2022-2023学年通州区九年级第一学期数学期末测试试卷及答案

通州区2022—2023学年九年级第一学期期末质量检测
2022年12月
学校班级姓名
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。

2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，请将答题卡交回。

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题四个选项中，只有
．．一个符合题意1. 二次函数y＝（x﹣1）2的顶点坐标是（）
A．（0，﹣1）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，0）
2.如果两个相似多边形的面积比为 : ，那么它们的周长比为
A．：B．：C．：D．：
3.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）
A．75°B．70°C．65°D．55°
4.如图，是某商场电梯的截面图，AB的长为12米，AB与AC夹角为α，那么电梯的高BC 的长是（）
A．12sinα米B．12cosα米 C．12
sinα
米D．12
cosα
米
5. 有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弦所对的圆周角相等；③圆中90°的角
所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6. 如图：△ABC 中，P 是AB 边上一点（与A 、B 不重合）， 过点P 作直线截△ABC ，所截得的三角形与原△ABC 相似， 满足这样条件的直线共有（）．
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
7. 已知电灯电路两端的电压U 为220 V,通过灯泡的电流强度I(A)不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R(Ω),下列说法正确的是 ( )
A. R 至少2 000 Ω
B. R 至多2 000 Ω
C. R 至少24.2 Ω
D. R 至多24.2 Ω
8. 如图1，作∠BPC 平分线的反向延长线PA ，现要分别以∠APB ，∠APC ，∠ BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹 后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1的正方形，
此时∠BPC ＝90°，而90°2 ＝45°是360°(多边形外角和)的1
8 ，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是14.在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（ ）
A ．14
B ．16
C ． 19 D.21
图
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 二次函数y ＝x 2﹣6x +5的图象与x 轴交点坐标是 ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A(3，4)为⊙O 上一点，
B 为⊙O 内一点，请写出一个符合条件要求的 点B 的坐标_________.
11. 已知扇形的弧长为2π，半径为8，则此扇形的圆心角为 度．
12.将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子 （图中的所有点，线在同一平面内），图中相似而不全等
的三角形有 对
13.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的O 的圆心O 在格点上，则
AED ∠的正切值是__________.
14. 已知（﹣1，y 1），（2，y 2）在二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象上，比较y 1 y 2.（填＞、＜或＝）
15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边40cm,20cm DE EF ==，测得边DF 离地面的高度150cm,800cm AC CD ==，则树高AB 等
于 .
x
y
A : (3, 4)
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
123456
–1–2–3–4–5–6–7
1
234
56O
E D
B
G
A
F
C
16.如图，是一张直角三角形的纸片，∠C =90°，AC =4,BC =3,
现在小牧将三角形纸片折叠三次。

第一次折叠使得点A 落在点C 处；将纸片展平再做第二次折叠，使得点B 落在点C 处；再将纸片展平之后，再做第三次折叠，使得点A 落在点B 处.这三次折叠的折痕长度依次记为a,b,c ，请你比较a,b,c ，的大小，并用不等号连接 .
三、解答题：（17-24题，每题5分，25-28题，每题7分，共68分） 17. 计算： 04cos45(1)822
︒+-+-－
18. 如图，已知反比例函数k
y x
=
的图象与一次函数y x b =-+的图象交于点()1,4A ，点()4,B n ． (1)求n 和b 的值； (2)观察图像，不等式k
x b x
>-+的解集为________．
19.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E ．已知AC ＝6，cos A ＝． （1）求线段CD 的长； （2）求cos ∠DBE 的值．
C
A
B
x
y –1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
6
7
–1–2–3
1
2345
6O B
A
20.已知二次函数2
y x bx c =++的图象经过A (2,0),B (-1,0)两点，求这个二次函数的解析式.
21. 如图，已知AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上一点，连结BP ，并延长BP 到点C ，使PC =BP ，连结AC ． (1)求证：AB AC =．
(2)若AB =4，30ABC ∠=︒，求阴影部分的面积．
22. 如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD 的中点．求:AN NC 的值．
23．已知双曲线y 1＝k
x 与抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交于A （2，3），B （m ，2），C （﹣3，n ）三点．（1）求m 和n 的值；
（2）在平面直角坐标系中描出上述两个函数的草图，并根据图象直接写出：当y 1＞y 2时，x 的取值范围？
x
y
–1
–2
–3
–4
–5
12345
–1
–2–3–4–5
1
2345
O
24.如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支
撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到底座DE的距离；
(参考数据：2 1.413 1.735 2.24
，，)(结果精确到0.1mm)
≈≈≈
25. 如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已
知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度．
26. 如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB
延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．
（1）求证：BM与⊙O相切；
（2）当∠A＝60°时，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF＝15°，求点F到直线AB的距离．
27. 如图，抛物线2
1
2
y ax x c
=-+的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为()
0,3
D，
与直线
2
3
y x
=--交点为A和C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线
2
3
y x
=--上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由。

（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有
公共点，请直接写出点E的横坐标
E
x的取值范围．
28.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为
d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）= 0.
已知A（- 4，0），B（0，4），C（- 2，0），
（1）d（点A，点B）=________，d（点A，线段BC）=________；
（2）⊙O半径为r，
①当r = 1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）=______
②若d（⊙O，△ABC）=1, 求⊙O的半径r的长.
通州区2022-2023学年第一学期九年级期中质量检测数学参
考答案及评分标准
2023年1月
一、选择题：（每题2分，共16分）
二、填空题：（每题2分，共16分）
9.（1，0），（5，0）， 10.答案不唯一， 11.45°， 12. 3, 13. 1
2, 14. y 1>y 2, 15. 550cm ， 16. b>c>a ，
三、解答题：（17-24每题5分，25-28题，每题7分，共68分）
17. 0
4cos45(1)2︒+－
解：原式=4×√2
2 +1-2√2+2−√2…………………………………………………………(4分) =3-√2 ………………………………………………………(5分) 18. 解：
（1）把()1,4A 代入k
y x
=
得：K =4，………………………………………………………(1分) 把()4,B n 代入y =4
x ，得：n =1………………………………………………………(2分) 把()1,4A 代入得：b =5 ……………………………………………………(3分) （2)不等式k
x b x
>-+的解集为0<x <1或者x >4…………………………（5分) 19.解：
（1）∵AC ＝6，cos A ＝3
5， ∴cos A ＝6
AB ＝3
5，
∴AB ＝10， ………………………………………………………(1分) ∵△ACB 为直角三角形，D 是边AB 的中点，
∴CD ＝5； ………………………………………………………(2分) （2）∵AB ＝10，
∴BC ＝8，sin ∠ABC=cos ∠A ＝3
5，………………………………………………………(3分)
∵DC ＝DB=5，∴∠DCB ＝∠ABC ， ∴sin ∠DCB ＝sin ∠ABC ＝3
5， ∵BE ⊥CD ， ∴∠BEC ＝90°， ∴sin ∠DCB ＝BE
CB ，
BE=24
5……………………………………(4分)
∴cos ∠DBE ＝24
25 ………………………………………………………(5分)
21. 证明：（1）连接AP ， ∵AB 是半圆O 的直径，
∴∠APB =∠APC =90° …………………………………………………(1分) ∵PC =BP ， ∴△APB ≌△APC
∴AB AC =． …………………………………………………(2分) 解（2）
连接OP ,过点P 作PE ⊥AB ∵AB =4，30ABC ∠=︒
∴OB=OP =2，∠POB =120° ，
AP =2, BP =2√3
∴PE =BP
2=√3 …………………………………………………(3分)
A
O
B
P
C
4
30°
A
O
B
P
C
E
∴S 扇形=120∙OB 2π
360
= 4π
3
…………………………………………………(4分) S ∆POB = 12
OB ∙PE =12
×2×√3=√3
S 阴影=
4π3
−√3 …………………………………………………(5分)
22. 解：
如图，过点D 作AC//DH 交BN 于点H ．…………………………………………………(1分) 所以BDH BCN ∆∆∽，
所以
DH BD
CN BC
=． …………………………………………………(2分) 因为D 为BC 的中点，所以
1
2
DH BD CN BC ==．………………………………………………(3分) 因为//DH AN ，所以DHM ANM ∆∆∽， 所以
DH DM
AN AM
=． 因为M 为AD 的中点，所以1DH DM
AN AM
==．…………………………………………………(4分) 所以DH AN =， 所以1
2
AN CN =． …………………………………………………(5分) 23.
解：（1）把A （2，3）代入线y 1＝得k ＝2×3＝6， 则反比例函数的解析式是y ＝，
把B （m ，2）代入得m ＝＝3， …………………………………………………(1分) 把（﹣3，n ）代入得n ＝＝﹣2；…………………………………………………(2分)
（2）如图所示：
则x 的范围是：0＜x ＜2，x ＜﹣3，x ＞3．……………………………………………(5分) 24.解：
过点A 作AH ⊥DE 于点H ，过点C 作CN ⊥AH 于点N ,CM ⊥DE 于点M ……………(1分) ∴∠CNH ＝∠CMH =∠NHM ＝90°，四边形CMHN 是矩形，AH//CM ∵∠DCB ＝90°，∠CDE ＝60°， ∴∠DCE ＝30°，∠BCM ＝60°
∴∠A ＝60°
…………………………………………………(2分) ∵AB ＝120 ，CB ＝40， ∴AC=80，
∴AN =40，NC =40
√3…………………………………………………(3分) ∵CD ＝80，∠CDE ＝60°，
∴MC =40√3 …………………………………………………(4分) ∴四边形CMHN 是正方形， ∴HN=40√3
∴AH= AN + HN =40+40√3≈109.2…………………………………………………(5分) 25. 如图所示建立平面直角坐标系．
此时，抛物线与x 轴的交点为C (-100,0), D (100,0)． ………………………………………(1分) 设这条抛物线的解析式为(-100)(100)y a x x =+…………………………………………(2分) ∵ 抛物线经过点B
(50,150)，)
……………………………………(3
分) 可
得
150(50-100)(50100)
a =+
．
解得1
-
50
a =． …………………………………………………(5分) ∴211
-
(-100)(100)-2005050
y x x x =+=+．……………………………(6分) 顶点坐标是（0，200）
M
N
H
D
A B
E
C
∴拱门的最大高度为200米．…………………………………………………(7分)
26.证明：（1）
∵M为CD的中点，O是AC中点，
∴OM//AD
∵∠ABC=90°
∴OM⊥BC，……………………………………(1分)
∴∠1=∠2
又OB=OC，OM=OM
∴△OBM≌△O CM
∴∠OBM=∠OCM……………………………………(2分)∵MC是⊙O切线
∴∠OCM==90°
∴∠OBM=90°，
∴OB⊥BM，
∴BM是⊙O切线……………………………………(3分)解：（2）
当点F在上时，连接OF，交AB于点G，∵∠FBA=15°
∴∠AOF=30°……………………………………(4分)
∵∠A＝60°，OA=OB
∴OF⊥AB
∵直径AC＝4，
∴AO＝2，
∴OG=√3
∴FG=2-√3……………………………………(5分)
当点F在上时
2
1
N
M
D
C
O
A
B
AB
G
N
M
D
C
O
A
B
F
AC
27.
解：（1）由3y x =--得，0y =时，3x =-，
∴()3,0A -．……………………………………………………………………(1分) ∵抛物线2
2y ax x c =-+经过()3,0A -、()0,3D 两点，
∴9603a c c ++=⎧⎨
=⎩，解得1
3
a c =-⎧⎨=⎩………………………………………………(2分)
∴抛物线的解析式为2
23y x x =--+．………………………………………………(3分) （2）存在
M (-1,-2), M (1,-4) …………………………………………………………………………(5分) （3）225221E x --≤≤-．…………………………………………………………(7分) 28. （1）42 ………………………………………………………………………………(1分)
2 ……………………………………………………………………………………(2分)
（2）①221- ………………………………………………………………………(5分) ②当r<OC 时，过点O ，作OE ⊥BC ， 易证△OEC ∽△BOC ∵B （0，4），C （- 2，0）， ∴OB=4, OC=2
x
y E
O A C
B
∴BC=2√5
=
BC OB
OE=
-………………………………………………………………………(6分)
当r<OC时，r =5 ………………………………………………………………………(7分)
或
【注】学生正确答案如果与本参考答案不同，请老师们参照本评分标准酌情给分。