人教B数学必修第三册课时分层作业 两角和与差的余弦 含解析

课时分层作业(十六) 两角和与差的余弦
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.计算cos 8°cos 38°＋sin8°sin38°等于( )
A ．12
B ．22
C ．32
D ．－32
C [逆用两角差的余弦公式，得cos 8°cos 38°＋sin8°sin38°＝cos(8°－38°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝32.]
2.已知sin α＝1
3，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( ) A ．－3－22
2 B ．3－22
6 C ．
3＋22
6
D ．
－3＋22
6
B [因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－22
3，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝⎝
⎛⎭⎪⎫－223×12＋1
3×32＝－22＋36.]
3.满足cos αcos β＝3
2－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝3
4π B ．α＝π2，β＝π
3 C ．α＝π2，β＝π
6
D ．α＝π3，β＝π
4
B [由条件cos αcos β＝32－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝3
2，即cos(α－β)＝32， α＝π2，β＝π
3满足题意．]
4．已知cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π6＝5
13，0＜θ＜π3，则cos θ等于( )
A ．53＋1226
B ．12－53
13 C ．5＋12326 D ．6＋5313
A [因为θ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π3，
所以θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝12
13.
故cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝513×32＋1213×12＝53＋1226.]
5．若sin x ＋sin y ＝22，cos x ＋cos y ＝6
2，则sin(x ＋y )等于( ) A ．32 B ．22 C ．62
D ．1
A [由sin x ＋sin y ＝22，得sin 2x ＋sin 2
y ＋2sin x sin y ＝12，① 由cos x ＋cos y ＝62，得cos 2x ＋cos 2y ＋2cos x cos y ＝3
2，② 两式相加得：cos(x －y )＝0.
②－①得：cos 2x ＋2cos(x ＋y )＋cos 2y ＝2cos(x ＋y )＋2cos(x ＋y )cos(x －y )＝2cos(x ＋y )＝1，
∴cos(x ＋y )＝12，则x ＋y ＝2k π±π
3，
验证x ＋y ＝2k π－π3不成立，∴x ＋y ＝2k π＋π
3， 则sin(x ＋y )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2k π＋π3＝sin π3＝32.故选A ．]
6．下列关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4cos(－x )－sin x ＋π4sin x 的性质叙述错误的
是( )
A ．最小正周期为π
B ．函数图像关于直线x ＝3π
8对称 C ．函数图像关于直线x ＝－π
8对称 D ．函数图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π8，0对称
D [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos(－x )－sin x ＋π4·sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4cos(－x )＋
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin(－x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－(－x )＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数的最小正周期是π，由2x ＋π4＝k π， k ∈Z ，得x ＝k π2－π8， k ∈Z ，所以函数图像关于直线x ＝k π2－π8， k ∈Z ，对称，故选项B 、C 都正确．由2x ＋π4＝k π＋π2， k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8， k ∈Z ，所以函数图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π2＋π8，0对称，其中，k ∈Z ，故选项D 不正确．所
以选D ．]
二、填空题
7．计算cos(α＋120°) cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝________.
－1
2 [法一：cos(α＋120°)cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝cos(α＋120°)cos(－α)－sin(α＋120°)sin(－α)
＝cos [(α＋120°)＋(－α)]＝cos 120°＝－12.
法二：cos(α＋120°) cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝cos(α＋120°) cos α＋sin(α＋120°)sin α
＝cos [(α＋120°)－α]＝cos 120°＝－12.]
8．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，若a 与b 的夹角为π
3，则cos(α－β)＝________.
1
2 [因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， 所以|a |＝|b |＝1，
又因为a 与b 的夹角为π
3， 所以a·b ＝|a ||b |cos π3＝1×1×12＝1
2. 又a·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)， 所以cos(α－β)＝12.]
9．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为5
13，则cos(α－β)＝________.
5665 [由三角函数的定义可得，sin α＝35，cos β＝513， ∴cos α＝45，sin β＝12
13.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝56
65.] 三、解答题
10．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π
2<α＋β<2π，求β的值．
[解] ∵ π2<α－β<π，cos(α－β)＝－4
5， ∴sin(α－β)＝3
5.
∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝45.
∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35×3
5＝－1.
∵π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，∴π2<2β<3π2，2β＝π，∴β＝π2.
[等级过关练]
1.若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1
D ．－1
B [因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝1，sin β＝1 或
⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝－1，
sin β＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
cos α＝0，
cos β＝0， 于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.]
2.已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0＜β＜α＜π
2，那么β＝( ) A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3 C [cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，由已知cos α＝3
5，
cos(α－β)＝7210，0＜β＜α＜π2，可知sin α＝45，sin(α－β)＝2
10，代入上式得
cos β＝35×7210＋45×210＝25250＝22，所以β＝π
4.]
3.已知sin α＝－13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos β＝－45，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，则cos(α－β)＝
________.
82－315 [因为sin α＝－13，α∈
⎝ ⎛
⎭⎪⎫π，32π， 所以cos α＝－
1－sin 2α＝－22
3，
又cos β＝－45，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，
所以sin β＝
1－cos 2β＝35，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝82－315.]
4．已知△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－12
13，则cos(A －B )＝________. －1665 [因为cos B ＝－1213，且0<B <π，所以π
2<B <π， 所以sin B ＝
1－cos 2
B ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513， 且0<A <π
2，所以cos A ＝1－sin 2
A ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫452＝35，
所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－16
65.]
5．(1)把向量OP →＝(x ，y )绕原点顺时针方向旋转角α，得到向量OQ →
＝(x ′，y ′)，用x ，y 及角α的三角函数表示x ′.
(2)利用(1)的结论解答下面的问题：
如图点B (2,0)，半圆上动点A ，求等边三角形ABC (逆时针方向排列)的顶点C 的横坐标的取值范围．
[解](1)设OP →的模为r ，OP →
在角θ的终边上，则x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，由题意可得OQ →在角θ－α的终边上，且OQ →
的模也是r ，
由三角函数的定义可得x ′＝r cos(θ－α)＝r cos θcos α＋r sin θsin α＝x cos α＋y sin α.
即x ′＝x cos α＋y sin α.
(2)设点C (x 1，y 1)，因为动点A 在半圆上， 所以设点A (cos θ，sin θ)，0°≤θ≤180°， 则向量BA →
的坐标为(cos θ－2，sin θ)， 向量BC →
的坐标为(x 1－2，y 1)，
由已知可得向量BA →绕点B 顺时针方向旋转60°得到向量BC →
. 所以由(1)的结论得x 1－2＝(cos θ－2)cos 60°＋sin θsin 60° ＝12cos θ＋3
2sin θ－1＝cos(θ－60°)－1， 所以x 1＝1＋cos(θ－60°)， 因为0°≤θ≤180°， 所以－60°≤θ－60°≤120°， 所以－1
2≤cos(θ－60°)≤1， 所以x 1∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2.。