(完整版)北师大七年级下册数学第四章全等三角形判定一(提高)

全等三角形判定一（SSS,ASA，AAS）（提高）
【学习目标】
1.理解和掌握全等三角形判定方法 1——“边边边”，判定方法 2——“角边角”，判定方
法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2.能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定 1——“边边边”
全等三角形判定 1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果A 'B ' ＝AB，A 'C ' ＝AC，B 'C ' ＝BC，则△ABC≌△A 'B 'C ' .
要点二、全等三角形判定 2——“角边角”
全等三角形判定 2——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠A '，AB＝A 'B ' ，∠B＝∠B ' ，则△ABC≌△A 'B 'C ' .
要点三、全等三角形判定 3——“角角边”
1.全等三角形判定 3——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又
∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点四、如何选择三角形证全等
⎨ ⎩
1. 可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全
等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
2. 可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
3. 由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
4. 如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定 1——“边边边”
1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD＝∠CAE.
【答案与解析】
证明：在△ABD 和△ACE 中，
⎧ AB = AC ⎪
AD = AE ⎪BD = CE ∴△ABD≌△ACE（SSS ）
∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）.
【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等， 综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE，然后证这两个三角形全等.
举一反三： 【变式】（2014 秋•双峰县校级期中）如图，已知 AB=DC ，若要用“SSS”判定△ABC≌△ DCB
，应添加条件是
．
【答案】AC=DB.
类型二、全等三角形的判定 2——“角边角”
2、如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E.请先作出∠ABC 的平分线 BF ，交
AC 于点 F ；然后证明：当 AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.
⎨ ⎩
【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF 【答案与解析】
证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C ∵BF 平分∠ABC ∴∠ABC＝2∠CBF
∵∠ABC＝2∠ADG ∴∠CBF＝∠ADG 在△DAE 与△BCF 中
⎧∠ADG = ∠CBF ⎪AD = BC ⎪∠DAC = ∠C ∴△DAE≌△BCF（ASA ） ∴DE＝BF
【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
举一反三：
【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQ ＝
NQ ． 求证：HN ＝PM.
【答案】
证明：∵MQ 和 NR 是△MPN 的高，
∴∠MQN＝∠MRN＝90°，
又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2
在△MPQ 和△NHQ 中，
⎨
⎩
⎧∠1 = ∠2 ⎪
MQ = NQ ⎪∠MQP = ∠NQH ∴△MPQ≌△NHQ（ASA ） ∴PM＝HN
类型三、全等三角形的判定 3——“角角边”
3、（2016•黄陂区模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过 C 点作直线l ，点 D ，E 在直线 l 上，连接 AD ，BE ，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．
【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB，根据 AAS 证△ADC≌△CEB． 【答案与解析】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC 和△CEB 中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS ）．
【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS 、ASA 、AAS 等．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时， 必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线 MN ．过点 C 作 CE⊥MN 于点E ，过点 B 作 BF⊥MN 于点 F ．当点 E 与点 A 重合时（如图 1），易证：AF ＋BF ＝2CE ．当三角板绕点 A 顺时针旋转至图 2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【思路点拨】过 B 作 BH⊥CE 与点 H ，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等， 即可证得 AF ＋BF ＝2CE ． 【答案与解析】
解：图 2，AF ＋BF ＝2CE 仍成立， 证明：过 B 作 BH⊥CE 于点 H ，
D
⎨ ⎩
∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90° ∴∠CBH＝∠ACE
在△ACE 与△CBH 中，
⎧∠ACH = ∠CBH ⎪∠AEC = ∠CHB = 90︒ ⎪ AC = BC ∴△ACE≌△CBH．（AAS ） ∴CH＝AE ，BF ＝HE ，CE ＝EF ，
∴AF＋BF ＝AE ＋EF ＋BF ＝CH ＋EF ＋HE ＝CE ＋EF ＝2EC ．
【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三：
【变式】已知 Rt△ABC 中，AC ＝BC ，∠C＝90°，D 为 AB 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF
绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、CB 于 E 、F ．当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE⊥AC 于 E 时（如
1
图 1），易证 S △△DE △F + S CEF = 2
S
ABC ；当∠EDF
绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.
【答案】
解：图 2 成立；
证明图 2：
过点 D 作 DM ⊥ AC ，DN ⊥ BC 则∠DME = ∠DNF = ∠MDN = 90° 在△AMD 和△DNB 中，
A
M E C
N F B
图 2
⎨ ⎩
⎨
⎩
⎧∠AMD=∠DNB=90︒ ⎪∠A = ∠B ⎪ AD = B D ∴△AMD≌△DNB（AAS ） ∴DM＝DN
∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°， ∴∠ MDE＝∠NDF
在△DME 与△DNF 中，
⎧∠EMD = ∠FDN = 90︒ ⎪
DM = DN ⎪∠MDE = ∠NDF ∴△DME≌△DNF（ASA ） ∴ S △D △ME = S
DNF
∴S 四边形D
四M 边C 形N =S
DECF
=S △D △EF + S
1
CEF
.
可知S 四边形DMCN = 2 S △ABC ，
1
∴ S △D △E △F + S CEF = 2
S ABC
类型四、全等三角形判定的实际应用
5、（2015 春•龙岗区期末）小强为了测量一幢高楼高 AB ，在旗杆 CD 与楼之间选定一点 P ．测得旗杆顶 C 视线 PC 与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶 A 视线 PA 与地面夹角 ∠APB=54°，量得 P 到楼底距离 PB 与旗杆高度相等，等于 10 米，量得旗杆与楼之间距离为 DB=36 米，小强计算出了楼高，楼高 AB 是多少米？
【思路点拨】根据题意可得△CPD ≌△PAB （ASA ），进而利用 AB=DP=DB ﹣PB 求出即可．
【答案与解析】
解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=54°， 在△CPD 和△PAB 中
∵
，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP=AB，
∵DB=36，PB=10，
∴AB=36﹣10=26（m），
答：楼高AB 是26 米．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB 是解题关键．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2014 秋•西秀区校级期末）如图，△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定（）
A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE
C．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对
2.如图，AB∥EF，DE∥AC，BD＝CF，则图中不是全等三角形的是（）
A.△BAC≌FED
B. △BDA≌FCE
C. △DEC≌CAD
D. △BAC≌FCE
3.如图，AB＝BD，∠1＝∠2，添加一个条件可使△ABC≌△DBE，则这个条件不可能是（）
A.AE＝EC
B.∠D＝∠A
C.BE＝BC
D.∠1＝∠DEA
4.下列判断中错误的是（）
A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
5.△ABC和△A 'B 'C ' 中, 条件①AB＝A 'B ' , ②BC＝B 'C ' , ③ AC＝A 'C ' , ④ ∠A
＝∠A ', ⑤∠B＝∠B ' , ⑥∠C＝∠C ' , 则下列各组条件中, 不能保证△ ABC≌△A 'B 'C ' 的是( )
A.①②③
B. ①②⑤
C. ①③⑤
D. ②⑤⑥
6.如图，点A 在DE 上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE 的长等于（）
A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC
二、填空题
7.已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，判定定理为 AAS，需要添加条件
；或添加条件，证明全等的理由是ASA.
8.（2014 秋•白云区期末）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，若直接推得△ABD≌△ACD，则
其根据是.
9.（2016•滨湖区一模）如图，点B、E、C、F 在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加
一个条件，使△ABC≌△DEF．
10.如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有对.
11.如图，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B，点A、C 到直线 l 的距离分别是 1 和2，则EF
的长是．
12. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝.
三、解答题
13．（2016 春•会宁县期中）已知：如图，等腰三角形 ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l 经过点 C（点A、B 都在直线 l 的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为 D、E．
求证：△ADC≌△CEB．
14. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC = 45°，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，
BE 与CD 相交于点F ．求证：BF =AC .
15.（2014 秋•杭州期末）如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的角平分线相交于 E，过E 的直线
分别交 DC、AB 于C、B 两点.求证：AD＝AB＋DC.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B．
2.【答案】D；
3.【答案】A；
【解析】D 选项可证得∠D＝∠A，从而用 ASA 证全等.
4.【答案】B；
【解析】C 选项和 D 选项都可以由 SSS 定理证全等.
5.【答案】C；
【解析】C 选项是两边及一边的对角对应相等，不能保证全等.
6.【答案】C；
【解析】可证∠BAC＝∠E，∠BCA＝∠DCE，所以△ABC≌△EDC，DE＝AB.
二、填空题
7. 【答案】∠2＝∠1；∠E＝∠F.
8.【答案】AAS；
9.【答案】∠A=∠D或∠ACB=∠F；
【解析】解：可添加条件为∠A=∠D 或
∠ACB=∠F．理由如下：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF．
∵在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故答案是：∠A=∠D 或
∠ACB=∠F． 10.【答案】6；
【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.
1.【答案】3；
【解析】由 AAS 证△ABF≌△CBE，EF＝FB＋BE＝CE＋AF＝2＋1＝3.
12.【答案】66°；
【解析】可由 SSS 证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝
∠ABC＝25°＋41°＝66°
三、解答题
13.【解析】
证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC 和△CEB 中，
，
∴△ADC≌△CEB
（AAS）． 14.【解析】
证明：∵ CD ⊥AB 82︒
2
= 41︒，所以∠DCB＝
⎨ ⎩
⎨ ⎩
⎨ ⎩
∴ ∠BDC = ∠CDA = 90︒ ∵ ∠ABC = 45︒
∴ ∠DCB = ∠ABC = 45︒ ∴ DB = DC ∵ BE ⊥ AC ∴ ∠AEB = 90︒
∴ ∠A + ∠ABE = 90︒ ∵ ∠CDA = 90︒
∴ ∠A + ∠ACD = 90︒ ∴ ∠ABE = ∠ACD 在∆BDF 和∆CDA 中
⎧∠BDC = ∠CDA ⎪DB = DC
⎪∠ABE = ∠ACD ∴ ∆BDF ≌ ∆CDA ∴ BF = AC
15.【解析】
证明：延长 DE 交 AB 的延长线于 F
（AAS ） ∴∠CDE＝∠F, ∠CDA＋∠BAD＝180º ∵DE 平分∠CDA,AE 平分∠DAB 1
∴∠CDE＝∠ADE＝ 2 1 ∠DAE＝∠EAF＝ 2
∠CDA, ∠BAD
∴∠ADE＝∠F,∠EDA＋∠DAE＝90º ∴∠AED＝∠AEF＝90º 在△ADE 与△AFE 中
⎧∠ADE = ∠F ⎪∠DEA = ∠FEA ⎪AE = AE ∴△ADE≌△AFE （AAS ） ∴DE＝EF,AD ＝AF 在△DCE 与△FBE 中
⎧∠CDE = ∠F ⎪DE = FE
⎪∠DEC = ∠FEB ∴△DCE≌△FBE （ASA ） ∴DC＝BF
∴AD＝AB ＋DC.。