(优选)2019年高中数学综合检测新人教A版选修1-1

综合检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b
D ．若a ＋1<b ，则a <b
解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C
2．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( )
A ．ab
B ．－a (a －b )
C ．0
D ．a －b 解析：∵y ＝x 2
－(a ＋b )x ＋ab ，∴y ′＝2x －(a ＋b )， ∴y ′|
x =a ＝2a －(a ＋b)＝a －b.
答案：D
3．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝13y 或x 2
＝－13y
B ．x 2
＝13
y
C ．y 2＝－9x 或x 2
＝13y
D ．x 2＝－13
y 或y 2
＝9x
解析：P (1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y 2
＝2px (p >0)或x 2
＝－2py (p >0)代入P (1，－3)得y 2＝9x 或x 2
＝－13y .
答案：D
4．已知函数f (x )＝x 3
－3x 2
－9x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(3,9) B ．(－∞，－1)，(3，＋∞) C ．(－1,3)
D ．(－∞，3)，(9，＋∞)
解析：∵f (x )＝x 3
－3x 2－9x ，
∴f ′(x )＝3x 2
－6x －9＝3(x 2
－2x －3)． 令f ′(x )>0知x >3或x <－1.
答案：B
5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝4
3
x ，则该双曲线的离心率为( )
A.53
B.43
C.54
D.3
2
解析：由题意得b a ＝43，
e 2
＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋169＝259
.
答案：A
6．设a ，b ，c 均为正实数，则“a >b ”是“ac >bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：根据充分性和必要性的概念判断．因为a ，b ，c 是正实数，所以a >b 等价于ac >bc ，即“a >b ”是“ac >bc ”的充要条件，故选C.
答案：C
7．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x
<3x
；命题q ：∀x ∈R ，f (x )＝x 3
－x 2
＋6的极大值为6，则下面选项中真命题是( ) A ．(綈p )∧(綈q ) B ．(綈p )∨(綈q ) C ．p ∨(綈q )
D ．p ∧q
解析：由2x <3x
得(23)x <1，当x <0时，(23)x >1，所以命题p 为假命题．綈p 为真，选B.
答案：B
8．已知曲线y ＝x 4
＋ax 2
＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( ) A ．9 B ．6 C ．－9
D ．－6
解析：y ′＝4x 3
＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|
x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6. 答案：D
9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2
b
2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的
三角形一定是( ) A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
解析：双曲线的离心率e21＝a2＋b2
a2
，椭圆的离心率e22＝
m2－b2
m2
，由已知e21e22＝1，即
a2＋b2
a2
×
m2－b2
m2
＝
1，化简，得a2＋b2＝m2.
答案：C
10.已知f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，那么f(x)的图象最有可
能是图中的( )
解析：∵x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数；同理f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．
答案：A
11．已知函数y＝f(x)，数列{a n}的通项公式是a n＝f(n)(n∈N*)，那么“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{a n}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，“数列{a n}是递增数列”一定成立．当函数y ＝f(x)在[1,2]上先减后增，且f(1)<f(2)时，数列{a n}也可以单调递增，因此“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{a n}是递增数列”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
12．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则
双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(1,3) B ．(1,3] C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
解析：由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|＝4a ， ∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|， ∴6a ≥2c ，c
a
≤3，
故双曲线离心率的取值范围是(1,3]，选B. 答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．函数f (x )＝x 3
－3a 2
x ＋2a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3x 2
－3a 2
＝3(x －a )(x ＋a )(a >0)，
∴f ′(x )>0时，得：x >a 或x <－a ，
f ′(x )<0时，得－a <x <a .
∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值．
由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧
a 3－3a 3
＋2a <0，－a 3
＋3a 3
＋2a >0，
a >0，
解得a >1.
答案：(1，＋∞)
14．若命题“∃x ∈R ，使得x 2
＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2
－4>0， 解得a <－1或a >3.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
15．过抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线准线的距离为4，则|AB |＝________.
解析：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵y 2
＝4x ，∴抛物线准线为x ＝－1，F (1,0)，又A 到抛物线准线的距离为4，
∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3，∵x A x B ＝p 2
4＝1，∴x B ＝1
3
，
∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝16
3.
答案：16
3
16. 已知双曲线x 2
－y 2
＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．
解析：由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， ∴|PF 1|2
－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2
＝4， ∵PF 1⊥PF 2，
∴|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝(2c )2
＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，
∴(|PF 1|＋|PF 2|)2
＝8＋4＝12， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 3
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x
为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x
＋1x >1
c
恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．
解析：由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤5
2，
要使此式恒成立，需1c <2，即c >1
2，
若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， 则p 、q 中必有一真一假， 当p 真q 假时，
c 的取值范围是0<c ≤1
2
；
当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.
综上可知，c 的取值范围是⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪
0<c ≤1
2或c ≥1
.
18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c (x ∈[－1,2])，且函数f (x )在x ＝1和x ＝－23处都
取得极值． (1)求a ，b 的值；
(2)求函数f (x )的单调递增区间．
解析：(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b .由题易知，⎩⎪⎨⎪⎧
f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23＝0，f
＝0，解
得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－12，
b ＝－2.
(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2
－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∵当x ∈⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0；
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0；
当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0.
∴f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23和(1,2]． 19．(12分)已知直线l 经过抛物线y 2
＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．
解析：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，如图．所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F (3
2，0)．
所以直线l 的方程为y ＝3(x －3
2
)．
联立
⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝6x ，y ＝3x －3
2消去y 得
x 2－5x ＋94
＝0.
若设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p .
∴|AB |＝5＋3＝8.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1
＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－3
2，所以M
到准线的距离等于3＋32＝9
2.
20．(12分)已知函数f (x )＝
f
e ·e x
－f (0)·x ＋12
x 2(e 是自然对数的底数)．
(1)求函数f (x )的解析式和单调区间；
(2)若函数g (x )＝12x 2
＋a 与函数f (x )的图象在区间[－1,2]上恰有两个不同的交点，求实数a 的
取值范围．
解析：(1)由已知得f ′(x )＝
f
e
e x
－f (0)＋x ，
令x ＝1，得f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1， 即f (0)＝1. 又f (0)＝
f
e
，所以f ′(1)＝e.
从而f (x )＝e x
－x ＋12
x 2.
显然f ′(x )＝e x
－1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)， 单调递增区间是(0，＋∞)． (2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x
－x . 令h (x )＝e x
－x ，则h ′(x )＝e x
－1. 由h ′(x )＝0得x ＝0.
所以当x ∈(－1,0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(0,2)时，h ′(x )>0.
∴h (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增． 又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1e ，h (2)＝e 2
－2且h (－1)<h (2)．
∴两个图象恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .
21．( 13分)如图，已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离
心率为
3
2
，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直
线AB 的距离为65
5.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点E (3,0)，设点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求EP →·QP →
的取值范围． 解析：(1)由离心率e ＝c a ＝
32
， 得b a ＝1－e 2
＝12
.∴a ＝2b .① ∵原点O 到直线AB 的距离为
65
5
， 直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0，∴ab a 2＋b 2
＝65
5.②
将①代入②，得b 2
＝9，∴a 2
＝36. 则椭圆C 的标准方程为x 236＋y 2
9＝1.
(2)∵EP ⊥EQ ，∴EP →·EQ →
＝0， ∴EP →·QP →＝EP →·(EP →－EQ →)＝EP →2 设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2
4，
∴EP →·QP →＝EP →2＝(x －3)2＋y 2 ＝x 2
－6x ＋9＋9－x 2
4.
＝34
(x －4)2
＋6. ∵－6≤x ≤6.∴6≤34(x －4)2
＋6≤81，
则EP →·QP →
的取值范围为[6,81]．
22．(13分)在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量p 是网箱个数x 的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨，由于该水域面积限制，最多只能放置10个网箱．
(1)试问放置多少个网箱时，总产量Q 最高？
(2)若鱼的市场价为m 万元/吨，养殖的总成本为(5ln x ＋1)万元． ①当m ＝0.25时，应放置多少个网箱才能使总收益y 最大？ ②当m ≥0.25时，求使得收益y 最高的所有可能的x 值组成的集合．
解析：(1)设p ＝ax ＋b ，由已知得⎩
⎪⎨
⎪⎧
16＝4a ＋b ，
10＝7a ＋b ，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝24，所以p ＝－2x ＋24，所以Q
＝px ＝(－2x ＋24)x ＝－2(x －6)2
＋72(x ∈N *
，x ≤10)，所以当x ＝6时，f (x )最大，即放置6个网箱时，可使总产量达到最大．
(2)总收益为y ＝f (x )＝(－2x 2
＋24x )m －(5ln x ＋1)(x ∈N *
，x ≤10)，
①当m ＝0.25时，f (x )＝(－2x 2
＋24x )×14－(5ln x ＋1)＝－12x 2＋6x －5ln x －1，所以f ′(x )
＝－
x －
x －
x
，
当1<x <5时，f ′(x )>0，当5<x <10时，f ′(x )<0，所以x ＝5时，函数取得极大值，也是最大值．所以应放置5个网箱才能使总收益y 最大； ②当m ≥0.25时，f (x )＝(－2x 2
＋24x )m －(5ln x ＋1)， 所以f ′(x )＝－4mx 2
＋24mx －5
x
，
令f ′(x )＝0，即－4mx 2＋24mx －5＝0，因为m ≥0.25，所以Δ＝16m (36m －5)>0，方程－4mx 2
＋24mx －5＝0的两根分别为x 1＝3－
9－5
4m
，x 2＝3＋9－5
4m
，因为m ≥0.25，所以x 1≤1.5≤x 2<6，所以当x ∈(1，x 2)时，f ′(x )>0，当x 2<x <10时，f ′(x )<0，所以x ＝x 2时，
函数取得极大值，也是最大值．
所以使得收益y 最高的所有可能的x 值组成的集合为{5,6}．。