △AEF 中，由2EF =，AF =，得tan EAF ∠=
所以直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值是13.
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