北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系教学说课课件
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解：在R
∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，
BC
tan ∠CAB，
AB
∴BC＝AB·
AB
cos 500
AC
AB
2000
AC
3111(米)
cos 500
cos 500
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米．
新课讲解
归纳
解直角三角形只有以下两种情况：
（1）已知道两边
段的长度为( C
)
(A )180 m
(B )260 3 m
(C )(260 3 - 80)m
(D )(260 2 -=45°，c=14；
（2）b=15，∠B=60°.
解：（1）∵∠B=45°，c=14，∠C=90°，
∴∠A=45°，
a b
14
2
7 2
解:过点 B 作 BM⊥FD 于点 M.
在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,∠A=45°,AC=12 2,
所以 BC=AC=12 2.
因为 AB∥CF,所以∠BCM=45°,
所以 CM=BM=BC·sin 45°=12 2 ×
2
=12.
2
在△EFD 中,∠F=90°,∠E=30°,所以∠EDF=60°,
在R
在R
所以AE+CF=9.3+11.85=21.15 cm.
答:此时杯子的最高处与桌面的距离为21.15 cm.
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
3
5
12.如图,在R
(1)求AB的值;
(2)求
3
解:(1)在 Rt△ABC 中,sin B= = 5,AC=6,∴AB=10.
8.已知在△ABC中,AD是高,AD=2,BD=2,CD= 2 3 ,则∠BAC的度数为 ( C )
A.105°
B.15°
C.15°或105° D.60°
3+ 3
9.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC= 2 3 ,则AB的长为
.
10.如图,在R
6
5
-25-
第一章
1.4 解直角三角形
∴AB=BD+AD=30 2+10 6,AC=2AD=20 6.
拓展探究突破练
-24-
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
7.在△ABC中,∠C=90°,∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(结果精确到0.1) ( C )
A.9.1
B.9.5
C.3.1
D.3.5
拓展探究突破练
知识点1 已知两边解直角三角形
1.在R
1
15
4
4 17
D. 17
A.4
B.
15
C. 15
2 3
2.在R
解:在 Rt△ABC 中,b= 2 -2 =
因为 sin A= =
16-12=2.
3
,所以∠A=60°,∠B=30°.
2
-21-
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-26-
11.如图,有一个底面直径与杯高均为15 cm的杯子里盛了一些溶液,当它支在桌子上倾
斜到液面与杯壁呈52°时才能将液体倒出,求此时杯子的最高处与桌面的距离.(结果精
确到0.01 cm,参考数据:
解:如图,过点A作AE⊥BC于点E,过点C作CF⊥
AE+CF的长即为此时杯子的最高处与桌面的距离.
为“好玩三角形”,在R
3
2
或
2 3
3
课堂练习
1. 根据下列条件解直角三角形，结果不能确定的是( C )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；
④已知一斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边．
A．②③
B．②④
C．②
D．②④⑤
12
2. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶 13 米，已知 cosα＝ ，
(参考数据:
2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 6 ≈2.45
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
所以在 Rt△BDM 中,MD=tan60°=4 3,
所以 CD=CM-MD=12-4 3.
-28-
第一章
1.4 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-293
5
14.如图,在R
(1)求BC的长;
(2)求
解:(1)因为在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是边 AB 的中点,
∵DE⊥BC 于点 E,∴∠CDE=∠C=45°,
2
2
∴DE=EC= 2 DC= 4 AC,
∴tan
∠DBC=
=
2
4
2
2- 4
1
= 3.
-22-
第一章
1.4 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
知识点 3 求解斜三角形
5.如图,在△ABC 中,∠B=45°,AC=4,BC=2 2,则 AB 的长为 ( B
D.3+2 3
C.3+2 2
B.2+2 3
A.2+2 2
提示:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.在 Rt△BDC 中,∠B=45°,
所以 BD=CD=BC·cos 45°=2 2 ×
在 Rt△ADC 中,AD= 2 - 2 =
所以 AB=AD+BD=2+2 3.
2
=2.
2
42 -22 =2 3.
所以 tan ∠CBE=
=
8
=
8
,
10
-30-
1
所以 CD=2AB.
因为 CD=5,所以 AB=10.
3
因为 sin ∠ABC= = 5,所以 AC=6,
所以 BC= 2 - 2 =8.
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
(2)过点 E 作 EH⊥BC 于点 H,所以∠EHC=∠EHB=90°.
13
则小车上升的高度是( A
A ．5 米
B ．6 米
)
C ．6.5 米
D ．12 米
课堂练习
3.如图,沿 A C 方向开山修建一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找
点 E 同时施工,从 A C 上的一点 B 取∠A B D = 150°,沿 B D 的方向前进,取∠B D E=
60°,测得 B D = 520 m ,B C = 80 m ,并且 A C ,B D 和 D E 在同一平面内,那么公路 C E
解:工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形
门,
理由:
过B作BD⊥AC于D,如图:
设BD=x m,
∵∠A=30°,∠C=45°,
∴DC=BD=x m,AD= 3 BD= 3 x m,
课堂练习
∵A C = 2( 3 + 1)m ,
∴x+ 3 x= 2( 3 + 1),
∴x= 2,
即 B D = 2 m < 2.1 m ,
解:(1)R
因为∠ADB=30°,AC=6米,
所以AD=2AC=12米,
所以AD的长度为12米.
）
D
300
6米
600
B
C
变式训练
如图,某水上乐园有一个滑梯AB,高度AC为6米,倾斜角为60°,暑期将至,为
改善滑梯AB的安全性能,把倾斜角由60°减至30°.
A
(1)求调整后的滑梯AD的长度;
(2)调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米?(精确到0.1米)
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1 m 的圆形门.
本节总结
概念
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元
素的过程，叫做解直角三角形.
解直角
三角形
已知两边解直角三角形
应用
已知一边和一锐角解直角三角形
再见
第一章 直角三角形的边角关系
解直角三角形
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
（2）已知一条边和一个锐角
变式训练
如图,某水上乐园有一个滑梯AB,高度AC为6米,倾斜角为60°,暑期将至,为
改善滑梯AB的安全性能,把倾斜角由60°减至30°.
A
(1)求调整后的滑梯AD的长度;
(2)调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米?(精确到0.1米)
(参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 6 ≈2.45
拓展探究突破练
知识点2 已知一边、一角解直角三角形
3.在R
A.4
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,求
解:∵在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=45°,BC= 2AC.
1
2
又∵D 为边 AC 的中点,∴AD=DC= AC.
∴AE=AD+DE=7 2,
∴tan ∠BAD= = 7
2
2
1
= 7.
拓展探究突破练
-27-
第一章
1.4 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
13.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,
∠E=30°,∠A=45°,AC= 12 2,求CD的长.
)
-23-
第一章
1.4 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
6.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,解这个三角形.
解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,易得∠A=60°.
在 Rt△BCD 中,∠B=45°,BD=CD=BC·sin 45°=30 2.
在 Rt△ACD 中,∠A=60°,AD=tan60°=10 6,
1.4 解直角三角形
九年级下册
1
回顾直角三角形的有关知识点;
2
本节目标
4
3
理解解直角三角形的概念;
熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形；
经历实际情境中锐角三角函数等有关概念的应用过程,
掌握解直角三角形的应用方法；
5 培养学生分析问题、解决问题 的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．
复习回顾
回顾直角三角形有关知识点：
(2)过点 B 作 BE⊥AD,交 AD 的延长线于点 E.
∵∠C=90°,AC=6,AB=10,∴BC= 2 - 2 =8.
又∵CD=6,∴BD=BC-CD=2.
∵∠C=90°,DC=AC=6,∴∠ADC=45°,AD=6 2,
∴∠BDE=∠ADC=45°.
又∵BD=2,BE⊥AD,∴BE=DE=BD·cos 45°= 2,
思考
如果利用上面知识解决实际问题呢？
两锐角
新课讲解
例1.如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，
树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？
解：利用勾股定理可以求出折断后
倒下部分的长度为： 52 122 13
13+5=18（米）
答：大树在折断之前高18米
新课讲解
解直角三角形
90°
角： 两锐角互余，即∠A＋∠B＝____；
a 2 + b 2 = c2
边： 边与边的关系：________________
边角：
co
∠A的对边
斜边
a
c
∠A的邻边
斜边
b
c
∠A的对边
∠A的斜边
a
b
B
∠A
的
对
边a
∠A的邻边b
A
情境导入
观察
勾股定理
两直角边
斜边
根据锐角
三角函数
另外两边
一个锐角和一边
另外一锐角
1
因为 D 是边 AB 的中点,所以 BD=CD=2AB,所以∠DCB=∠ABC.
因为∠ACB=90°,所以∠EHC=∠ACB,
所以△EHC∽△ACB,所以 = = .
6
因为 BC=8,所以 CE=CB=8,所以
24
32
32
8
=3,即
tan E=3.
解得 EH= 5 ,CH= 5 ,BH=8- 5 = 5.
课堂练习
4.在R
（1）∠B=45°，c=14；
（2）b=15，∠B=60°.
解：（2）∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°.
∵b=15，
15
∴c= b =
a=
b
15
=
=10 3 ，
5= 3
.
课堂练习
5.如图,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(
3+ 1)m.
请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门?
在例1中，利用直角三角形的边角关系求出另外两个锐角，像这样，在
直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形
新课讲解
例2.如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，
在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C
在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米)
∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，
BC
tan ∠CAB，
AB
∴BC＝AB·
AB
cos 500
AC
AB
2000
AC
3111(米)
cos 500
cos 500
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米．
新课讲解
归纳
解直角三角形只有以下两种情况：
（1）已知道两边
段的长度为( C
)
(A )180 m
(B )260 3 m
(C )(260 3 - 80)m
(D )(260 2 -=45°，c=14；
（2）b=15，∠B=60°.
解：（1）∵∠B=45°，c=14，∠C=90°，
∴∠A=45°，
a b
14
2
7 2
解:过点 B 作 BM⊥FD 于点 M.
在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,∠A=45°,AC=12 2,
所以 BC=AC=12 2.
因为 AB∥CF,所以∠BCM=45°,
所以 CM=BM=BC·sin 45°=12 2 ×
2
=12.
2
在△EFD 中,∠F=90°,∠E=30°,所以∠EDF=60°,
在R
在R
所以AE+CF=9.3+11.85=21.15 cm.
答:此时杯子的最高处与桌面的距离为21.15 cm.
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
3
5
12.如图,在R
(1)求AB的值;
(2)求
3
解:(1)在 Rt△ABC 中,sin B= = 5,AC=6,∴AB=10.
8.已知在△ABC中,AD是高,AD=2,BD=2,CD= 2 3 ,则∠BAC的度数为 ( C )
A.105°
B.15°
C.15°或105° D.60°
3+ 3
9.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC= 2 3 ,则AB的长为
.
10.如图,在R
6
5
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第一章
1.4 解直角三角形
∴AB=BD+AD=30 2+10 6,AC=2AD=20 6.
拓展探究突破练
-24-
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
7.在△ABC中,∠C=90°,∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(结果精确到0.1) ( C )
A.9.1
B.9.5
C.3.1
D.3.5
拓展探究突破练
知识点1 已知两边解直角三角形
1.在R
1
15
4
4 17
D. 17
A.4
B.
15
C. 15
2 3
2.在R
解:在 Rt△ABC 中,b= 2 -2 =
因为 sin A= =
16-12=2.
3
,所以∠A=60°,∠B=30°.
2
-21-
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-26-
11.如图,有一个底面直径与杯高均为15 cm的杯子里盛了一些溶液,当它支在桌子上倾
斜到液面与杯壁呈52°时才能将液体倒出,求此时杯子的最高处与桌面的距离.(结果精
确到0.01 cm,参考数据:
解:如图,过点A作AE⊥BC于点E,过点C作CF⊥
AE+CF的长即为此时杯子的最高处与桌面的距离.
为“好玩三角形”,在R
3
2
或
2 3
3
课堂练习
1. 根据下列条件解直角三角形，结果不能确定的是( C )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；
④已知一斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边．
A．②③
B．②④
C．②
D．②④⑤
12
2. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶 13 米，已知 cosα＝ ，
(参考数据:
2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 6 ≈2.45
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
所以在 Rt△BDM 中,MD=tan60°=4 3,
所以 CD=CM-MD=12-4 3.
-28-
第一章
1.4 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-293
5
14.如图,在R
(1)求BC的长;
(2)求
解:(1)因为在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是边 AB 的中点,
∵DE⊥BC 于点 E,∴∠CDE=∠C=45°,
2
2
∴DE=EC= 2 DC= 4 AC,
∴tan
∠DBC=
=
2
4
2
2- 4
1
= 3.
-22-
第一章
1.4 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
知识点 3 求解斜三角形
5.如图,在△ABC 中,∠B=45°,AC=4,BC=2 2,则 AB 的长为 ( B
D.3+2 3
C.3+2 2
B.2+2 3
A.2+2 2
提示:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.在 Rt△BDC 中,∠B=45°,
所以 BD=CD=BC·cos 45°=2 2 ×
在 Rt△ADC 中,AD= 2 - 2 =
所以 AB=AD+BD=2+2 3.
2
=2.
2
42 -22 =2 3.
所以 tan ∠CBE=
=
8
=
8
,
10
-30-
1
所以 CD=2AB.
因为 CD=5,所以 AB=10.
3
因为 sin ∠ABC= = 5,所以 AC=6,
所以 BC= 2 - 2 =8.
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
(2)过点 E 作 EH⊥BC 于点 H,所以∠EHC=∠EHB=90°.
13
则小车上升的高度是( A
A ．5 米
B ．6 米
)
C ．6.5 米
D ．12 米
课堂练习
3.如图,沿 A C 方向开山修建一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找
点 E 同时施工,从 A C 上的一点 B 取∠A B D = 150°,沿 B D 的方向前进,取∠B D E=
60°,测得 B D = 520 m ,B C = 80 m ,并且 A C ,B D 和 D E 在同一平面内,那么公路 C E
解:工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形
门,
理由:
过B作BD⊥AC于D,如图:
设BD=x m,
∵∠A=30°,∠C=45°,
∴DC=BD=x m,AD= 3 BD= 3 x m,
课堂练习
∵A C = 2( 3 + 1)m ,
∴x+ 3 x= 2( 3 + 1),
∴x= 2,
即 B D = 2 m < 2.1 m ,
解:(1)R
因为∠ADB=30°,AC=6米,
所以AD=2AC=12米,
所以AD的长度为12米.
）
D
300
6米
600
B
C
变式训练
如图,某水上乐园有一个滑梯AB,高度AC为6米,倾斜角为60°,暑期将至,为
改善滑梯AB的安全性能,把倾斜角由60°减至30°.
A
(1)求调整后的滑梯AD的长度;
(2)调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米?(精确到0.1米)
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1 m 的圆形门.
本节总结
概念
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元
素的过程，叫做解直角三角形.
解直角
三角形
已知两边解直角三角形
应用
已知一边和一锐角解直角三角形
再见
第一章 直角三角形的边角关系
解直角三角形
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
（2）已知一条边和一个锐角
变式训练
如图,某水上乐园有一个滑梯AB,高度AC为6米,倾斜角为60°,暑期将至,为
改善滑梯AB的安全性能,把倾斜角由60°减至30°.
A
(1)求调整后的滑梯AD的长度;
(2)调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米?(精确到0.1米)
(参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 6 ≈2.45
拓展探究突破练
知识点2 已知一边、一角解直角三角形
3.在R
A.4
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,求
解:∵在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=45°,BC= 2AC.
1
2
又∵D 为边 AC 的中点,∴AD=DC= AC.
∴AE=AD+DE=7 2,
∴tan ∠BAD= = 7
2
2
1
= 7.
拓展探究突破练
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第一章
1.4 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
13.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,
∠E=30°,∠A=45°,AC= 12 2,求CD的长.
)
-23-
第一章
1.4 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
6.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,解这个三角形.
解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,易得∠A=60°.
在 Rt△BCD 中,∠B=45°,BD=CD=BC·sin 45°=30 2.
在 Rt△ACD 中,∠A=60°,AD=tan60°=10 6,
1.4 解直角三角形
九年级下册
1
回顾直角三角形的有关知识点;
2
本节目标
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理解解直角三角形的概念;
熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形；
经历实际情境中锐角三角函数等有关概念的应用过程,
掌握解直角三角形的应用方法；
5 培养学生分析问题、解决问题 的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．
复习回顾
回顾直角三角形有关知识点：
(2)过点 B 作 BE⊥AD,交 AD 的延长线于点 E.
∵∠C=90°,AC=6,AB=10,∴BC= 2 - 2 =8.
又∵CD=6,∴BD=BC-CD=2.
∵∠C=90°,DC=AC=6,∴∠ADC=45°,AD=6 2,
∴∠BDE=∠ADC=45°.
又∵BD=2,BE⊥AD,∴BE=DE=BD·cos 45°= 2,
思考
如果利用上面知识解决实际问题呢？
两锐角
新课讲解
例1.如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，
树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？
解：利用勾股定理可以求出折断后
倒下部分的长度为： 52 122 13
13+5=18（米）
答：大树在折断之前高18米
新课讲解
解直角三角形
90°
角： 两锐角互余，即∠A＋∠B＝____；
a 2 + b 2 = c2
边： 边与边的关系：________________
边角：
co
∠A的对边
斜边
a
c
∠A的邻边
斜边
b
c
∠A的对边
∠A的斜边
a
b
B
∠A
的
对
边a
∠A的邻边b
A
情境导入
观察
勾股定理
两直角边
斜边
根据锐角
三角函数
另外两边
一个锐角和一边
另外一锐角
1
因为 D 是边 AB 的中点,所以 BD=CD=2AB,所以∠DCB=∠ABC.
因为∠ACB=90°,所以∠EHC=∠ACB,
所以△EHC∽△ACB,所以 = = .
6
因为 BC=8,所以 CE=CB=8,所以
24
32
32
8
=3,即
tan E=3.
解得 EH= 5 ,CH= 5 ,BH=8- 5 = 5.
课堂练习
4.在R
（1）∠B=45°，c=14；
（2）b=15，∠B=60°.
解：（2）∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°.
∵b=15，
15
∴c= b =
a=
b
15
=
=10 3 ，
5= 3
.
课堂练习
5.如图,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(
3+ 1)m.
请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门?
在例1中，利用直角三角形的边角关系求出另外两个锐角，像这样，在
直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形
新课讲解
例2.如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，
在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C
在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米)