2016年浙江省温州八中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2015-2016学年浙江省温州八中高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）下列函数在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）
A．y=﹣x2B．y=x﹣1C．y=log2|x|D．y=﹣2x
2．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
3．（5分）下列命题正确的是（）
A．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件
B．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R均有x2+x﹣1≥0 C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0，则x≠2”
4．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）
A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减
C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增
5．（5分）已知实数x，y满足约束条件且目标函数z=2x+y的最大
值是6，最小值是1，则的值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（）
A．若a、b与α所成的角相等，则a∥b
B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
C．若a⊥α，a∥β，则α⊥β
D．若a∥α，b∥β，则a∥b
7．（5分）定义在实数集R上的奇函数f（x），对任意实数x都有f（+x）=f（
﹣x），且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m﹣，则实数m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜3 B．0＜m＜3 C．0＜m＜3或m＜﹣1 D．m＞3或m＜﹣1 8．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，则侧棱AA1的长的最小值为（）
A．a B．2a C．3a D．4a
二、填空题：（本大题共7小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）
9．（6分）设全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=，A∪B=，∁U B=．
10．（6分）已知函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω=，f（）=，在（0，π）内满足f（x0）=0的x0=．
11．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．
12．（6分）已知函数f（x）=（x＞1），当且仅当x=时，f（x）取到最小值为．
13．（4分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P
为双曲线右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则该双曲线的离心率e是．
14．（4分）已知f（x）=，若f（f（t））∈[0，1]，则实
数t的取值范围是．
15．（4分）设非零向量与的夹角是，且||=|+|，则的最小值是．
三、解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（15分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．
17．（14分）设数列{a n}的前n项的和为S n，且{}是等差数列，已知a1=1，
++=12．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式a n；
+≥λ恒成立，求λ的取值范围．
（Ⅱ）当n≥2时，a n
+1
18．（15分）如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且面ACFE⊥面ABCD，AB=BD=2，AE=，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点．
（Ⅰ）证明：CH⊥面BFD；
（Ⅱ）若CH=，求EF与面EDB所成角的大小．
19．（15分）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上有两个动点A，B，它们的横坐标分别为a，a+2，当a=1时，点A到x轴的距离为，M是y轴正半轴上的一点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若A，B在x轴上方，且|OA|=|OM|，直线MA交x轴于N，求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值．
20．（15分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c，方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1．
（Ⅰ）当x∈（0，x1）时，证明：x＜f（x）＜x1；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜．
2015-2016学年浙江省温州八中高三（上）期中数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）下列函数在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）
A．y=﹣x2B．y=x﹣1C．y=log2|x|D．y=﹣2x
【解答】解：由于y=﹣x2 、y=﹣2x、y=x﹣1在（0，+∞）上单调递减，故排除A、B、D；
再根据y=log2|x|是偶函数，且在在（0，+∞）上单调递增，故满足条件，
故选：C．
2．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，
∴a32=a1•a4，
即（a1+4）2=a1×（a1+6），
解得a1=﹣8，
∴a2=a1+2=﹣6．
故选：B．
3．（5分）下列命题正确的是（）
A．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件
B．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R均有x2+x﹣1≥0 C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0，则x≠2”
【解答】解：对于A：“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件．因为“x2﹣3x+2＞0”等价于“x＜1，x＞2”所以：“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．故A 错误．
对于B：对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R均有x2+x ﹣1≥0．因为否命题是对条件结果都否定，所以B正确．
对于C：若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．因为若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故C错误．对于D：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0则x≠2”．因为否命题是对条件结果都否定，故D错误．
故选：B．
4．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）
A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减
C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增
【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，
由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，
又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．
因此，f（x）=cos2x，
若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，
若x∈（，），则2x∈（，），
该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．
故选：A．
5．（5分）已知实数x，y满足约束条件且目标函数z=2x+y的最大
值是6，最小值是1，则的值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意得：
作出目标函数2x+y=6，和2x+y=1，
则对应的平面区域如图：
则B，C在直线ax+by+c=0上，
由，解得，即C（1，﹣1），
由，解得，即B（2，2），
则B，C在直线在直线ax+by+c=0上，
∴BC的方程为3x﹣y﹣4=0，
即a=3，b=﹣1，c=﹣4，
则=4，
故选：D．
6．（5分）设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（）
A．若a、b与α所成的角相等，则a∥b
B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
C．若a⊥α，a∥β，则α⊥β
D．若a∥α，b∥β，则a∥b
【解答】解：当两条直线与一个平面所成的角相等时，
这两条直线的关系不能确定，故A不正确，
当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，
则这条直线与另一个平面的关系都有可能，故B不正确，
当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行，
则这两个平面之间的关系是垂直，故C正确，
当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，故D不正确，
故选：C．
7．（5分）定义在实数集R上的奇函数f（x），对任意实数x都有f（+x）=f（﹣x），且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m﹣，则实数m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜3 B．0＜m＜3 C．0＜m＜3或m＜﹣1 D．m＞3或m＜﹣1【解答】解：∵f（+x）=f（﹣x），
用x+代换x得，
∴f（x+）=f（﹣x）=﹣f（x），
再用x+代换x得，
∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），
∴函数为以3为周期的周期函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x），f（1）=﹣f（﹣1），f（﹣1）=f（2），
∴﹣f（2）=﹣f（﹣1）=f（1）＞﹣2，
∴f（2）＜2，
∴f（2）=m﹣＜2，
解得0＜m＜3，或m＜﹣1，
故选：C．
8．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，则侧棱AA1的长的最小值为（）
A．a B．2a C．3a D．4a
【解答】解：设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=x﹣t，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，
∠C1EB=90°，
∴，
∴2a2+t2+a2+（x﹣t）2=a2+x2，
整理，得：t2﹣xt+a2=0，
∵在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，
∴△=（﹣x）2﹣4a2≥0，
解得x≥2a．
∴侧棱AA1的长的最小值为2a．
故选：B．
二、填空题：（本大题共7小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）
9．（6分）设全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（2，3），A∪B=（1，+∞），∁U B=（﹣∞，1]∪[3，+∞）．
【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，
解得：1＜x＜3，即B=（1，3），
∵A=（2，+∞），
∴A∩B=（2，3），A∪B=（1，+∞），∁U B=（﹣∞，1]∪[3，+∞）．
故答案为：（2，3）；（1，+∞）；（﹣∞，1]∪[3，+∞）
10．（6分）已知函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω=2，
f（）=，在（0，π）内满足f（x0）=0的x0=．
【解答】解：∵三角函数的周期是π，则=π，
则ω=2，
则f（x）=2sin2x，
则f（）=2sin=2×=，
由f（x）=0得sin2x=0，
∵x∈（0，π），
∴2x∈（0，2π），
则2x=π，故x=，
故x0=，
故答案为：2，，
11．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积
V=cm3，表面积S=cm2．
【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，
所以V==cm3，S=+++=．
故答案为：；．
12．（6分）已知函数f（x）=（x＞1），当且仅当x=2时，f（x）取到最小值为2．
【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．
∴函数f（x）==x﹣1+=2，当且仅当x=2时取等号．故答案分别为：2；2．
13．（4分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P 为双曲线右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则该双曲线
的离心率e是．
【解答】解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，
则|OM|=a，OM⊥PF1，
取PF1的中点N，连接NF2，
由于|PF2|=|F1F2|=2c，则NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，
由|NF2|=2|OM|=2a，
则|NP|=2b，
即有|PF1|=4b，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
即4b﹣2c=2a，即2b=c+a，
4b2=（c+a）2，即4（c2﹣a2）=（c+a）2，
4（c﹣a）=c+a，即3c=5a，
则e=．
故答案为：．
14．（4分）已知f（x）=，若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是[log32，1] ．
【解答】解：当t∈（0，1]，所以f（t）=3t∈（1，3]，
又函数f（x）=，
则f（f（t）=log2（3t﹣1），
因为f（f（t））∈[0，1]，
所以0≤log2（3t﹣1）≤1，即1≤3t﹣1≤2，
解得：log32≤t≤1，
则实数t的取值范围[log32，1]；
当1＜t≤3时，f（t）=log2（t﹣1）∈（﹣∞，1]，
由于f（f（t））∈[0，1]，
即有0≤≤1，
解得1＜t≤2．
此时f（t）=log2（t﹣1）≤0，f（f（t））不存在．
综上可得t的取值范围为[log32，1]．
故答案为：[log32，1]．
15．（4分）设非零向量与的夹角是，且||=|+|，则的最小
值是．
【解答】解：因为非零向量与的夹角是，且||=|+|，
所以||2=|+|2=||2+2+||2，所以||=||，
则（）2==t2+2t+=（t+1）2+，
所以当t=﹣1时，的最小值是；
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和
演算步骤．
16．（15分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．
【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．
=sin2x﹣﹣
=sin（2x﹣）﹣1
∴T==π
∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ+]，k∈Z
∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ+]，k∈Z
（2）f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，则sin（2C﹣）=1
∵0＜C＜π，
∴C=
∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理可得b=2a①
∵c=，
∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab=3②
由①②可得a=1，b=2．
17．（14分）设数列{a n}的前n项的和为S n，且{}是等差数列，已知a1=1，
++=12．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）当n≥2时，a n
+≥λ恒成立，求λ的取值范围．
+1
【解答】解：（Ⅰ）∵{}是等差数列，a1=1，++=12．
∴3×=12，∴，
∴，
∴S n=，
∴a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2，n≥2，
当n=1时也成立，
∴a n=3n﹣2．（6分）
（Ⅱ）∵n≥2时，a n
+≥λ恒成立，
+1
∴3n+1+≥λ，∴，（10分）
设b n=，
b n +1﹣b n=﹣=＞0，
∴b n的最小值为，
∴．（14分）
18．（15分）如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且面ACFE⊥面ABCD，AB=BD=2，AE=，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点．
（Ⅰ）证明：CH⊥面BFD；
（Ⅱ）若CH=，求EF与面EDB所成角的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：四边形ABCD为菱形
所以：BD⊥AC
又面ACEF⊥面ABCD
所以：BD⊥平面ACFE
所以：BD⊥CH
即：CH⊥BD
又H为FG的中点，CG=CF=
所以：CH⊥FG
所以：CH⊥面BFD．
（Ⅱ）连接EG，由（Ⅰ）知BD⊥平面ACFE
所以：面EFG⊥面BED
所以：EF与平面EDB所成的角即为∠FEG．
在△FCG中，CG=CF=，CH=，CH⊥GF
所以∠GCF=120°，GF=3
所以EG=，又因为EF=2．
所以在△EFG中，可求得∠FEG=60°
19．（15分）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上有两个动点A，B，它们的横坐标分别为a，a+2，当a=1时，点A到x轴的距离为，M是y轴正半轴上的一点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若A，B在x轴上方，且|OA|=|OM|，直线MA交x轴于N，求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值．
【解答】（Ⅰ）解：由题意得当a=1时，点A坐标为，
由题有，∴p=1
∴抛物线C的方程为：y2=2x
（Ⅱ）证明：由题，，
∵|OA|=|OM|，
∴，
∴
∴直线MA的方程为：y=，
∴
∴=
==，
∴直线BN的斜率为定值，该定值为﹣1．
20．（15分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c，方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1．
（Ⅰ）当x∈（0，x1）时，证明：x＜f（x）＜x1；
（Ⅱ）设函数f （x ）的图象关于直线x=x 0对称，证明：x 0＜
．
【解答】证明：（1）令F （x ）=f （x ）﹣x ．因为x 1，x 2是方程f （x ）﹣x=0的根，所以
F （x ）=（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．
当x ∈（0，x 1）时，由于x 1＜x 2，得（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＞0，又1＞0，得 F （x ）=（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＞0， 即x ＜f （x ）． x 1﹣f （x ） =x 1﹣[x +F （x ）]
=x 1﹣x +（x 1﹣x ）（x ﹣x 2） =（x 1﹣x ）[1+（x ﹣x 2）] 因为0＜x ＜x 1＜x 2＜1
所以x 1﹣x ＞0，1+（x ﹣x 2）=1+x ﹣x 2＞1﹣x 2＞0． 得x 1﹣f （x ）＞0． 由此得f （x ）＜x 1． 综上x ＜f （x ）＜x 1； （2）依题意知x0=﹣
=
因为x 1，x 2是方程f （x ）﹣x=0的根，即x 1，x 2是方程x 2+（b ﹣1）x +c=0的根． ∴x 1+x 2=﹣b +1，x 0==
因为x 2＜1，所以x 0＜
．
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a
表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任
意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，
a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0) n
n a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
． （2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m
n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()(0,,,m m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a
N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥换底公式：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
定义域 (0,)+∞
值域 R
过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)+∞上是增函数
在(0,)+∞上是减函数
函数值的 变化情况
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x >>==<<<
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x <>==><<
变化对
图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．
x O
(1,0)x
O (1,0)。