2014届高考数学一轮复习效果监测《幂函数与二次函数》

幂函数与二次函数
【选题明细表】
1.(2012山东烟台模拟)幂函数y=f(x)的图象经过点，则f的值为( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:设f(x)=xα，则4α=，α=-，即f(x)=，于是f==2.故选B.
2.设abc<0，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象不可能是( D )
解析:由abc<0知，a、b、c的符号同负或两正一负，f(0)=c，
①当c>0时，ab<0，
对称轴x=->0，图象可能为选项B.
②当c<0时，ab>0，
对称轴x=-<0，图象可能为选项A、C，
图象不可能为选项D.
故选D.
3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么( A )
(A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4)
(C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)
解析:∵f(2+t)=f(2-t)，
∴f(x)关于x=2对称，又开口向上.
∴f(x)在[2，+∞)上单调递增，且f(1)=f(3).
∴f(2)<f(3)<f(4)，
即f(2)<f(1)<f(4)，故选A.
4.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1，+∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( D )
(A)[-3，0) (B)(-∞，-3]
(C)[-2，0] (D)[-3，0]
解析:当a=0时，f(x)=-3x+1在[-1，+∞)上递减，
故a=0时满足题意.
当a≠0时，要使f(x)在[-1，+∞)上是减函数，
则有
解得-3≤a<0.
综上可知a的取值范围是[-3，0].
故选D.
5.(2013乐山市第一次调研考试)下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( B )
(A)①y=，②y=x2，③y=，④y=x-1
(B)①y=x3，②y=x2，③y=，④y=x-1
(C)①y=x2，②y=x3，③y=，④y=x-1
(D)①y=，②y=，③y=x2，④y=x-1
解析:根据4个函数图象的特征，可对②④作出简单判断，分别为y=x2，y=x-1，排除选项C，D;比较选项A，B可得选项B正确.
6.(2012惠州市高三调研)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3)，若x1<x2，x1+x2=1-a，则( B )
(A)f(x1)=f(x2)
(B)f(x1)<f(x2)
(C)f(x1)>f(x2)
(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析:函数的对称轴为x=-1，
设x0=，
由0<a<3得到-1<<，
又x1<x2，用单调性和离对称轴的远近作判断，
故选B.
二、填空题
7.二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x=2，最小值为-1，则它的解析式为. 解析:依题意可设f(x)=a(x-2)2-1，
又其图象过点(0，1)，
∴4a-1=1，∴a=.
∴f(x)=(x-2)2-1.
答案:f(x)=(x-2)2-1
8.已知函数y=的值域是[0，+∞)，则实数m的取值范围是. 解析:当m=0时，y=，显然成立.
当m≠0时，要使y∈[0，+∞)，只要
解得0<m≤1或m≥9.
综上m的取值范围是[0，1]∪[9，+∞).
答案:[0，1]∪[9，+∞)
9.已知函数f(x)=，给出下列命题:
①若x>1，则f(x)>1;②若0<x1<x2，则f(x2)-f(x1)>x2-x1;③若0<x1<x2，则x2f(x1)<x1f(x2);
④若0<x1<x2，则<f.
则所有正确命题的序号是.
解析:对于①，f(x)=是增函数，f(1)=1，当x>1时，f(x)>1，①正确;
对于②，>1，可举例(1，1)，(4，2)，故②错误;
对于③，<，说明图象上两点x1，x2到原点连线的斜率越来越大，由图象可知，③错误;
对于④，<f，根据图象可判断出④正确.
答案:①④
三、解答题
10.(2012河南南阳高中月考)求二次函数f(x)=x2+2ax+3在区间[1，2]上的最小值.
解:f(x)=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2，
当-a>2，即a<-2时，
函数在区间[1，2]上为减函数，
故此时最小值为f(2)=4a+7;
当1≤-a≤2，
即-2≤a≤-1时，
函数的最小值为f(-a)=-a2+3;
当-a<1，即a>-1时，
函数在区间[1，2]上为增函数，
故此时最小值为f(1)=2a+4.
综上可知，当a<-2时，
最小值为4a+7;
当-2≤a≤-1时，
最小值为-a2+3;
当a>-1时，最小值为2a+4.
11.(2012开封模拟)已知函数f(x)=x m-且f(4)=.
(1)求m的值;
(2)判定f(x)的奇偶性;
(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明.
解:(1)∵f(4)=，
∴4m-=，
∴m=1.
(2)由(1)知f(x)=x-，
∴函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.
又f(-x)=-x+=-=-f(x).
所以函数f(x)是奇函数.
(3)函数f(x)在(0，+∞)上是单调增函数，证明如下:
设x1>x2>0，
则f(x1)-f(x2)
=x1--
=(x1-x2)，
因为x1>x2>0，
所以x1-x2>0，1+>0.
所以f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(0，+∞)上为单调递增函数.
12.(2012湖南十二校一联)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0).
(1)证明:当a<0时，无论b为何值，函数g(x)在定义域内不可能总为增函数;
(2)在同一函数图象上取任意两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点C(x0，y0)，记直线AB的斜率为k，若f(x)满足k=f'(x0)，则称其为“K函数”.判断函数f(x)=ax2+bx+c 与g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)是否为“K函数”?并证明你的结论.
解:(1)假设g(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，
则有g'(x)=2ax+b+=>0对于一切x>0恒成立，
从而必有2a x2+bx+c>0对于一切x>0恒成立.
又a<0，由二次函数的图象可知:2ax2+bx+c>0对于一切x>0恒成立是不可能的.
因此当a<0时，无论b为何值，函数g(x)在定义域内不可能总为增函数.
(2)函数f(x)=ax2+bx+c是“K函数”，g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)不是“K函数”.
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，
k===a(x2+x1)+b=2ax0+b.
又f'(x0)=2ax0+b，故k=f'(x0).
故函数f(x)=ax2+bx+c是“K函数”.
对于函数g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)(x>0)，
不妨设x2>x1>0，
则k===
2ax0+b+.
又g'(x0)=2ax0+b+，
若g(x)为“K函数”，则必满足k=g'(x0)，
即有2ax0+b+=2ax0+b+，
也即=(c≠0)，
所以=.
设t=，则0<t<1，ln t=. ①
设s(t)=ln t-，
则s'(t)=>0，
所以s(t)在t∈(0，1)上为增函数，s(t)<s(1)=0，
故ln t≠.②
①与②矛盾，因此，函数g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)不是“K函数”.。